Soal dan Pembahasan Matematika IPA SBMPTN 2018 Kode 402 - CATATAN MATEMATIKA

Soal dan Pembahasan Matematika IPA SBMPTN 2018 Kode 402

Posted by Reikson Panjaitan on Tuesday, 8 May 2018

Matematika IPA SBMPTN 2018 Kode 402
Berikut ini saya share Pembahasan SBMPTN 2018 Matematika IPA dengan kode soal 402. Soal ini digunakan untuk seleksi mahasiswa baru yang akan masuk Perguruan Tinggi Negeri tahun ajaran 2018/2019. Pembahasan ini masih jauh dari kata sempurna, untuk itu jika ada kritik dan saran dari teman-teman silahkan Chat Me On Telegram atau melalui kolom komentar. #Berbagi_Itu_Indah.

SBMPTN 2018 Matematika IPA Kode 402 No. 1
Jika fungsi $f(x)=a^2\sin (ax) + 10$ mempunyai periode $\frac{\pi}{2}$, maka nilai minimum fungsi $f$ adalah ...
A. -16    B. -6    C. 1    D. 6    E. 9
Pembahasan:
Dari fungsi $f(x)=a^2\sin (ax) + 10$ diperoleh periode (p) = $\frac{2\pi }{a}$, maka:
$\frac{2\pi }{a}=\frac{\pi }{2}\Leftrightarrow a\pi =4\pi \Leftrightarrow a=4$,
$f(x)=a^2\sin (ax) + 10$
$f(x)=16\sin 4x+10$, nilai fungsi $f$minimum jika $\sin 4x=-1$, diperoleh:
$f(x)=16.(-1)+10$
$f(x)=-6$
Kunci: B

SBMPTN 2018 Matematika IPA Kode 402 No. 2
Jika titik $P(-1,3)$ digeser sejauh $a$ satuan ke kanan dan $b$ satuan ke bawah lalu dicerminkan ke garis $x=2$, maka bayangannya adalah $P'(3,-6)$. Nilai $a-b$ adalah ..
A. -1    B.  -3    C. -5    D. -7    E. -9
Pembahasan:
Permasalahan di atas menggunakan translasi.
$P(-1,3)\xrightarrow{\left( \begin{matrix} a  \\ -b  \\ \end{matrix} \right)}P'(-1+a,3-b)$
$P'(-1+a,3-b)$ dicerminkan ke garis $x=2$ menghasilkan:
$P''(2.2-(-1+a),3-b)=P''(3,-6)$
$P''(5-a,3-b)=P''(3,-6)$
$5-a=3\Leftrightarrow a=2$
$3-b=-6\Leftrightarrow b=9$
Maka: $a-b=2-9=-7$
Kunci: C

SBMPTN 2018 Matematika IPA Kode 402 No. 3
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $2\sqrt{2}$ cm. Jika titik $P$ ditengah-tengah AB dan titik Q ditengah-tengah BC, maka jarak antara titik H dengan garis PQ adalah ... cm.
A. $\sqrt{15}$    B. 4    C. $\sqrt{17}$    D. $3\sqrt{2}$    E. $\sqrt{19}$
Pembahasan:
Soal dan Pembahasan Matematika IPA SBMPTN 2018 Kode 402
$AB=2\sqrt{2}\Rightarrow PB=\sqrt{2}$
$BC=2\sqrt{2}\Rightarrow BQ=\sqrt{2}$
$PQ=\sqrt{P{{B}^{2}}+B{{Q}^{2}}}\Leftrightarrow PQ=2$
Perhatikan segitiga HAP siku-siku di titik A, $AP=\sqrt{2}$, $AH=4$, maka:
$HP=\sqrt{A{{H}^{2}}+A{{P}^{2}}}$
$HP=\sqrt{{{4}^{2}}+{{(\sqrt{2})}^{2}}}$
$HP=3\sqrt{2}$, $HP=HQ$
Maka garis tinggi HR membagi dua PQ, sehingga $PR=\frac{1}{2}PQ=1$ 
jarak antara titik H dengan garis PQ adalah panjang HR.
Perhatikan segitiga PRH siku-siku di titik R, maka:
$HR=\sqrt{H{{P}^{2}}+P{{R}^{2}}}$
$HR=\sqrt{{{(3\sqrt{2})}^{2}}-{{1}^{2}}}$
$HR=\sqrt{17}$
Kunci: C

SBMPTN 2018 Matematika IPA Kode 402 No. 4
$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin (x)\cos (x)}{\sqrt{\pi +2\sin (x)}-\sqrt{\pi }}=...$
A. $-2\sqrt{\pi }$    B. $-\sqrt{\pi }$    C. 0    D. $\sqrt{\pi }$    E. $2\sqrt{\pi }$
Pembahasan:
$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin (x)\cos (x)}{\sqrt{\pi +2\sin (x)}-\sqrt{\pi }}=...$
$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin 2x}{\sqrt{\pi +2\sin (x)}-\sqrt{\pi }}$ (gunakan dalil L’Hospital)
$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\cos 2x}{\frac{2\cos x}{2\sqrt{\pi +2\sin x}}}$
$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\cos 2x.\sqrt{\pi +2\sin x}}{\cos x}$
$=\frac{2\cos 2.0.\sqrt{\pi +2\sin 0}}{\cos 0}$
$=2\sqrt{\pi }$
Kunci: E

SBMPTN 2018 Matematika IPA Kode 402 No. 5
Diketahui barisan geometri $U_n$, dengan $U_2+1$ adalah rata-rata $U_1$ dan $U_3$. Jika $U_1=8$, maka jumlah 4 suku pertama yang mungkin adalah ...
A. 15    B. 20    C. 25    D. 30    E. 35
Pembahasan:
Barisan Geometri: ${{U}_{n}}=a{{r}^{n-1}}$
${{U}_{2}}+1=\frac{{{U}_{1}}+{{U}_{3}}}{2}$
$ar+1=\frac{a+a{{r}^{2}}}{2}$
$2ar+2=a+a{{r}^{2}}$
$2.8.r+2=8+8.{{r}^{2}}$
$8{{r}^{2}}-16r+6=0$
$4{{r}^{2}}-8r+3=0$
$(2r-1)(2r-3)=0$
$r=\frac{1}{2}$ atau $r=\frac{3}{2}$
${{S}_{n}}=\frac{a({{r}^{n}}-1)}{r-1}$
$r=\frac{1}{2}\Rightarrow {{S}_{4}}=\frac{8\left( \frac{1}{16}-1 \right)}{\frac{1}{2}-1}=15$
Kunci: A


SBMPTN 2018 Matematika IPA Kode 402 No. 6
Daerah $R$ dibatasi oleh $y=bx^4$, $y=b$, $x=2$, dan garis sumbu $x$ positif, dengan $b > 0$. Jika volume benda padat yang didapat dengan memutar $R$ terhadap sumbu $x$ adalah $\frac{10}{9}\pi$, maka $b$ = ...
A. 1    B. 2    C. 3    D. 4    E. 5

SBMPTN 2018 Matematika IPA Kode 402 No. 7
Ari dan Ira merupakan anggota dari suatu kelompok yang terdiri dari 9 orang. Banyaknya cara membuat barisan, dengan syarat Ari dan Ira tidak berdampingan, adalah ...
A. $7 \times 8!$    B. $6 \times 8!$    C. $5 \times 8!$    D. $7 \times 7!$    E. $6 \times 7!$
Pembahasan:
Banyak barisan 9 orang secara bebas = 9!
Banyak barisan dengan Ari dan Ira berdampingan = 2!8!
Banyak barisan dengan Ari dan Ira tidak berdampingan adalah:
= 9! – 2!8!
= 9.8! – 2.8!
= 7 x 8!
Kunci: A

SBMPTN 2018 Matematika IPA Kode 402 No. 8
Jika panjang jari-jari lingkaran $x^2 + y^2 + Ax + 2Ay+C=0$ dan $x^2+y^2+Ax+3Ay+C=0$ berturut-turut adalah 2 dan $\sqrt{10}$, maka nilai C adalah ...
A. 1    B. 2    C. 3    D. 4    E. 5
Pembahasan:
Teori: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+Ax+By+C=0$ maka $r=\sqrt{\frac{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}-4C}{4}}$
$x^2 + y^2 + Ax + 2Ay+C=0$, r = 2 maka:
$2=\sqrt{\frac{{{A}^{2}}+4{{A}^{2}}-4C}{4}}$
$4=\frac{5{{A}^{2}}-4C}{4}$
$5{{A}^{2}}-4C=16$ persamaan 1)
$x^2+y^2+Ax+3Ay+C=0$; r = $\sqrt{10}$ maka:
$\sqrt{10}=\sqrt{\frac{{{A}^{2}}+9{{A}^{2}}-4C}{4}}$
$10=\frac{10{{A}^{2}}-4C}{4}$
$10{{A}^{2}}-4C=40$
$5{{A}^{2}}-2C=20$… persamaan 2)
Eliminasi ${{A}^{2}}$ sehingga dengan persamaan 1) dikurang persamaan 2) diperoleh:
$-2C=-4\Leftrightarrow C=2$
Kunci: B

SBMPTN 2018 Matematika IPA Kode 402 No. 9
Sisa pembagian $p(x)=x^3+Ax^2+Bx+C$ oleh $x+3$ adalah 2. Jika $p(x)$ habis dibagi oleh $x+1$ dan $x-1$, maka $A+2B-3C$ = ...
A. 10    B. 11    C. 12    D. 13    E. 14
Pembahasan:
$p(x)=x^3+Ax^2+Bx+C$ dibagi $x+3$ sisa 2, maka: $p(-3)=2$
$p(-3)={{(-3)}^{3}}+A{{(-3)}^{2}}+B(-3)+C=2$
$-27+9A-3B+C=2$
$9A-3B+C=29$… persamaan 1
$p(x)=x^3+Ax^2+Bx+C$ habis dibagi oleh $x+1$ dan $x-1$, maka $p(-1)=0$ dan $p(1)=0$
$p(-1)={{(-1)}^{3}}+A{{(-1)}^{2}}+B(-1)+C=0$
$A-B+C=1$… persamaan 2
$p(1)={{1}^{3}}+A{{.1}^{2}}+B.1+C$
$A+B+C=-1$… persamaan 3
Dari persamaan 1) dan 2) eliminasi C dengan mengurangkan kedua persamaan tersebut, diperoleh:
$8A-2B=28$… persamaan 4
Dari persamaan 1) dan 3) eliminasi C dengan mengurangkan kedua persamaan tersebut, diperoleh:
$8A-4B=30$… persamaan 5
Dari persamaan 4) dan 5) eliminasi A dengan mengurangkan kedua persamaan tersebut, diperoleh:
$2B=-2\Leftrightarrow B=-1$ substitusi ke persamaan 4)
$8A-2B=28$
$8A+2=28\Leftrightarrow A=\frac{26}{8}=\frac{13}{4}$, substitusi ke persamaan 2)
$A-B+C=1$
$\frac{13}{4}+1+C=1\Leftrightarrow C=-\frac{13}{4}$
$A+2B-3C=\frac{13}{4}+2.(-1)-3.\left( -\frac{13}{4} \right)$
$A+2B-3C=11$
Kunci: B

SBMPTN 2018 Matematika IPA Kode 402 No. 10
Garis yang melalui titik O(0,0) dan P(a,b) berpotongan tegak lurus dengan garis singgung kurva $y=\frac{9}{2}-x^2$ di P(a,b). Jika titik P berada di kuadran II, maka $a+b$ adalah ...
A. $-\frac{3}{2}$
B. $-\frac{27}{50}$
C. $\frac{6-\sqrt{6}}{2}$
D. $\frac{8-\sqrt{2}}{2}$
E. $\frac{15-2\sqrt{3}}{4}$
Pembahasan:
Gradien garis melalui titik O(0,0) dan P(a,b) adalah ${{m}_{1}}=\frac{b}{a}$
Gradien garis singgung kurva $y=\frac{9}{2}-x^2$ di titik P(a,b) adalah:
$\frac{dy}{dx}=-2x$
${{m}_{2}}={{\left. \frac{dy}{dx} \right|}_{x=a}}=-2a$
Syarat tegak lurus:
${{m}_{1}}.{{m}_{2}}=-1$
$\frac{b}{a}.(-2a)=-1\Leftrightarrow b=\frac{1}{2}$
P(a,b) berada pada kurva$y=\frac{9}{2}-x^2$, maka:
$b=\frac{9}{2}-{{a}^{2}}$
$\frac{1}{2}=\frac{9}{2}-{{a}^{2}}$
${{a}^{2}}=4$
$a=\pm 2$, karena titik P(a,b) berada pada kuadran II maka $a=-2$
$a+b=-2+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$
Kunci: A


SBMPTN 2018 Matematika IPA Kode 402 No. 11
$\int\limits_{1/8}^{1/3}{\frac{3}{{{x}^{2}}}\sqrt{1+\frac{1}{x}}dx}$
A. 19    B. 38    C. 57    D. 76    E. 95
Pembahasan:
$\int\limits_{1/8}^{1/3}{\frac{3}{{{x}^{2}}}\sqrt{1+\frac{1}{x}}dx}=\int\limits_{1/8}^{1/3}{\frac{3}{{{x}^{2}}}{{\left( 1+\frac{1}{x} \right)}^{\frac{1}{2}}}dx}$
$=\left. \frac{1}{\frac{1}{2}+1}.{{\left( 1+\frac{1}{x} \right)}^{\frac{1}{2}+1}}.\frac{{}^{3}/{}_{{{x}^{2}}}}{{}^{-1}/{}_{{{x}^{2}}}} \right|_{1/8}^{1/3}$
$=\left. \frac{2}{3}.\left( 1+\frac{1}{x} \right)\sqrt{1+\frac{1}{x}}.(-3) \right|_{1/8}^{1/3}$
$=\left. -2\left( 1+\frac{1}{x} \right)\sqrt{1+\frac{1}{x}} \right|_{1/8}^{1/3}$
$=-2\left( 1+\frac{1}{1/3} \right)\sqrt{1+\frac{1}{1/3}}-\left[ -2\left( 1+\frac{1}{1/8} \right)\sqrt{1+\frac{1}{1/8}} \right]$
$=-2.4.2+2.9.3$
$=38$
Kunci: B

SBMPTN 2018 Matematika IPA Kode 402 No. 12
Diketahui $(a_n)$ dan $(b_n)$ adalah dua barisan aritmetika dengan $a_1=5$, $a_2=8$, $b_1=3$, dan $b_2=7$. Jika A = {$a_1$, $a_2$, ..., $a_{100}$} dan B = {$b_1$, $b_2$, ..., $b_{100}$}, maka banyaknya anggota $A\cap B$ adalah ...
A. 20    B. 21    C. 22    D. 23    E. 24
Pembahasan:
$a_1=5$, $a_2=8$, b = 8 – 5 = 3, maka:
$b_1=3$, $b_2=7$, b = 7 – 3 = 4, maka:
A = {5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26,  29, 32, 35, 38, 41, 44, 47
B = {3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47
Jika diperhatikan polanya maka:
$A\cap B$ = {${{a}_{3}}$, ${{a}_{7}}$, ${{a}_{11}}$, …, ${{a}_{n}}$}
Membentuk barisan aritmetika:
3, 7, 11, …, ${{U}_{n}}$ 
${{U}_{n}}=4n-1\le 100\Leftrightarrow n=25$
Jadi banyak anggota $A\cap B$ adalah 25. 
Kunci: Tidak ada opsi

SBMPTN 2018 Matematika IPA Kode 402 No. 13
Himpunan semua bilangan real $x$ pada selang $[\pi,2\pi]$ yang memenuhi $2\cos \text{ }\left( \frac{\pi }{2}-x \right)\text{ }\cos x\ge 1-\cos 2x$ berbentuk $[a,b]$. Nilai $a+b$ adalah ...
A. $\frac{9\pi}{4}$
B. $3\pi$
C. $\frac{13\pi}{4}$
D. $\frac{14\pi}{4}$
E. $\frac{15\pi}{4}$
Pembahasan:
$2\cos \text{ }\left( \frac{\pi }{2}-x \right)\text{ }\cos x\ge 1-\cos 2x$
$2\sin x\cos x\ge 1-\cos 2x$
$2\sin x\cos x\ge 2{{\sin }^{2}}x$
$\sin x\cos x\ge {{\sin }^{2}}x$
${{\sin }^{2}}x-\sin x\cos x\le 0$
$\sin x(1-\cos x)\le 0$
Karena $1-\cos x\ge 0$, maka $\sin x\le 0$ ini dipenuhi pada kuadran ketiga dan keempat yaitu pada selang $[\pi ,2\pi ]=[a,b]$ maka $a+b=\pi +2\pi =3\pi $
Kunci: B

SBMPTN 2018 Matematika IPA Kode 402 No. 14
Diketahui $f(x)=9^{x^2-x+2}$ dan $g(x)=3^{x^2+2x+1}$. Jika $(a,b)$ adalah interval dengan grafik $y=f(x)$ berada di bawah grafik $y=g(x)$, maka nilai $a+2b$ adalah ...
A. 2    B. 4    C. 5    D. 7    E. 9
Pembahasan:
$y=f(x)$ berada di bawah grafik $y=g(x)$, maka:
$f(x)
${{9}^{{{x}^{2}}-x+2}} < {{3}^{{{x}^{2}}+2x+1}}$
${{\left( {{3}^{2}} \right)}^{{{x}^{2}}-x+2}} < {{3}^{{{x}^{2}}+2x+1}}$
${{3}^{2{{x}^{2}}-2x+4}} < {{3}^{{{x}^{2}}+2x+1}}$
$2{{x}^{2}}-2x+4 < {{x}^{2}}+2x+1$
${{x}^{2}}-4x+3 < 0$
$(x-1)(x-3) < 0$
$x=1$ atau $x=3$
$1 < x < 3$maka $a=1$ dan $b=3$
Maka: $a+2b=1+2.3=7$
Kunci: D

SBMPTN 2018 Matematika IPA Kode 402 No. 15
Diketahui dua lingkaran $x^2+y^2=2$ dan $x^2+y^2=4$. Garis $l_1$ menyinggung lingkaran pertama di titik $(1,-1)$. Garis $l_2$ menyinggung lingkaran kedua dan tegak lurus dengan garis $l_1$. Titik potong garis $l_1$ dan $l_2$ adalah ...
A. ($1+\sqrt 2$, $\sqrt 2-1$)
B. ($1-\sqrt 2$, $\sqrt 2-1$)
C. ($1+\sqrt 2$, $\sqrt 2+1$)
D. ($1-\sqrt 2$, $\sqrt 2-2$)
E. ($1+\sqrt 2$, $\sqrt 2+2$)
Pembahasan:
${{l}_{1}}$ adalah persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2=2$ di titik $(1,-1)$ maka:
${{l}_{1}}\equiv {{x}_{1}}.x+{{y}_{1}}.y={{r}^{2}}$
${{l}_{1}}\equiv x-y=2$
${{l}_{1}}\equiv y=x-2\Rightarrow {{m}_{1}}=1$
${{l}_{1}}\bot {{l}_{2}}\Rightarrow {{m}_{1}}.{{m}_{2}}=-1\Leftrightarrow {{m}_{2}}=-1$
${{l}_{2}}$ adalah persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2=4$ dengan gradien $-1$
$y=mx\pm r\sqrt{{{m}^{2}}+1}$ 
$y=-x\pm 2\sqrt{2}$
${{l}_{2}}\equiv y=-x+2\sqrt{2}$ atau ${{l}_{2}}\equiv y=-x-2\sqrt{2}$
Titik potong garis ${{l}_{1}}\equiv y=x-2$ dan garis ${{l}_{2}}\equiv y=-x+2\sqrt{2}$ adalah:
$y=y$
$x-2=-x+2\sqrt{2}$
$2x=2+2\sqrt{2}\Leftrightarrow x=1+\sqrt{2}$
$y=x-2$
$y=1+\sqrt{2}-2\Leftrightarrow y=\sqrt{2}-1$
Titik potongnya adalah $\left( 1+\sqrt{2},\sqrt{2}-1 \right)$
Kunci: A

Semoga Pembahasan SBMPTN 2018 Matematika IPA Kode 402 bermanfaat bagi kita semua.

Baca juga: Kumpulan Soal dan Pembahasan Matematika SBMPTN 

Previous
« Prev Post

Baca Juga Artikel Berikut:

May 08, 2018

0 komentar:

Post a Comment

Terima kasih atas kunjungannya!