Skip to content Skip to sidebar Skip to footer

Masalah Fungsi Turunan

Berikut ini masalah atau soal-soal aplikasi Fungsi Turunan.
Soal No. 1
Sebuah talang air terbuat dari lembaran seng yang lebarnya 30 cm dengan cara melipat lebarnya menjadi tiga bagian yang sama seperti terlihat pada gambar di bawah ini. Besar sudut dinding talang dengan bidang alas adalah $\theta$. Hitunglah besar sudut agar volume air yang tertampung maksium dengan terlebih dahulu membuat sketsa ukuran-ukuran yang diperlukan! Tuliskan langkah penyelesaiannya!
Talang Air (Masalah Turuna Fungsi)
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Talang Air (Masalah Turunan Fungsi)
Perhatikan Segitiga BFC siku-siku di C
$\sin \theta = \frac{BF}{BC} \leftrightarrow \sin \theta = \frac{y}{10} \leftrightarrow y=10 \sin \theta$
$\cos \theta = \frac{CF}{BC} \leftrightarrow \cos \theta = \frac{x}{10} \leftrightarrow x=10 \cos \theta$
Agar volume maksimum, maka luas penampang talang (berbentuk trapesium) harus maksimum.
$\begin{align} L &= \frac{jumlah \ sisi \ sejajar \times tinggi}{2} \\ &= \frac{(DC + AB) \times BF}{2} \\ &= \frac{\left( (x + 10 + x) + 10 \right) \times y}{2} \\ &= \frac{\left(2x + 20 \right) \times y}{2} \\ &= (x+10).y \\ &= (10 \cos \theta + 10).10 \sin \theta \\ &= 100 \sin \theta \cos \theta + 100 \sin \theta \\ &= 50.2 \sin \theta \cos \theta + 100 \sin \theta \\ L &= 50. \sin 2\theta + 100 \sin \theta \end{align}$
$L'=100 \cos 2\theta + 100 \cos \theta$
$L'=0$, maka:
$\begin{align} 100 \cos 2\theta + 100 \cos \theta &= 0 \\ \cos 2\theta + \cos \theta &= 0 \\ 2\cos^2 \theta -1 + \cos \theta &= 0 \\ 2\cos^2 \theta + \cos \theta -1 &= 0 \\ (2\cos \theta -1)(\cos \theta + 1) &= 0 \end{align}$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$ atau $\cos \theta = -1$
$\cos \theta = \frac{1}{2} \leftrightarrow \theta = 60^o$
$\cos \theta = -1 \leftrightarrow \theta = 180^o$ tidak memenuhi sebab dinding talang akan berimpit dan tidak bisa menampung air.
Dengan logika sederhana maka diperoleh $\theta = 60^o$

Soal No. 2
Suatu perusahaan memproduksi x unit barang per hari dengan biaya produksi $x^3-600x^2+112.500.000$ rupiah. Tentukanlah berapa unit barang harus diproduksi setiap harinya supaya biaya produksi menjadi minimum.
Pembahasan:
$B(x)=x^3-600x^2+112.500.000$
$B'(x)=3x^2-1200x$
$B'(x)=0$
$3x^2-1200x=0$
$x^2-400x=0$
$x(x-400)=0$
$x=0$ atau $x=400$
Uji Turunan Kedua
$B''(x)=6x-1200$
$B''(0)=6.0-1200=-1200 \leftrightarrow B''(x) < 0$ maka diperoleh Biaya maksimum untuk $x=0$.
$B''(400)=6.400-1200=1200 \leftrightarrow B''(x) > 0$ maka diperoleh Biaya minimum untuk $x=400$.
Jadi, biaya produksi minimum ketika jumlah barang yang diproduksi 400 unit.

Soal No. 3
Seorang petani mempunyai kawat duri sebanyak 800 m yang digunakan untuk membuat kandang siku empat untuk memenuhi pojok gudang berukuran 20 m x 40 m seperti gambar (semua pojok harus dipakai dan tidak memerlukan kawat). Berapa ukuran kandang agar luas maksimum?
Luas Kandang Maksimum
Penyelesaian:
Perhatikan gambar berikut!
Penerapan Fungsi Turunan
Dari gambar, kita peroleh ukuran panjang kawat duri yang dibutuhkan untuk membuat kandang adalah:
$\begin{align} x-20+y+x+y-40 &=800 \\ 2x+2y &=860 \\ x+y &=430 \\ y &=430-x \end{align}$
Luas kandang (L) adalah:
$\begin{align} L &=xy-20\times 40 \\ &= x(430-x)-800 \\ L &= -{{x}^{2}}+430x-800 \end{align}$
Luas maksimum diperoleh untuk $L'=0$
$\begin{align} L' &=-2x+430 \\ 0 &=-2x+430 \\ 2x &=430 \\ x &=215 \end{align}$
$\begin{align} y &=430-x \\ &= 430-215 \\ y &=215 \end{align}$
Jadi, ukuran kandang agar luas maksimum adalah x = 215 m dan y = 215 m.
Update Postingan Terbaru dengan cara subscribe atau follow channel kami dengan klik ketiga tombol di bawah ini:


Fanspage FB Catatan Matematika
Channel Telegram Catatan Matematika

Post a comment for "Masalah Fungsi Turunan"