Soal dan Pembahasan STIS 2016 (Part-4) - CATATAN MATEMATIKA

Soal dan Pembahasan STIS 2016 (Part-4)

Soal dan Pembahasan STI 2016
Part-4 (Membasah Soal STIS 2016 No. 31 - 40).
WOW.... akhirnya selesai juga nih Soal dan Pembahasan STIS 2016 Part-4 (No. 31 - 40) yang pastinya pembahasan ini adalah lanjutan dari Part-3 (No. 21 - 30). Baiklah perhatikan dan ikuti langkah-langkah pembahasannya dengan teknik bertanya "kok bisa?" tentu jawabannya perhatikan kembali langkah sebelumnya.

PEMBAHASAN STIS 2016 No. 31
Dalam sebuah keranjang A yang berisi 5 buah mangga, 2 buah mangga di antaranya busuk. Dalam keranjang B yang berisi 6 buah apel, 1 di antaranya busuk. Ibu menghendaki 2 buah mangga dan 2 buah apel yang baik. Peluangnya adalah ...
A. 1/5   B. 1/10   C. 3/5   D. 3/10   E. 1/3
Pembahasan:
Rumus:
$C(n, k) = \frac{n!}{k!.(n-k)!}$
Dalam keranjang A terdapat 3 mangga yang baik dan 2 buah mangga yang busuk.
A = Ibu mendapatkan 2 buah mangga yang baik
$\begin{align*} n(A) &= C(3, 2) \\
&= \frac{3!}{2!.1!} \\
n(A) &= 3
\end{align*}$
$S_1$ = memilih 2 mangga dari 5 mangga pada keranjang A
$\begin{align*} n(S_1) &= C(5, 2) \\
&= \frac{5!}{2!.3!} \\
n(S_1) &= 10
\end{align*}$
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S_1)} \leftrightarrow P(A) = \frac{3}{10}$

Dalam keranjang B terdapat 5 apel yang baik dan 1 apel yang busuk.
B = Ibu mendapatkan 2 buah apel yang baik
$\begin{align*} n(B) &= C(5, 2) \\
&= \frac{5!}{2!.3!} \\
n(B) &= 10
\end{align*}$
$S_2$ = memilih 2 apel dari 6 apel pada keranjang B
$\begin{align*} n(S_2) &= C(6, 2) \\
&= \frac{6!}{2!.4!} \\
n(S_2) &= 15
\end{align*}$
$P(B) = \frac{n(B)}{n(S_2)} \leftrightarrow P(B) = \frac{10}{15} \leftrightarrow P(B) = \frac{2}{3}$
maka peluang Ibu menghendaki 2 buah mangga dan 2 buah apel yang baik adalah:
$\begin{align*} P(A \cap B) &= P(A) \times P(B) \\
&= \frac{3}{10}.\frac{2}{3} \\
&= \frac{6}{30}\\
&= \frac{1}{5}
\end{align*}$
Kunci: A

PEMBAHASAN STIS 2016 No. 32
$\lim_{x\rightarrow 8}{\frac{\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]x}{x-8}}=...$
A. $\frac{1}{2}$   B. $\frac{1}{3}$   C. $\frac{1}{4}$   D. $\frac{1}{6}$   E. $\frac{1}{8}$
Pembahasan:
$\lim_{x\rightarrow 8}\frac{\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]x}{x-8}$
$= \lim_{x\rightarrow 8} {\frac{\sqrt[3]x(\sqrt[3]x-2)}{x-8} \times \frac{(\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]x + 4)}{(\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]x + 4)}}$
$= \lim_{x\rightarrow 8} \frac{\sqrt[3]x.(x-8)}{(x-8)(\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]x + 4)}$
$= \lim_{x\rightarrow 8} \frac{\sqrt[3]x}{\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]x + 4}$
$= \frac{\sqrt[3]8}{\sqrt[3]{8^2} + 2\sqrt[3]8 + 4}$
$= \frac{2}{4 + 2.2 + 4}$
$= \frac{2}{12}$
$= \frac{1}{6}$
Kunci: D

PEMBAHASAN STIS 2016 No. 33
$\lim_{p \rightarrow q}{\frac{p\sqrt p - q\sqrt q}{\sqrt p - \sqrt q}} = ...$
A. $p$   B. $q$   C. $2q$   D. $3p$   E. $3q$
Pembahasan:
$\lim_{p \rightarrow q}{\frac{p\sqrt p - q\sqrt q}{\sqrt p - \sqrt q}}$
$= \lim_{p \rightarrow q}{\frac{(p\sqrt p - q\sqrt q)}{(\sqrt p - \sqrt q)} \times \frac{(p\sqrt p + q\sqrt q)}{(\sqrt p + \sqrt q)} \times \frac{(\sqrt p + \sqrt q)}{(p\sqrt p + q\sqrt q)}}$
$= \lim_{p \rightarrow q}\frac{(p^3 - q^3)(\sqrt p + \sqrt q)}{(p-q)(p\sqrt p + q\sqrt q)}$
$= \lim_{p \rightarrow q}\frac{(p - q)(p^2 + pq + q^2)(\sqrt p + \sqrt q)}{(p - q))(p\sqrt p + q\sqrt q)}$
$= \lim_{p \rightarrow q}\frac{(p^2 + pq + q^2)(\sqrt p + \sqrt q)}{(p\sqrt p + q\sqrt q)}$
$= \frac{(q^2 + q.q + q^2)(\sqrt q + \sqrt q)}{(q\sqrt q + q\sqrt q)}$
$= \frac{3q^2.2\sqrt q}{2q\sqrt q}$
$= 3q$
Kunci: E

PEMBAHASAN STIS 2016 No. 34
Jika $f(x) = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt x}}$, maka turunan dari $f(x)$ adalah ...
A. $\frac{1}{8}\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt x}}.\sqrt{2 + \sqrt x}.\sqrt x$
B. $8\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt x}}.\sqrt{2 + \sqrt x}.\sqrt x$
C. $\frac{1}{8\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt x}}.\sqrt{2 + \sqrt x}.\sqrt x}$
D. $\frac{1}{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt x}}.\sqrt{2 + \sqrt x}.\sqrt x}$
E. $\frac{8}{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt x}}.\sqrt{2 + \sqrt x}.\sqrt x}$
Pembahasan:
$y = f(x) = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt x}}$
Misal:
$u = \sqrt x \leftrightarrow \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt x}$
sehingga:
$y = \sqrt{2 + \sqrt{2 + u}}$
Misal:
$v = \sqrt{2 + u} \leftrightarrow \frac{dv}{du} = \frac{1}{2\sqrt{2 + u}}$
sehingga:
$y = \sqrt {2 + v} \leftrightarrow \frac{dy}{dv} = \frac{1}{2\sqrt {2 + v}}$
Aturan Rantai:
$\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{dv}.\frac{dv}{du}.\frac{du}{dx} \\
&= \frac{1}{2\sqrt {2 + v}}.\frac{1}{2\sqrt{2 + u}}.\frac{1}{2\sqrt x} \\
&= \frac{1}{2\sqrt {2 + \sqrt{2 + u}}}.\frac{1}{2\sqrt{2 + \sqrt x}}.\frac{1}{2\sqrt x} \\
&= \frac{1}{2\sqrt {2 + \sqrt{2 + \sqrt x}}}.\frac{1}{2\sqrt{2 + \sqrt x}}.\frac{1}{2\sqrt x} \\
&= \frac{1}{8\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt x}}.\sqrt{2 + \sqrt x}.\sqrt x}
\end{align*}$
Kunci: C

PEMBAHASAN STIS 2016 No. 35
$f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x^1 + a_0$, dengan $a_0, a_1, ..., a_n$ adalah himpunan bilangan riil dan $a_n \ne 0$. Jika $P$ menyatakan permutasi dan $C$ menyatakan kombinasi, maka turunan ke-n dari $f(x)$ adalah ...
A. $a_n P(n, 1)$
B. $a_n C(n, 1)$
C. $a_n P(n, n-1)$
D. $a_n C(n, n - 1)$
E. $a_n C(n, n)$
Pembahasan:
Perhatikan: untuk $x^{n-1}, x^{n-2}, x^{n-3}, ..., x^3, x^2, x, a_0$ turunan ke-n adalah 0, maka kita cukup fokus ke turunan ke-n dari $a_n x^n$,
$f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x^1 + a_0$
$\begin{align*} f^n (x) &= 1.2.3.....(n-2)(n-1)n.a_n + 0 +  .... + 0 + 0 + 0 \\
&= a_n.\frac{n(n-1)(n-2)...3.2.1}{1!} \\
&= a_n.\frac{n!}{n - (n-1)!} \\
f^n (x) &= a_n.P(n, n - 1)
\end{align*}$
Kunci: C

PEMBAHASAN STIS 2016 No. 36
Fungsi $y = 2x + 3\sqrt[3]{x^2}$ dalam interval $x \in [-2, 2]$ maka fungsi akan mencapai minimum pada nilai $x$ = ...
A. $-2$   B. $-1$   C. 0   D. 1   E. 2
Pembahasan:
$\begin{align*} y &= 2x + 3\sqrt[3]{x^2} \\
y &= 2x + 3.x^{\frac{2}{3}} \\
y' &= 2 + 2.x^{\frac{-1}{3}} \\
y' &= 2 + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}
\end{align*}$
stasioner maka y' = 0
$\begin{align*} 2 + \frac{2}{\sqrt[3]{x}} &= 0 \\
 \frac{2}{\sqrt[3]{x}} &= -2 \\
\sqrt[3]{x} &= -1 \\
x &= -1
\end{align*}$
interval [-2, 2] maka substitusi nilai x = -2, -1, 2 ke fungsi $y = 2x + 3\sqrt[3]{x^2}$, maka diperoleh:
$x = -2$ maka $y = 2.(-2) + 3\sqrt[3]{(-2)^2} \leftrightarrow y = -4 + 3\sqrt[3]{4} \approx 0,7$
$x = -1$ maka $y = 2.(-1) + 3\sqrt[3]{(-1)^2} \leftrightarrow y = 1$
$x = 2$ maka $y = 2.2 + 3\sqrt[3]{2^2} \leftrightarrow y = 4 + 3\sqrt[3]{4}$
nilai minimum fungsi $y \approx 0,7$ untuk $x = -2$
Kunci: A

PEMBAHASAN STIS 2016 No. 37
Jika $f "(x) = x + x \ cos \ x$ dan memenuhi $f(0) = 1$ dan $f '(0) = 2$, maka $f(x)$ = ...
A. $\frac{1}{6}x^3 - x \ cos \ x + 2 sin \ x + 2$
B. $\frac{1}{6}x^3 - x \ cos \ x + 2 sin \ x - 2$
C. $\frac{1}{6}x^3 + x \ cos \ x - 2 sin \ x - 2$
D. $\frac{1}{6}x^3 + x \ cos \ x + 2$
E. $\frac{1}{6}x^3 + x \ cos \ x - 2$
Pembahasan:
$f''(x) = x + x \ cos \ x$
$\begin{align*} f '(x) &= \int{f''(x)} dx \\
&= \int{(x + x \ cos \ x)dx} \\
f '(x) &= \frac{1}{2}x^2 + x.(sin \ x) + cos \ x + c_1 \\
f '(0) &= \frac{1}{2}0^2 + 0.sin \ 0 + cos \ 0 + c_1 \\
2 &= 0 + 0 + 1 + c_1 \\
1 &= c_1 \\
f '(x) &= \frac{1}{2}x^2 + x.sin \ x + cos \ x + 1 \\
f (x) &= \int{f '(x)dx} \\
f (x) &= \int{(\frac{1}{2}x^2 + x.sin \ x + cos \ x + 1)dx} \\
&= \frac{1}{6}x^3 + x.(-cos \ x) + sin \ x + sin \ x + x + c_2 \\
f(x) &= \frac{1}{6}x^3 - x \ cos \ x + 2 \ sin \ x + x + c_2 \\
f(0) &= \frac{1}{6}0^3 - 0.cos \ 0 + 2.sin \ 0 + 0 + c_2 \\
1 &= c_2 \\
f(x) &= \frac{1}{6}x^3 - x \ cos \ x + 2 \ sin \ x + x + 1
\end{align*}$
Kunci: Tidak Ada Opsi

PEMBAHASAN STIS 2016 No. 38
$\int_{-1}^{3} |x - 2| dx$ = ...
A. $-4$   B. 0   C. 1   D. 3   E. 5
Pembahasan:
Berdasarkan definisi nilai mutlak maka:
$|x - 2|$ = x - 2, jika $x \geq 0$
$|x - 2|$ = -x + 2, jika $x \leq 0$
$\begin{align*} \int_{-1}^{3} {|x - 2| dx} &= \int_{-1}^{0} {|x - 2| dx} + \int_{0}^{3} {|x - 2| dx} \\
&=\int_{-1}^{0} {(-x + 2)dx} + \int_{0}^{3} {(x - 2) dx} \\
&= (-\frac{1}{2}x^2 + 2x)|_{-1}^{0} + (\frac{1}{2}x^2 - 2x)|_{0}^{3} \\
&= 0 - (-\frac{1}{2}.(-1)^2 + 2.(-1)) + (\frac{1}{2}.3^2 - 2.3) - 0 \\
&= \frac{1}{2} + 2 + \frac{9}{2} - 6 \\
&= 1
\end{align*}$
Kunci: C

PEMBAHASAN STIS 2016 No. 39
Fungsi $f(x)$ dapat diintegralkan pada selang $a \leq x \leq b$, maka ...
A. $\int_{a}^{b} f(x)dx = f(b) - f(a)$
B. $\int_{a}^{b} 2f(x) = 2f(b-a)$
C. $\int_{a}^{b}f(x) dx + \int_{b}^{a} f(x)dx = 2\int_{a}^{b} f(x) dx$
D. $\int_{a}^{b}f(x) dx - \int_{b}^{a} f(x)dx = 0$
E. $\int_{a}^{b}f(x) dx + \int_{b}^{a} f(x)dx = 0$
Pembahasan:
Dari Sifat Integral Tentu:
$\begin{align*} \int_{a}^{b} {f(x) dx} &= -\int_{b}^{a} {f(x) dx} \\
\int_{a}^{b}{f(x) dx} + \int_{b}^{a} {f(x) dx} &= 0
\end{align*}$
Kunci: E

PEMBAHASAN STIS 2016 No. 40
Luas daerah di kuadran IV yang dibatasi oleh kurva $y^2 = x$, sumbu $x$, dan garis $x - y - 2 = 0$ dinyatakan ....
A. $\int_{0}^{1} \sqrt x dx + \int_{1}^{2}(2 - x)dx$
B. $\int_{0}^{1} \sqrt x dx + \int_{1}^{2}(x - 2)dx$
C. $\int_{0}^{2} \sqrt x + (x - 2)dx$
D. $\int_{-1}^{0} \sqrt x + (2 - x)dx$
E. $\int_{0}^{2} \sqrt x dx + \int_{2}^{4}(2 - x)dx$
Pembahasan:
Perhatikan grafik (daerah arsiran) berikut:
Soal dan Pembahasan STIS 2016
$y^2 = x \leftrightarrow y = \sqrt x$
$x - y - 2 = 0 \leftrightarrow y = x - 2$
maka:
$Luas \ arsiran =  \int_{0}^{1} {\sqrt x dx} + (- \int_{1}^{2}{(x-2) dx})$
$Luas \ arsiran = \int_{0}^{1} {\sqrt x dx} + \int_{1}^{2}{(2-x) dx}$
Kunci: A

Baca Juga:
Part-1 [Pembahasan No. 1 - 10]
#Berbagi_Itu_Indah
Dapatkan UPDATE TERBARU dengan cara subscribe dan follow channel berikut ini:


Fanspage FB Catatan Matematika
Channel Telegram Catatan Matematika
Sahabat-sahabat yang baik hatinya. Bantu share/ bagikan postingan ini di media sosial kalian ya..., agar blog ini semakin berkembang. Terimakasih!

2 Responses to "Soal dan Pembahasan STIS 2016 (Part-4)"

  1. Permisi pak, boleh tanya yg nomor 37 nya? Integral ke 1 = Integral ke 2 yg diintegralkan lagi? Mohon bantuan utk penjelasannya..
    Terima ksih sebelumnya pak..

    ReplyDelete
    Replies
    1. Integral adalah anti turunan.
      Misal:
      F(x) turunannya F'(x), artinya integral F'(x) adalah F(x).
      F'(x) turunannya F"(x), artinya integral F"(x) adalah F'(x).

      Delete

Pertanyaan melalui kolom komentar akan direspon secepatnya. Jika tidak direspon, berarti pertanyaan serupa telah ada.

close