Anuitas dan Sisa Pinjaman

A. Anuitas (A)

Anuitas adalah sejumlah pembayaran pinjaman dengan cara mencicil melalui lembaga keuangan (finance/bank) yang sama besarnya dan dibayarkan setiap jangka waktu tertentu. Anuitas terdiri atas bagian angsuran dan bunga.
Anuitas = Angsuran + Bunga
$A=a_n+b_n$ dan $A=\frac{M\times i}{1-(1+i)^{-n}}$
Keterangan:
$\begin{align}A &= \text{ Anuitas} \\ a_n &= \text{ angsuran ke-}n \\ b_n &= \text{ bunga ke-}n \\ M &= \text{ Modal/Pinjaman} \\ i &= \text{ suku bunga} \\ n &= \text{ periode (jangka waktu)} \end{align}$

Bunga ke-1 $(b_1)$ adalah: $b_1=M\times i$
Angsuran ke-1 $(a_1)$ adalah $a_1=\frac{M\times i}{(1+i)^n-1}$
Angsuran ke-$n$: $a_n=a_k(1+i)^{n-k}$
Hubungan anuitas dan angsuran pertama: $A=a_1(1+i)^n$

---

Contoh 1.
Hutang sebesar Rp10.000.000,00 akan segera dilunasi dengan anuitas sebesar Rp1.250.000,00 per bulan, dengan suku bunga 5% sebulan. Hitunglah besar angsuran ke-7.
Pembahasan:
$M$ = Rp10.000.000,00
$i$ = 5% per bulan = 0,05 per bulan
$A$ = Rp1.250.000,00
Angsuran ke-7 = $a_7$ = …?
$\begin{align}a_1 &= A-b_1 \\ &= A-M\times i \\ &= 1.250.000-10.000.000\times 0,05 \\ a_1 &= 750.000 \end{align}$
$\begin{align}a_n &= a_k(1+i)^{n-k} \\ a_7 &= a_1(1+i)^6 \\ &= 750.000(1+0,05)^6 \\ &= 750.000\times \text{1,3401} \\ a_7 &= 1.005.075 \end{align}$

---

Contoh 2.
Suatu pinjaman akan dilunasi dengan anuitas sebesar Rp3.000.000,00. Jika suku bunga 1,5% per bulan dengan besar bunga pertama adalah Rp1.200.000,00, tentukan besar bunga pada angsuran ke-5.
Pembahasan:
$A$ = Rp3.000.000,00
$i$ = 1,5% per bulan = 0,015 per bulan.
$b_1$ = Rp1.200.000,00
$b_5$ = ...?
$\begin{align}a_n+b_n &= A \\ a_1+b_1 &= A \\ a_1+1.200.000 &= 3.000.000 \\ a_1 &= 1.800.000 \end{align}$
$\begin{align}a_n &= a_k(1+i)^{n-k} \\ a_5 &= a_1(1+i)^{5-1} \\ &= 1.800.000(1+0,015)^4 \\ &= 1.800.000(1,015)^4 \\ &= 1.800.000\times 1,06136355 \\ a_5 &= 1.910.454,39 \end{align}$
$\begin{align}a_5+b_5 &= A \\ 1.910.454,39+b_5 &= 3.000.000 \\ b_5 &= 1.089.545,61 \end{align}$
Jadi, besar bunga pada angsuran ke-5 adalah Rp1.089.545,61.

---

Contoh 3.
Suatu pinjaman akan dilunasi dengan anuitas tahunan. Jika besar angsuran ke-3 dan bunga ke-3 berturut-turut adalah Rp1.545.564,00 dan Rp1.004.436,00, tentukan besar pinjaman yang diberikan dengan bunga 18% per tahun.
Pembahasan:
$a_3$ = Rp1.545.564,00
$b_3$ = Rp1.004.436,00
$i$ = 18% per tahun
$M$ = ...?
$\begin{align}A &= a_n+b_n \\ A &= a_3+b_3 \\ &= 1.545.564+1.004.436 \\ A &= 2.550.000 \end{align}$
$\begin{align}a_n &= a_k(1+i)^{n-k} \\ a_3 &= a_1(1+0,18)^{3-1} \\ 1.545.546 &= a_1(1,18)^2 \\ 1.545.546 &= a_1\times 1,3924 \\ a_1 &= \frac{1.545.546}{1,3924} \\ a_1 &= 1.109.987,07 \end{align}$
$\begin{align}a_1+b_1 &= A \\ 1.109.987,07+b_1 &= 2.550.000 \\ b_1 &= 1.440.012,93 \end{align}$
$\begin{align}b_1 &= M\times i \\ 1.440.012,93 &= M\times 0,18 \\ M &= \frac{1.440.012,93}{0,18} \\ M &= 8.000.071,83 \\ M &\approx 8.000.000 \end{align}$
Jadi, besar pinjaman adalah Rp8.000.000,00

---

Contoh 4.
Tentukan nilai anuitas dari suatu pinjaman sebesar Rp10.000.000 selama 2 tahun dengan suku bunga 1,5% per bulan.
Pembahasan:
$M$ = Rp10.000.000
$i$ = 1,5% per bulan = 0,015 per bulan
$n$ = 2 tahun = 24 bulan
$\begin{align}A &= \frac{M\times i}{1-(1+i)^{-n}} \\ &= \frac{10.000.000\times 0,015}{1-(1+0,015)^{-24}} \\ &= \frac{150.000}{1-(1,015)^{-24}} \\ &= \frac{150.000}{1-\text{0,6995}} \\ &= \frac{150.000}{0,3005} \\ A &= \text{499}\text{.168,05} \end{align}$

---

Contoh 5.
Pinjaman sebesar Rp100.000.000,00 akan dilunasi dengan sistem anuitas tiap bulan dengan suku bunga 1% per bulan selama 8 tahun. Tentukan Angsuran pada akhir tahun keempat.
Pembahasan:
$M$ = Rp100.000.000,00, anuitas bulanan.
$i$ = 1% per bulan = 0,01 per bulan
$n$ = 8 tahun = 96 bulan
Karena anuitas bulanan maka angsuran pada akhir tahun keempat berarti angsuran pada akhir bulan ke-48.
$\begin{align}a_1 &= \frac{M\times i}{(1+i)^n-1} \\ &= \frac{100.000.000\times 0,01}{(1+0,01)^{96}-1} \\ &= \frac{1.000.000}{(1,01)^{96}-1} \\ &= \frac{1.000.000}{2,59927292556-1} \\ &= \frac{1.000.000}{1,59927292556} \\ a_1 &= 625.284.14 \end{align}$
$\begin{align}a_n &= a_k(1+i)^{n-k} \\ a_{48} &= a_1(1+i)^{48-1} \\ &= 625.284,14(1+0,01)^{47} \\ &= 625.284,14{{(1,01)}^{47}} \\ &= 625.284,14\times 1,59626344325 \\ a_{48} &= 998.118,21 \end{align}$

---

B. Sisa Pinjaman Anuitas

Sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-$k$ dapat dihitung sebagai berikut:
Cara 1.
Jika diketahui suku bunga, jumlah pinjaman, dan angsuran pertama.
$S_k=M-\frac{a_1\left( (1+i)^k-1 \right)}{i}$
Cara 2.
Jika diketahui jumlah bunga ke-$(k+1)$ dan suku bunga $(i)$, maka:
$S_k=\frac{b_{k+1}}{i}$

---

Contoh:
Pak Cahyadi meminjam uang sebesar Rp10.000.000,00 di suatu bank dan pinjaman tersebut akan dilunasi dengan anuitas bulanan. Jika bank tersebut memberikan bunga 4% per bulan selama 10 bulan, tentukan sisa pinjaman setelah pembayaran selama 6 kali angsuran. (Buatkan tabel simulasi anuitasnya).
Pembahasan:
$M$ = Rp10.000.000,00
$i$ = 4% per bulan = 0,04 per bulan
$n$ = 10 bulan.
$s_k$ = ...?
$\begin{align}a_1 &= \frac{M\times i}{(1+i)^n-1} \\ &= \frac{10.000.000\times 0,04}{(1+0,04)^{10}-1} \\ &= \frac{400.000}{(1,04)^{10}-1} \\ &= \frac{400.000}{1,4802442849-1} \\ &= \frac{400.000}{0,4802442849} \\ a_1 &= 832.909,44 \end{align}$

Cara 1.

$\begin{align}S_k &=M-\frac{a_1\left( (1+i)^k-1 \right)}{i} \\ S_6 &=10.000.000-\frac{832.909,44\left( (1+0,04)^6-1 \right)}{0,04} \\ &= 10.000.000-\frac{832.909,44\left( (1,04)^6-1 \right)}{0,04} \\ &= 10.000.000-20.822.736\left( 1,265319018-1 \right) \\ &= 10.000.000-20.822.736\times 0,265319018 \\ &= 10.000.000-5.524.667,9 \\ S_6 &=4.475.332,1 \end{align}$

Jadi, sisa pinjaman setelah pembayaran selama 6 kali angsuran adalah Rp4.475.332,10.

Cara 2.
$\begin{align}b_1 &= M\times i \\ &= 10.000.000\times 0,04 \\ b_1 &= 400.000 \end{align}$
$\begin{align}A &= a_1+b_1 \\ &= 832.909,44+400.000 \\ A &= 1.232.909,44 \end{align}$
$\begin{align}a_n &= a_k(1+i)^{n-k} \\ a_7 &= a_1(1+i)^{7-1} \\ &= 832.909,44(1+0,04)^6 \\ &= 832.909,44(1,04)^6 \\ &= 832.909,44\times 1,265319018 \\ a_7 &= 1.053.896,15 \end{align}$
$\begin{align}a_7+b_7 &= A \\ 1.053.896,15+b_7 &= 1.232.909,44 \\ b_7 &= 179.013,29 \end{align}$
$\begin{align}S_k &=\frac{b_{k+1}}{i} \\ S_6 &=\frac{b_{6+1}}{i} \\ &= \frac{{{b}_{7}}}{i} \\ &= \frac{179.013,29}{0,04} \\ S_6 &=4.475.332,25 \end{align}$
Tabel Simulasi Anuitas:

---

C. Soal Latihan

1. Pak Hendra meminjam uang di bank sebesar Rp50.000.000,00. Pinjaman tersebut akan dilunasi dengan sistem anuitas selama 5 tahun. Jika suku bunga 1,2% per bulan, tentukan angsuran pertama yang dibayar Pak Hendra.
2. Pinjaman sebesar Rp150.000.000,00 akan dilunasi dengan sistem anuitas tiap bulan dengan suku bunga 1,25% per bulan selama 6 tahun. Tentukan angsuran pada akhir tahun ketiga.
3. Sebuah pinjaman akan dilunasi dengan sistem anuitas bulanan. Jika nilai anuitasnya adalah Rp850.000,00 dan bunga pada angsuran ketujuh adalah Rp465.000,00, tentukan angsuran pada bulan ketujuh.
4. Tentukan nilai anitas bulanan dari suatu pinjaman sebesar Rp80.000.000,00 selama 5 tahun dengan suku bunga 1,5% per bulan.
5. Pinjaman sebesar Rp40.000.000,00 akan dilunasi dengan anuitas bulanan dengan suku bunga 2,5% per bulan selama 4 tahun. Tentukan sisa pinjaman setelah mengangsur 20 bulan.

Share :