Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri

A. Limit Tak Fungsi Trionometri

Limit tak hingga fungsi trigonometri adalah gabungan dari limit tak hingga dan limit fungsi trigonometri. Jika sudut suatu fungsi trigonometri berbentuk tak hingga ($\infty $), maka nilainya tidak bisa ditentukan. Misalkan $\sin \infty $, $\cos \infty $, dan $\tan \infty $ tidak bisa ditentukan nilainya karena $-1\le \sin x\le $, $-1\le \cos x\le 1$, dan $-\infty \le \tan x\le \infty $ dengan $x$ yang sudah pasti. Oleh karena itu, bentuk yang digunakan adalah $\frac{1}{\infty }=0$, maka nilai fungsi trigonometri dapat dihitung yaitu $\sin \frac{1}{\infty }=0$, $\cos \frac{1}{\infty }=1$, dan $\tan \frac{1}{\infty }=0$.

---

Contoh 1.
Tentukan nilai $\lim\limits_{x \to \infty}x\sin \frac{1}{x}$.
Penyelesaian:
Misalkan, $\frac{1}{x}=y\to x=\frac{1}{y}$
Untuk $x\to \infty $ maka $y\to \frac{1}{x}=y\to \frac{1}{\infty }=y\to 0$, sehingga diperoleh:
$\begin{align}\lim\limits_{x \to \infty}\left( x\sin \frac{1}{x} \right) &= \lim\limits_{y \to 0}\left( \frac{1}{y}\cdot \sin y \right) \\ &= \lim\limits_{y \to 0}\frac{\sin y}{y} \\ &= 1 \end{align}$

---

Contoh 2.
Tentukan nilai $\lim\limits_{x \to \infty}\frac{2}{x}\csc \frac{1}{x}$.
Penyelesaian:
Misalkan, $\frac{1}{x}=y\to x=\frac{1}{y}$
Untuk $x\to \infty $ maka $y\to \frac{1}{x}=y\to \frac{1}{\infty }=y\to 0$, sehingga diperoleh:
$\begin{align}\lim\limits_{x \to \infty}\frac{2}{x}\csc \frac{1}{x} &= \lim\limits_{y \to 0}2\cdot \frac{1}{x}\csc \frac{1}{x} \\ &= \lim\limits_{y \to 0}2y\csc y \\ &= \lim\limits_{y \to 0}\frac{2y}{\sin y} \\ &= \frac{2}{1} \\ &= 2 \end{align}$

---

Contoh 3.
Tentukan nilai $\lim\limits_{x \to \infty}\frac{1-\cos \frac{6}{x}}{\frac{1}{x}\tan \frac{7}{x}}$.
Penyelesaian:
Misalkan, $\frac{1}{x}=y\to x=\frac{1}{y}$
Untuk $x\to \infty $ maka $y\to \frac{1}{x}=y\to \frac{1}{\infty }=y\to 0$, sehingga diperoleh:
$\begin{align}\lim\limits_{x \to \infty}\frac{1-\cos \frac{6}{x}}{\frac{1}{x}\tan \frac{7}{x}} &= \lim\limits_{x \to \infty}\frac{1-\cos \left( 6\cdot \frac{1}{x} \right)}{\frac{1}{x}\tan \left( 7\cdot \frac{1}{x} \right)} \\ &= \lim\limits_{y \to 0}\frac{1-\cos 6y}{y\tan 7y} \\ &= \lim\limits_{y \to 0}\frac{2{\sin^2}\left( \frac{6y}{2} \right)}{y\tan 7y} \\ &= \lim\limits_{y \to 0}\frac{2{\sin^2}3y}{y\tan 7y} \\ &= \lim\limits_{y \to 0}\left( 2\cdot \frac{\sin 3y}{y}\cdot \frac{\sin 3y}{\tan 7y} \right) \\ &= 2\cdot \frac{3}{1}\cdot \frac{3}{7} \\ &= \frac{18}{7} \end{align}$

---

Contoh 4.
Tentukan nilai $\lim\limits_{x \to \infty}x\left( \sec \frac{1}{\sqrt{x}}-1 \right)$.
Penyelesaian:
Misalkan, $\frac{1}{x}=y\to x=\frac{1}{y}$
Untuk $x\to \infty $ maka $y\to \frac{1}{x}=y\to \frac{1}{\infty }=y\to 0$, sehingga diperoleh:
$\lim\limits_{x \to \infty}x\left( \sec \frac{1}{\sqrt{x}}-1 \right)$ = $\lim\limits_{x \to \infty}x\left( \sec \sqrt{\frac{1}{x}}-1 \right)$ = $\lim\limits_{y \to 0}\frac{1}{y}\left( \sec \sqrt{y}-1 \right)$
Misalkan, $\sqrt{y}=p\to y=p^2$
Untuk $y\to 0$ maka $p\to 0$
$\lim\limits_{y \to 0}\frac{1}{y}\left( \sec \sqrt{y}-1 \right)$
= $\lim\limits_{p \to 0}\frac{1}{p^2}\left( \sec p-1 \right)$
= $\lim\limits_{p \to 0}\frac{1}{p^2}\left( \frac{1}{\cos p}-1 \right)$
= $\lim\limits_{p \to 0}\frac{1}{p^2}\left( \frac{1-\cos p}{\cos p} \right)$
= $\lim\limits_{p \to 0}\frac{1}{p^2}\cdot \frac{2{\sin^2}\left( \frac{1}{2}p \right)}{\cos p}$
= $\lim\limits_{p \to 0}\frac{\sin \frac{1}{2}p}{p}\cdot \frac{\sin \frac{1}{2}p}{p}\cdot \frac{2}{\cos p}$
= $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{\cos 0}$
= $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{1}$
= $\frac{1}{2}$

---

Contoh 5.
Tentukan nilai $\lim\limits_{x \to \infty}\frac{{\cos^2}\left( \frac{4}{x} \right)}{x\tan \frac{3}{x}}$.
Penyelesaian:
Misalkan, $\frac{1}{x}=y\to x=\frac{1}{y}$
Untuk $x\to \infty $ maka $y\to \frac{1}{x}=y\to \frac{1}{\infty }=y\to 0$, sehingga diperoleh:
$\begin{align}\lim\limits_{x \to \infty}\frac{{\cos^2}\left( \frac{4}{x} \right)}{x\tan \frac{3}{x}} &= \lim\limits_{x \to \infty}\frac{{\cos^2}\left( 4\cdot \frac{1}{x} \right)}{x\tan \left( 3\cdot \frac{1}{x} \right)} \\ &= \lim\limits_{y \to 0}\frac{{\cos^2}4y}{\frac{1}{y}\tan 3y} \\ &= \frac{\lim\limits_{y \to 0}{\cos^2}4y}{\lim\limits_{y \to 0}\frac{\tan 3y}{y}} \\ &= \frac{{\cos^2}(4\cdot 0)}{\frac{3}{1}} \\ &= \frac{1}{3} \end{align}$

---

B. Soal Latihan

1. Tentukan nilai $\lim\limits_{x \to \infty}\frac{\sin \frac{2}{x}}{\tan \frac{5}{x}}$.
2. Tentukan nilai $\lim\limits_{x \to \infty}x\sin \frac{3}{x}\cos \frac{5}{x}$.
3. Tentukan nilai $\lim\limits_{x \to \infty}\frac{\frac{1}{x}\tan \frac{3}{x}}{1-\cos \frac{4}{x}}$.
4. Tentukan nilai $\lim\limits_{x \to \infty}\left( \csc \frac{1}{x}-\cot \frac{1}{x} \right)$.
5. Tentukan nilai $\lim\limits_{x \to \infty}2x\tan \frac{1}{x}\cdot \sec \frac{2}{x}$.

Share :