Skip to content Skip to sidebar Skip to footer

Dalil Menelaus

Sebelum kita membahas dalil menelaos ada baiknya kita pahami definisi dari garis transversal sisi dan transversal sudut dari segitiga ABC.

Definisi:
Pada $\Delta ABC$. Garis lurus $k$ disebut sebagai transversal sisi jika $k$ memotong sisi-sisi atau perpanjangan sisi $\Delta ABC$. Garis lurus $l$ disebut sebagai transversal sudut jika $l$ melalui titik sudut $\Delta ABC$. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah ini.
Dalil-Teorema Menelaus

Dalil Menelaos
Pada segitiga ABC diketahui sebuah garis transversal memotong sisi AC, AB, dan BC masing-masing pada titik D, E, dan F (perhatikan gambar).
Teorema-Dalil Menelaos
Maka: $\frac{AE}{EB}.\frac{BF}{FC}.\frac{CD}{DA}=1$
Bukti:
Lukis garis CP sejajar AB, sehingga diperoleh gambar:
Dalil Menelaus
Dari gambar!
$\Delta CDG\tilde{\ }\Delta ADE$, maka:
$\frac{CD}{DA}=\frac{GC}{AE}$
$\frac{CD}{DA}.\frac{AE}{GC}=1$ … persamaan (1)
$\Delta BFE\tilde{\ }\Delta CFG$, maka:
$\frac{BF}{CF}=\frac{BE}{CG}$
$\frac{BF}{CF}.\frac{CG}{BE}=1$ … persamaan (2)
Persamaan (1) kalikan dengan persamaan (2), maka:
$\frac{CD}{DA}.\frac{AE}{GC}.\frac{BF}{CF}.\frac{CG}{BE}=1$
$\frac{CD}{DA}.\frac{AE}{GC}.\frac{BF}{CF}.\frac{CG}{BE}=1$
$\frac{CD}{DA}.\frac{AE}{CF}.\frac{BF}{BE}=1$
$\frac{AE}{EB}.\frac{BF}{FC}.\frac{CD}{DA}=1$
Terbukti.

Contoh Soal dan Pembahasan:
OSK Matematika SMA 2019 No. 2
Diberikan segitiga ABC dengan D pertengahan AC, E pertengahan BD, dan H merupakan pencerminan dari A terhadap E. Jika F perpotongan antara AH dengan BH, maka nilai $\frac{AF}{FH}$ sama dengan …
Pembahasan:
Dalil Menelaus
Berdasarkan Dalil Menelaus:
$\frac{BF}{FC}.\frac{CA}{AD}.\frac{DE}{EB}=1$
$\frac{BF}{FC}.\frac{2\times AD}{AD}.\frac{EB}{EB}=1$
$\frac{2BF}{FC}=1$
$FC=2BF$ atau $BC=3\times BF$
Berdasarkan Dalil Menelaus:
$\frac{AD}{DC}.\frac{CB}{BF}.\frac{FE}{EA}=1$
$\frac{DC}{DC}.\frac{3\times BF}{BF}.\frac{FE}{EA}=1$
$\frac{3FE}{EA}=1$
$AE=3\times EF$
$\frac{AF}{FH}=\frac{AE+EF}{EH-EF}$
= $\frac{AE+EF}{AE-EF}$
= $\frac{3\times EF+EF}{3\times EF-EF}$
= $\frac{4\times EF}{2\times EF}$
= 2

 Baca juga: 

Post a comment for "Dalil Menelaus"