Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2018 No.1-10

Ujian Tulis Universitasi Gadjah Mada Tahun 2018 telah selesai dilaksanakan beberapa hari yang lalu yaitu (08 Juli 2018). UTUL UGM 2018 adalah sebagai salah satu seleksi Ujian Mandiri UGM yang bertujuan untuk menyeleksi mahasiswa/mahasiswi baru untuk tahun akademik 2018/2019. Dan postingan kali ini adalah Soal dan Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2018 Kode 585. Pembahasan ini saya bagi menjadi dua bagian yaitu:
  1. Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2018 No.1-10
  2. Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2018 No.11-20
Silahkan dipelajari dan jika ada yang memanfaatkan (publikasi) pembahasan ini mohon menyertakan link aslinya. Terima kasih.

Matematika Dasar UM UGM 2018 No. 1
Jika $\sqrt{{{3}^{-\frac{1}{2}}}+1}=\frac{\sqrt{a+1}}{{{3}^{-\frac{1}{4}}}}$ maka $a$ = …
A. $-\frac{2}{3}+{{3}^{-\frac{1}{2}}}$
B. $-\frac{1}{3}+{{3}^{-\frac{1}{2}}}$
C. $\frac{1}{3}-{{3}^{-\frac{1}{2}}}$
D. $\frac{1}{3}+{{3}^{-\frac{1}{2}}}$
E. $\frac{2}{3}+{{3}^{-\frac{1}{2}}}$
Pembahasan:
$\sqrt{{{3}^{-\frac{1}{2}}}+1}=\frac{\sqrt{a+1}}{{{3}^{-\frac{1}{4}}}}$
$\sqrt{\frac{1}{\sqrt{3}}+1}={{3}^{\frac{1}{4}}}.\sqrt{a+1}$
$\frac{1}{\sqrt{3}}+1={{3}^{\frac{1}{2}}}(a+1)$
$1+\sqrt{3}=3(a+1)$
$a+1=\frac{1+\sqrt{3}}{3}$
$a=\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}-1$
$a=-\frac{2}{3}+{{3}^{-\frac{1}{2}}}$
Kunci: A

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 2
Diberikan $y > x > 0$. Jika ${}^{9}\log ({{y}^{2}}-{{x}^{2}})=a$ dan ${}^{x+y}\log 3=b$, maka ${}^{27}\log (y-x)$ = …
A. $\frac{3ab+1}{2a}$
B. $\frac{3ab-1}{2a}$
C. $\frac{2ab-1}{3b}$
D. $\frac{2ab+1}{3a}$
E. $\frac{2ab-1}{3a}$
Pembahasan:
${}^{x+y}\log 3=b$
$\frac{1}{{}^{3}\log (x+y)}=b$
${}^{3}\log (x+y)=\frac{1}{b}$
${}^{9}\log ({{y}^{2}}-{{x}^{2}})=a$
${}^{{{3}^{2}}}\log ({{y}^{2}}-{{x}^{2}})=a$
$\frac{1}{2}.{}^{3}\log ({{y}^{2}}-{{x}^{2}})=a$
${}^{3}\log ({{y}^{2}}-{{x}^{2}})=2a$
${}^{3}\log (y+x)(y-x)=2a$
${}^{3}\log (y+x)+{}^{3}\log (y-x)=2a$
${}^{3}\log (y+x)+{}^{3}\log (y-x)=2a$
$\frac{1}{b}+{}^{3}\log (y-x)=2a$
${}^{3}\log (y-x)=2a-\frac{1}{b}$
${}^{3}\log (y-x)=\frac{2ab-1}{b}$
${}^{27}\log (y-x)={}^{{{3}^{3}}}\log (y-x)$
$=\frac{1}{3}.{}^{3}\log (y-x)$
$=\frac{1}{3}.\frac{2ab-1}{b}$
$=\frac{2ab-1}{3b}$
Kunci: C

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 3
Diketahui garis $y=c-x$ memotong kurva $y=a{{x}^{2}}+bx-c$ dengan $a\ne 0$ di titik $(-2,5)$. Jika kurva tersebut simetris terhadap garis $x=1$, maka nilai $a+b+c$ adalah …
A. 1   B. 2   C. 3   D. 4   E. 5
Pembahasan:
$y=c-x$ melalui titik $(-2,5)$ maka:
$5=c-(-2)\Leftrightarrow 3=c$
$y=a{{x}^{2}}+bx-c$ melalui titik $(-2,5)$, maka:
$5=a{{(-2)}^{2}}+b(-2)-3$
$4a-2b=8\Leftrightarrow 2a-b=4$
Sumbu simetri:
$x=\frac{-b}{2a}=1\Leftrightarrow b=-2a$ 
Substitusi ke:
$2a-b=4$
$2a-(-2a)=4$
$4a=4\Leftrightarrow a=1$
$b=-2a\Leftrightarrow b=-2$
$a+b+c=1+(-2)+3=2$
Kunci: B

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 4
Persamaan kuadrat $3{{x}^{2}}+8x-c=0$ mempunyai akar-akar ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ dengan ${{x}_{1}}=-\frac{1}{{{x}_{2}}}$. Jika ${{x}_{1}} > {{x}_{2}}$, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\frac{1}{{{x}_{1}}+1}$ dan $\frac{1}{{{x}_{2}}-2}$ adalah …
A. $10{{x}^{2}}-11x-3=0$
B. $10{{x}^{2}}+11x+3=0$
C. $20{{x}^{2}}-11x-3=0$
D. $20{{x}^{2}}+11x+3=0$
E. $20{{x}^{2}}-11x+3=0$
Pembahasan:
$3{{x}^{2}}+8x-c=0$
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{8}{3}$
${{x}_{1}}=-\frac{1}{{{x}_{2}}}$
${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-1$
$\frac{-c}{3}=-1\Leftrightarrow c=3$
$3{{x}^{2}}+8x-c=0$
$3{{x}^{2}}+8x-3=0$
$(3x-1)(x+3)=0$, ${{x}_{1}} > {{x}_{2}}$
${{x}_{1}}=\frac{1}{3}$ atau ${{x}_{2}}=-3$
Persamaan kuadrat baru akar-akarnya:
$\alpha =\frac{1}{{{x}_{1}}+1}=\frac{1}{\frac{1}{3}+1}=\frac{3}{4}$ dan
$\beta =\frac{1}{{{x}_{2}}-2}=\frac{1}{-3-2}=-\frac{1}{5}$
$(x-\alpha )(x-\beta )=0$
$(x-\frac{3}{4})(x+\frac{1}{5})=0$ kali 20
$(4x-3)(5x+1)=0$
$20{{x}^{2}}-11x-3=0$
Kunci: C

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 5
Jumlah semua nilai $x$ yang memenuhi $y-\frac{15}{x}=-(x+2)$ dan $x-y-3=0$ adalah …
A. $\frac{1}{2}$   B. 1   C. $\frac{3}{2}$   D. $\frac{5}{2}$   E. $\frac{7}{2}$
Pembahasan:
$x-y-3=0$
$x-3=y$
Substitusi ke:
$y-\frac{15}{x}=-(x+2)$
$x-3-\frac{15}{x}=-x-2$
$2x-1-\frac{15}{x}=0$  kali $x$
$2{{x}^{2}}-x-15=0$
Jumlah semua nilai $x$ adalah:
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a}=\frac{-(-1)}{2}=\frac{1}{2}$
Kunci: A

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 6
Himpunan semua nilai $x$ yang memenuhi $\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2x-1}}\ge 1$ adalah $\{x|x\in R,a < x < b\}$. Nilai $ab$ = …
A. -2   B. $-\frac{1}{2}$   C. 1   D. $\frac{5}{2}$   E. 2
Pembahasan:
Syarat:
* $x+1\ge 0\Leftrightarrow x\ge -1$  … (1)
* $2x-1 > 0\Leftrightarrow x > \frac{1}{2}$  … (2)
* $\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2x-1}}\ge 1$
$\frac{x+1}{2x-1}\ge 1$
$\frac{x+1}{2x-1}-1\ge 0$
$\frac{x+1}{2x-1}-\frac{2x-1}{2x-1}\ge 0$
$\frac{-x+2}{2x-1}\ge 0$
$(-x+2)(2x-1)\ge 0$
$(x-2)(2x-1)\le 0$
$\frac{1}{2}\le x\le 2$ … (3)
Dari irisan (1), (2), dan (3) diperoleh HP adalah $\frac{1}{2} < x \le 2$, $a=\frac{1}{2}$, $b=2$ maka $ab=\frac{1}{2}.2=1$
Kunci: C

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 7
Nilai minimum dari $3x+2y-1$ untuk $x$ dan $y$ yang memenuhi $2x+y\ge 4$, $y-x\le 1$, $2y-x\ge -4$, $x\le 6$ dan $y\ge 0$ adalah …
A. 5   B. 6   C. 8   D. 9   E. 11
Pembahasan:
Gambarkan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan yang diberikan, seperti berikut ini:
Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2018
Tentukan titik-titik sudut dari daerah himpunan penyelesaian.
Uji titik pojok:
Uji Titik Pojok Matdas UM-UGM 2018 No. 7
Kunci: A

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 8
Jika bilangan 2001 ditulis dalam bentuk
1 – 2 + 3 – 4 + … + $(n-2)$ – $(n-1)$ + $n$ maka jumlahan digit-digit dari bilangan $n$ sama dengan …
A. 5   B. 6   C. 7   D. 8   E. 9
Pembahasan:
1 + (-2 + 3) + (-4 + 5) + …+ [-$(n-1)$ + $n$] = 2001
(-2 + 3) + (-4 + 5) + …+ [-$(n-1)$ + $n$] = 2000
1 + 1 + …+ [-$(n-1)$ + $n$]  = 2000
$-(n-1)+n={{U}_{2000}}$ 
${{U}_{1}}=[-2.1+(2.1+1)]=(-2+3)$
${{U}_{2}}=[-2.2+(2.2+1)]=(-4+5)$
${{U}_{3}}=[-2.3+(2.3+1)]=(-6+7)$
….
${{U}_{2000}}=[-2.2000+(2.2000+1)]$
${{U}_{2000}}=-4000+4001$
${{U}_{2000}}=-(n-2)+n$
Maka $n=4001$
Jumlah digit-digit $n$ adalah 4 + 0 + 0 + 1 = 5
Kunci: A

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 9
Diberikan tiga persegi. Panjang sisi persegi I, II, dan III membentuk barisan geometri. Keliling persegi I, II, dan III membentuk barisan aritmetika. Diketahui juga jumlah keliling ketiga persegi 14 meter. Panjang sisi persegi yang terkecil adalah …
A. 7/6   B. 1   C. 3/2   D. 1/2   E. 1/4
Pembahasan:
Barisan Geometri: $U_{n}^{{}}$ = panjang sisi persegi ke-n
${{U}_{1}}=a$, ${{U}_{2}}=ar$, ${{U}_{3}}=a{{r}^{2}}$
Barisan aritmetika: K = 4 x sisi
$4a$, $4ar$, $4a{{r}^{2}}$ berlaku:
$2.4ar=4a+4a{{r}^{2}}$
$2r=1+{{r}^{2}}$
${{r}^{2}}-2r+1=0$
${{(r-1)}^{2}}=0$
$r=1$
Jumlah keliling = 14
$4a+4ar+4a{{r}^{2}}=14$ 
$2a(1+r+{{r}^{2}})=7$
$2a(1+1+{{1}^{2}})=7$
$6a=7\Leftrightarrow a=\frac{7}{6}$
Kunci: A

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 10
Diketahui matriks $A=\left( \begin{matrix}   5 & -3  \\   -2 & 1  \\ \end{matrix} \right)$. Jika ${{A}^{-1}}$ adalah invers matriks A dan ${{A}^{T}}$ adalah transpose matriks A, maka determinan matriks B yang memenuhi $AB={{A}^{-1}}+{{A}^{T}}$ adalah …
A. -41   B. -9   C. 9   D. 31   E. 41
Pembahasan:
$A=\left( \begin{matrix}   5 & -3  \\   -2 & 1  \\ \end{matrix} \right)\Leftrightarrow {{A}^{T}}=\left( \begin{matrix}   5 & -2  \\   -3 & 1  \\ \end{matrix} \right)$
${{A}^{-1}}=\frac{1}{5-6}\left( \begin{matrix}   1 & 3  \\   2 & 5  \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}   -1 & -3  \\   -2 & -5  \\ \end{matrix} \right)$
$AB={{A}^{-1}}+{{A}^{T}}$
$\left( \begin{matrix}   5 & -3  \\   -2 & 1  \\ \end{matrix} \right)B=\left( \begin{matrix}   -1 & -3  \\   -2 & -5  \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}   5 & -2  \\   -3 & 1  \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix}   5 & -3  \\   -2 & 1  \\ \end{matrix} \right)B=\left( \begin{matrix}   4 & -5  \\   -5 & -4  \\ \end{matrix} \right)$
$\left| \begin{matrix}    5 & -3  \\   -2 & 1  \\ \end{matrix} \right|\left| B \right|=\left| \begin{matrix}   4 & -5  \\   -5 & -4  \\ \end{matrix} \right|$
$(5-6).\left| B \right|=(-16-25)$
$\left| B \right|=41$
Kunci: E
Baca juga:

Silahkan Share Buat Anak Bangsa

Contact Form

Name

Email *

Message *