Rente Pranumerando - Matematika Keuangan

A. Rente Pranumerando

Rente pranumerando adalah rente yang dibayarkan setiap awal periode yang besarnya tetap.

B. Nilai Akhir Rente Pranumerando

Nilai akhir rente pranumerando adalah jumlah semua nilai tunai angsuran yang dihitung pada awal masa bunga, hingga angsuran terakhir juga mengalami pembungaan. $N_A=\frac{M(1+i)((1+i)^n-1)}{i}$
Keterangan:
$\begin{align}N_A &= \text{Modal setelah}\,n\,\text{periode} \\ M &= \text{Modal setiap awal periode} \\ i &= \text{suku bunga (persentase bunga)} \\ n &= \text{periode (jangka waktu)} \end{align}$

---

Contoh 1.
Pak Andri menabung modal di sebuah bank sebesar Rp20.000.000,00 setiap awal tahun. Jika bank tersebut memberikan bunga 5% per tahun. Tentukan modal Pak Andri setelah menabung selama 10 tahun.
Penyelesaian:
$M$ = Rp20.000.000,00 setiap awal tahun.
$i$ = 5% per tahun = 0,05 per tahun.
$n$ = 10 tahun
$N_A$ = ...

$N_A=$
$\begin{align}N_A &= \frac{M(1+i)((1+i)^n-1)}{i} \\ &= \frac{20.000.000(1+0,05)((1+0,05)^{10}-1)}{0,05} \\ &= \frac{20.000.000(1,05)((1,05)^{10}-1)}{0,05} \\ &= \frac{21.000.000(1,6288946-1)}{0,05} \\ &= \frac{21.000.000\times 0,6288946}{0,05} \\ N_A &\approx 264.135,73 \end{align}$

---

Contoh 2.
Armita menabung di sebuah bank sebesar Rp1.200.000,00 setiap bulan di awal. Jika bank tersebut memberikan bunga 1,5% per triwulan, tentukan jumlah uang Armita setelah 4 tahun.
Penyelesaian:
$M$ = Rp1.200.000 setiap awal bulan.
$i$ = 1,5% per triwulan = $\frac{1,5}{100\times 3}$ per bulan = 0,005 per bulan.
$n$ = 4 tahun = $4\times 12$ bulan = 48 bulan.
$N_A$ = ...

$\begin{align}N_A &= \frac{M(1+i)((1+i)^n-1)}{i} \\ &= \frac{1.200.000(1+0,005)((1+0,005)^{48}-1)}{0,005} \\ &= \frac{1.200.000(1,005)((1,005)^{48}-1)}{0,005} \\ &= \frac{1.206.000(1,2704892-1)}{0,005} \\ &= \frac{1.206.000\times 0,2704892}{0,005} \\ N_A &\approx 65.241.995,04 \end{align}$

---

Contoh 3.
Tentukan nilai akhir rente pranumerando dengan angsuran Rp5.200.000,00 tiap semester selama 8 tahun dengan suku bunga 4,75% per semester.
Penyelesaian:
$M$ = Rp5.200.000,00 tiap awal semester.
$i$ = 4,75% per semester = 0,0475 per semester.
$n$ = 8 tahun = $8\times 2$ semester = 16 semester.
$N_A$ = ...

$\begin{align}N_A &= \frac{M(1+i)((1+i)^n-1)}{i} \\ &= \frac{5.200.000(1+0,0475)((1+0,0475)^{16}-1)}{0,0475} \\ &= \frac{5.200.000(1,0475)((1,0475)^{16}-1)}{0,0475} \\ &= \frac{5.447.000(2,101186-1)}{0,0475} \\ &= \frac{5.447.000\times 1,101186}{0,0475} \\ N_A &\approx 126.277.055,62 \end{align}$

C. Nilai Tunai Rente Pranumerando

Nilai tunai rente pranumerando adalah jumlah semua nilai tunai angsuran yang dihiutng pada awal masa bunga yang pertama dan diterima sekaligus di awal periode pertama. Nilai tunai angsuran pertama adalah nilai angsuran itu sendiri.
$N_T=\frac{M(1+i)(1-(1+i)^{-n})}{i}$
Keterangan:
$\begin{align}N_T &= \text{Modal yang diterima sekaligus} \\ M &= \text{Modal setiap awal periode} \\ i &= \text{suku bunga (persentase bunga)} \\ n &= \text{periode (jangka waktu)} \end{align}$

---

Contoh 1.
Setiap awal bulan, seorang lansia bukan pensiunan akan menerima uang dari Dinas Sosial Provinsi DKI Jakarta sebesar Rp400.000,00 selama 5 tahun. Jika uang tersebut akan diberikan sekaligus pada awal bulan pertama dengan bunga 0,4% per bulan, tentukan jumlah uang yang diterima seorang lansia tersebut.
Penyelesaian:
$M$ = Rp400.000,00 setiap awal bulan.
$n$ = 5 tahun = $5\times 12$ bulan = 60 bulan.
$i$ = 0,4% per bulan
$N_T$ = ...

$\begin{align}N_T &= \frac{M(1+i)(1-(1+i)^{-n})}{i} \\ &= \frac{400.000(1+0,004)(1-(1+0,004)^{-60})}{0,004} \\ &= \frac{400.000(1,004)(1-0,7870045)}{0,004} \\ &= \frac{401.600\times 0,2129955}{0,004} \\ N_T &\approx 21.384.748,2 \end{align}$

---

Contoh 2.
Seorang veteran menerima uang Rp3.000.000,00 tiap awal triwulan selama 5 tahun. Jika uang tersebut akan diberikan sekaligus pada awal triwulan pertama dengan bunga 1,6% per triwulan, tentukan jumlah uang yang diterima veteran tersebut.
Penyelesaian:
$M$ = Rp3.000.000,00 tiap awal triwulan.
$n$ = 5 tahun = $\frac{5\times 12}{3}$ triwulan = 20 triwulan.
$i$ = 1,6% per triwulan = 0,016 per triwulan.
$N_T$ = ...

$\begin{align}N_T &= \frac{M(1+i)(1-(1+i)^{-n})}{i} \\ &= \frac{3.000.000(1+0,016)(1-(1+0,016)^{-20})}{0,016} \\ &= \frac{3.000.000(1,016)(1-(1,016)^{-20})}{0,016} \\ &= \frac{3.048.000(1-0,7279907)}{0,016} \\ &= \frac{3.048.000\times 0,2720093}{0,016} \\ N_T &\approx 51.817.771,65 \end{align}$

D. Soal Latihan

1. Herman menabung di sebuah bank sebesar Rp1.000.000,00 setiap awal bulan. Jika bank tersebut memberikan bunga 1% per bulan, tentukan jumlah uang Herman setelah menabung selama 20 bulan.
2. Setiap awal bulan, Akmal menyimpan uang di sebuah bank sebesar Rp800.000,00 untuk mdoal usaha. Bank tersebut memberikan bunga 0,5% per bulan selama 4 tahun. Tentukan simpanan Akmal selama 4 tahun.
3. Setiap anak yatim yang berusia di bawah 15 tahun akan mendapatkan bantuan dari pemerintah sebesar Rp5.000.000,00 tiap awal tahun selama 4 tahun. Jika bantuan tersebut akan diberikan sekaligus pada awal tahun pertama dengan bunga 4% per tahun, tentukan jumlah bantuan yang diterima setiap anak yatim.
4. Setiap korban bencana erupsi akan merima santunan sebesar Rp1.000.000,00 tiap cawu selama 5 tahun. Jika santunan tersebut akan diberikan sekaligus pada awal cawu pertama dengan bunga 1% per cawu, tentukan jumlah santunan yang diterima setiap korban.
5. Seorang siswa mendapat beasiswa dari Yayasan Sukses Bersama sebesar Rp500.000,00 tiap awal bulan selama 4 tahun 6 bulan. Jika beasiswa tersebut akan diberikan sekaligus pada awal bulan pertama dengan bunga 1% per bulan, tentukan jumlah beasiswa yang diterima siswa tersebut!

Share :