Soal dan Pembahasan STIS 2016 (Part-4) - CATATAN MATEMATIKA

Soal dan Pembahasan STIS 2016 (Part-4)

Soal dan Pembahasan STI 2016
Part-4 (Membasah Soal STIS 2016 No. 31 - 40).
WOW.... akhirnya selesai juga nih Soal dan Pembahasan STIS 2016 Part-4 (No. 31 - 40) yang pastinya pembahasan ini adalah lanjutan dari Part-3 (No. 21 - 30). Baiklah perhatikan dan ikuti langkah-langkah pembahasannya dengan teknik bertanya "kok bisa?" tentu jawabannya perhatikan kembali langkah sebelumnya.

PEMBAHASAN STIS 2016 No. 31
Dalam sebuah keranjang A yang berisi 5 buah mangga, 2 buah mangga di antaranya busuk. Dalam keranjang B yang berisi 6 buah apel, 1 di antaranya busuk. Ibu menghendaki 2 buah mangga dan 2 buah apel yang baik. Peluangnya adalah ...
A. 1/5   B. 1/10   C. 3/5   D. 3/10   E. 1/3
Pembahasan:
Rumus:
$C(n, k) = \frac{n!}{k!.(n-k)!}$
Dalam keranjang A terdapat 3 mangga yang baik dan 2 buah mangga yang busuk.
A = Ibu mendapatkan 2 buah mangga yang baik
$\begin{align*} n(A) &= C(3, 2) \\
&= \frac{3!}{2!.1!} \\
n(A) &= 3
\end{align*}$
$S_1$ = memilih 2 mangga dari 5 mangga pada keranjang A
$\begin{align*} n(S_1) &= C(5, 2) \\
&= \frac{5!}{2!.3!} \\
n(S_1) &= 10
\end{align*}$
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S_1)} \leftrightarrow P(A) = \frac{3}{10}$

Dalam keranjang B terdapat 5 apel yang baik dan 1 apel yang busuk.
B = Ibu mendapatkan 2 buah apel yang baik
$\begin{align*} n(B) &= C(5, 2) \\
&= \frac{5!}{2!.3!} \\
n(B) &= 10
\end{align*}$
$S_2$ = memilih 2 apel dari 6 apel pada keranjang B
$\begin{align*} n(S_2) &= C(6, 2) \\
&= \frac{6!}{2!.4!} \\
n(S_2) &= 15
\end{align*}$
$P(B) = \frac{n(B)}{n(S_2)} \leftrightarrow P(B) = \frac{10}{15} \leftrightarrow P(B) = \frac{2}{3}$
maka peluang Ibu menghendaki 2 buah mangga dan 2 buah apel yang baik adalah:
$\begin{align*} P(A \cap B) &= P(A) \times P(B) \\
&= \frac{3}{10}.\frac{2}{3} \\
&= \frac{6}{30}\\
&= \frac{1}{5}
\end{align*}$
Kunci: A

PEMBAHASAN STIS 2016 No. 32
$\lim_{x\rightarrow 8}{\frac{\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]x}{x-8}}=...$
A. $\frac{1}{2}$   B. $\frac{1}{3}$   C. $\frac{1}{4}$   D. $\frac{1}{6}$   E. $\frac{1}{8}$
Pembahasan:
$\lim_{x\rightarrow 8}\frac{\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]x}{x-8}$
$= \lim_{x\rightarrow 8} {\frac{\sqrt[3]x(\sqrt[3]x-2)}{x-8} \times \frac{(\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]x + 4)}{(\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]x + 4)}}$
$= \lim_{x\rightarrow 8} \frac{\sqrt[3]x.(x-8)}{(x-8)(\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]x + 4)}$
$= \lim_{x\rightarrow 8} \frac{\sqrt[3]x}{\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]x + 4}$
$= \frac{\sqrt[3]8}{\sqrt[3]{8^2} + 2\sqrt[3]8 + 4}$
$= \frac{2}{4 + 2.2 + 4}$
$= \frac{2}{12}$
$= \frac{1}{6}$
Kunci: D

PEMBAHASAN STIS 2016 No. 33
$\lim_{p \rightarrow q}{\frac{p\sqrt p - q\sqrt q}{\sqrt p - \sqrt q}} = ...$
A. $p$   B. $q$   C. $2q$   D. $3p$   E. $3q$
Pembahasan:
$\lim_{p \rightarrow q}{\frac{p\sqrt p - q\sqrt q}{\sqrt p - \sqrt q}}$
$= \lim_{p \rightarrow q}{\frac{(p\sqrt p - q\sqrt q)}{(\sqrt p - \sqrt q)} \times \frac{(p\sqrt p + q\sqrt q)}{(\sqrt p + \sqrt q)} \times \frac{(\sqrt p + \sqrt q)}{(p\sqrt p + q\sqrt q)}}$
$= \lim_{p \rightarrow q}\frac{(p^3 - q^3)(\sqrt p + \sqrt q)}{(p-q)(p\sqrt p + q\sqrt q)}$
$= \lim_{p \rightarrow q}\frac{(p - q)(p^2 + pq + q^2)(\sqrt p + \sqrt q)}{(p - q))(p\sqrt p + q\sqrt q)}$
$= \lim_{p \rightarrow q}\frac{(p^2 + pq + q^2)(\sqrt p + \sqrt q)}{(p\sqrt p + q\sqrt q)}$
$= \frac{(q^2 + q.q + q^2)(\sqrt q + \sqrt q)}{(q\sqrt q + q\sqrt q)}$
$= \frac{3q^2.2\sqrt q}{2q\sqrt q}$
$= 3q$
Kunci: E

PEMBAHASAN STIS 2016 No. 34
Jika $f(x) = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt x}}$, maka turunan dari $f(x)$ adalah ...
A. $\frac{1}{8}\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt x}}.\sqrt{2 + \sqrt x}.\sqrt x$
B. $8\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt x}}.\sqrt{2 + \sqrt x}.\sqrt x$
C. $\frac{1}{8\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt x}}.\sqrt{2 + \sqrt x}.\sqrt x}$
D. $\frac{1}{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt x}}.\sqrt{2 + \sqrt x}.\sqrt x}$
E. $\frac{8}{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt x}}.\sqrt{2 + \sqrt x}.\sqrt x}$
Pembahasan:
$y = f(x) = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt x}}$
Misal:
$u = \sqrt x \leftrightarrow \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt x}$
sehingga:
$y = \sqrt{2 + \sqrt{2 + u}}$
Misal:
$v = \sqrt{2 + u} \leftrightarrow \frac{dv}{du} = \frac{1}{2\sqrt{2 + u}}$
sehingga:
$y = \sqrt {2 + v} \leftrightarrow \frac{dy}{dv} = \frac{1}{2\sqrt {2 + v}}$
Aturan Rantai:
$\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{dv}.\frac{dv}{du}.\frac{du}{dx} \\
&= \frac{1}{2\sqrt {2 + v}}.\frac{1}{2\sqrt{2 + u}}.\frac{1}{2\sqrt x} \\
&= \frac{1}{2\sqrt {2 + \sqrt{2 + u}}}.\frac{1}{2\sqrt{2 + \sqrt x}}.\frac{1}{2\sqrt x} \\
&= \frac{1}{2\sqrt {2 + \sqrt{2 + \sqrt x}}}.\frac{1}{2\sqrt{2 + \sqrt x}}.\frac{1}{2\sqrt x} \\
&= \frac{1}{8\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt x}}.\sqrt{2 + \sqrt x}.\sqrt x}
\end{align*}$
Kunci: C

PEMBAHASAN STIS 2016 No. 35
$f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x^1 + a_0$, dengan $a_0, a_1, ..., a_n$ adalah himpunan bilangan riil dan $a_n \ne 0$. Jika $P$ menyatakan permutasi dan $C$ menyatakan kombinasi, maka turunan ke-n dari $f(x)$ adalah ...
A. $a_n P(n, 1)$
B. $a_n C(n, 1)$
C. $a_n P(n, n-1)$
D. $a_n C(n, n - 1)$
E. $a_n C(n, n)$
Pembahasan:
Perhatikan: untuk $x^{n-1}, x^{n-2}, x^{n-3}, ..., x^3, x^2, x, a_0$ turunan ke-n adalah 0, maka kita cukup fokus ke turunan ke-n dari $a_n x^n$,
$f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x^1 + a_0$
$\begin{align*} f^n (x) &= 1.2.3.....(n-2)(n-1)n.a_n + 0 +  .... + 0 + 0 + 0 \\
&= a_n.\frac{n(n-1)(n-2)...3.2.1}{1!} \\
&= a_n.\frac{n!}{n - (n-1)!} \\
f^n (x) &= a_n.P(n, n - 1)
\end{align*}$
Kunci: C

PEMBAHASAN STIS 2016 No. 36
Fungsi $y = 2x + 3\sqrt[3]{x^2}$ dalam interval $x \in [-2, 2]$ maka fungsi akan mencapai minimum pada nilai $x$ = ...
A. $-2$   B. $-1$   C. 0   D. 1   E. 2
Pembahasan:
$\begin{align*} y &= 2x + 3\sqrt[3]{x^2} \\
y &= 2x + 3.x^{\frac{2}{3}} \\
y' &= 2 + 2.x^{\frac{-1}{3}} \\
y' &= 2 + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}
\end{align*}$
stasioner maka y' = 0
$\begin{align*} 2 + \frac{2}{\sqrt[3]{x}} &= 0 \\
 \frac{2}{\sqrt[3]{x}} &= -2 \\
\sqrt[3]{x} &= -1 \\
x &= -1
\end{align*}$
interval [-2, 2] maka substitusi nilai x = -2, -1, 2 ke fungsi $y = 2x + 3\sqrt[3]{x^2}$, maka diperoleh:
$x = -2$ maka $y = 2.(-2) + 3\sqrt[3]{(-2)^2} \leftrightarrow y = -4 + 3\sqrt[3]{4} \approx 0,7$
$x = -1$ maka $y = 2.(-1) + 3\sqrt[3]{(-1)^2} \leftrightarrow y = 1$
$x = 2$ maka $y = 2.2 + 3\sqrt[3]{2^2} \leftrightarrow y = 4 + 3\sqrt[3]{4}$
nilai minimum fungsi $y \approx 0,7$ untuk $x = -2$
Kunci: A

PEMBAHASAN STIS 2016 No. 37
Jika $f "(x) = x + x \ cos \ x$ dan memenuhi $f(0) = 1$ dan $f '(0) = 2$, maka $f(x)$ = ...
A. $\frac{1}{6}x^3 - x \ cos \ x + 2 sin \ x + 2$
B. $\frac{1}{6}x^3 - x \ cos \ x + 2 sin \ x - 2$
C. $\frac{1}{6}x^3 + x \ cos \ x - 2 sin \ x - 2$
D. $\frac{1}{6}x^3 + x \ cos \ x + 2$
E. $\frac{1}{6}x^3 + x \ cos \ x - 2$
Pembahasan:
$f''(x) = x + x \ cos \ x$
$\begin{align*} f '(x) &= \int{f''(x)} dx \\
&= \int{(x + x \ cos \ x)dx} \\
f '(x) &= \frac{1}{2}x^2 + x.(sin \ x) + cos \ x + c_1 \\
f '(0) &= \frac{1}{2}0^2 + 0.sin \ 0 + cos \ 0 + c_1 \\
2 &= 0 + 0 + 1 + c_1 \\
1 &= c_1 \\
f '(x) &= \frac{1}{2}x^2 + x.sin \ x + cos \ x + 1 \\
f (x) &= \int{f '(x)dx} \\
f (x) &= \int{(\frac{1}{2}x^2 + x.sin \ x + cos \ x + 1)dx} \\
&= \frac{1}{6}x^3 + x.(-cos \ x) + sin \ x + sin \ x + x + c_2 \\
f(x) &= \frac{1}{6}x^3 - x \ cos \ x + 2 \ sin \ x + x + c_2 \\
f(0) &= \frac{1}{6}0^3 - 0.cos \ 0 + 2.sin \ 0 + 0 + c_2 \\
1 &= c_2 \\
f(x) &= \frac{1}{6}x^3 - x \ cos \ x + 2 \ sin \ x + x + 1
\end{align*}$
Kunci: Tidak Ada Opsi

PEMBAHASAN STIS 2016 No. 38
$\int_{-1}^{3} |x - 2| dx$ = ...
A. $-4$   B. 0   C. 1   D. 3   E. 5
Pembahasan:
Berdasarkan definisi nilai mutlak maka:
$|x - 2|$ = x - 2, jika $x \geq 0$
$|x - 2|$ = -x + 2, jika $x \leq 0$
$\begin{align*} \int_{-1}^{3} {|x - 2| dx} &= \int_{-1}^{0} {|x - 2| dx} + \int_{0}^{3} {|x - 2| dx} \\
&=\int_{-1}^{0} {(-x + 2)dx} + \int_{0}^{3} {(x - 2) dx} \\
&= (-\frac{1}{2}x^2 + 2x)|_{-1}^{0} + (\frac{1}{2}x^2 - 2x)|_{0}^{3} \\
&= 0 - (-\frac{1}{2}.(-1)^2 + 2.(-1)) + (\frac{1}{2}.3^2 - 2.3) - 0 \\
&= \frac{1}{2} + 2 + \frac{9}{2} - 6 \\
&= 1
\end{align*}$
Kunci: C

PEMBAHASAN STIS 2016 No. 39
Fungsi $f(x)$ dapat diintegralkan pada selang $a \leq x \leq b$, maka ...
A. $\int_{a}^{b} f(x)dx = f(b) - f(a)$
B. $\int_{a}^{b} 2f(x) = 2f(b-a)$
C. $\int_{a}^{b}f(x) dx + \int_{b}^{a} f(x)dx = 2\int_{a}^{b} f(x) dx$
D. $\int_{a}^{b}f(x) dx - \int_{b}^{a} f(x)dx = 0$
E. $\int_{a}^{b}f(x) dx + \int_{b}^{a} f(x)dx = 0$
Pembahasan:
Dari Sifat Integral Tentu:
$\begin{align*} \int_{a}^{b} {f(x) dx} &= -\int_{b}^{a} {f(x) dx} \\
\int_{a}^{b}{f(x) dx} + \int_{b}^{a} {f(x) dx} &= 0
\end{align*}$
Kunci: E

PEMBAHASAN STIS 2016 No. 40
Luas daerah di kuadran IV yang dibatasi oleh kurva $y^2 = x$, sumbu $x$, dan garis $x - y - 2 = 0$ dinyatakan ....
A. $\int_{0}^{1} \sqrt x dx + \int_{1}^{2}(2 - x)dx$
B. $\int_{0}^{1} \sqrt x dx + \int_{1}^{2}(x - 2)dx$
C. $\int_{0}^{2} \sqrt x + (x - 2)dx$
D. $\int_{-1}^{0} \sqrt x + (2 - x)dx$
E. $\int_{0}^{2} \sqrt x dx + \int_{2}^{4}(2 - x)dx$
Pembahasan:
Perhatikan grafik (daerah arsiran) berikut:
Soal dan Pembahasan STIS 2016
$y^2 = x \leftrightarrow y = \sqrt x$
$x - y - 2 = 0 \leftrightarrow y = x - 2$
maka:
$Luas \ arsiran =  \int_{0}^{1} {\sqrt x dx} + (- \int_{1}^{2}{(x-2) dx})$
$Luas \ arsiran = \int_{0}^{1} {\sqrt x dx} + \int_{1}^{2}{(2-x) dx}$
Kunci: A

Baca Juga:
Part-1 [Pembahasan No. 1 - 10]
#Berbagi_Itu_Indah
Bagikan ke:

2 Responses to "Soal dan Pembahasan STIS 2016 (Part-4)"

  1. Permisi pak, boleh tanya yg nomor 37 nya? Integral ke 1 = Integral ke 2 yg diintegralkan lagi? Mohon bantuan utk penjelasannya..
    Terima ksih sebelumnya pak..

    ReplyDelete
    Replies
    1. Integral adalah anti turunan.
      Misal:
      F(x) turunannya F'(x), artinya integral F'(x) adalah F(x).
      F'(x) turunannya F"(x), artinya integral F"(x) adalah F'(x).

      Delete

Terima kasih atas komentar dan kunjungannya. #Berbagi Itu Indah.

Contact Form

Name

Email *

Message *