Masalah Fungsi Turunan - CATATAN MATEMATIKA

Masalah Fungsi Turunan

Berikut ini masalah atau soal-soal aplikasi Fungsi Turunan.
No. 1
Sebuah talang air terbuat dari lembaran seng yang lebarnya 30 cm dengan cara melipat lebarnya menjadi tiga bagian yang sama seperti terlihat pada gambar di bawah ini. Besar sudut dinding talang dengan bidang alas adalah $\theta$. Hitunglah besar sudut agar volume air yang tertampung maksium dengan terlebih dahulu membuat sketsa ukuran-ukuran yang diperlukan! Tuliskan langkah penyelesaiannya!
Talang Air (Masalah Turuna Fungsi)
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Talang Air (Masalah Turunan Fungsi)
Perhatikan Segitiga BFC siku-siku di C
$\sin \theta = \frac{BF}{BC} \leftrightarrow \sin \theta = \frac{y}{10} \leftrightarrow y=10 \sin \theta$
$\cos \theta = \frac{CF}{BC} \leftrightarrow \cos \theta = \frac{x}{10} \leftrightarrow x=10 \cos \theta$
Agar volume maksimum, maka luas penampang talang (berbentuk trapesium) harus maksimum.
$\begin{align} L &= \frac{jumlah \ sisi \ sejajar \times tinggi}{2} \\ &= \frac{(DC + AB) \times BF}{2} \\ &= \frac{\left( (x + 10 + x) + 10 \right) \times y}{2} \\ &= \frac{\left(2x + 20 \right) \times y}{2} \\ &= (x+10).y \\ &= (10 \cos \theta + 10).10 \sin \theta \\ &= 100 \sin \theta \cos \theta + 100 \sin \theta \\ &= 50.2 \sin \theta \cos \theta + 100 \sin \theta \\ L &= 50. \sin 2\theta + 100 \sin \theta \end{align}$
$L'=100 \cos 2\theta + 100 \cos \theta$
$L'=0$, maka:
$\begin{align} 100 \cos 2\theta + 100 \cos \theta &= 0 \\ \cos 2\theta + \cos \theta &= 0 \\ 2\cos^2 \theta -1 + \cos \theta &= 0 \\ 2\cos^2 \theta + \cos \theta -1 &= 0 \\ (2\cos \theta -1)(\cos \theta + 1) &= 0 \end{align}$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$ atau $\cos \theta = -1$
$\cos \theta = \frac{1}{2} \leftrightarrow \theta = 60^o$
$\cos \theta = -1 \leftrightarrow \theta = 180^o$ tidak memenuhi sebab dinding talang akan berimpit dan tidak bisa menampung air.
Dengan logika sederhana maka diperoleh $\theta = 60^o$

No. 2
Suatu perusahaan memproduksi x unit barang per hari dengan biaya produksi $x^3-600x^2+112.500.000$ rupiah. Tentukanlah berapa unit barang harus diproduksi setiap harinya supaya biaya produksi menjadi minimum.
Pembahasan:
$B(x)=x^3-600x^2+112.500.000$
$B'(x)=3x^2-1200x$
$B'(x)=0$
$3x^2-1200x=0$
$x^2-400x=0$
$x(x-400)=0$
$x=0$ atau $x=400$
Uji Turunan Kedua
$B''(x)=6x-1200$
$B''(0)=6.0-1200=-1200 \leftrightarrow B''(x) < 0$ maka diperoleh Biaya maksimum untuk $x=0$.
$B''(400)=6.400-1200=1200 \leftrightarrow B''(x) > 0$ maka diperoleh Biaya minimum untuk $x=400$.
Jadi, biaya produksi minimum ketika jumlah barang yang diproduksi 400 unit.
Bagikan ke:

0 Response to "Masalah Fungsi Turunan"

Post a Comment

Terima kasih atas komentar dan kunjungannya. Pertanyaan melalui kolom komentar akan direspon secepatnya. #Berbagi Itu Indah.

Contact Form

Name

Email *

Message *