Pembahasan Soal Olimpiade Matematika SMP - JSO 2024 POSI

Berikut ini adalah Soal Olimpiade Matematika SMP - Junior Science Olympiad (JSO) POSI 2024. Silakan dimanfaatkan sebaik mungkin.

Tata Cara Belajar:
Cobalah mengerjakan soal-soal yang tersedia secara mandiri. Setelah itu cocokkanlah jawaban kamu dengan pembahasan yang telah disediakan, dengan cara klik Lihat/Tutup .

Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2024 No. 1

Jika $M=29+47\times 25-476\div 28$, maka jumlahan semua digit dari M adalah …
A. 10
B. 14
C. 15
D. 17

Pembahasan: Lihat/Tutup

$\begin{align}M &= 29+47\times 25-476\div 28 \\ &= 29+1.175-17 \\ &= 1.187 \end{align}$
Jumlah semua digit M adalah 1 + 1 + 8 + 7 = 17
Jawaban: D

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2024 No. 2

Diberikan bilangan bulat positif $a$ dan $b$ sehingga $ab-88=3KPK(a,b)-7FPB(a,b)$. Nilai maksimum yang mungkin untuk $a$ adalah …
A. 54
B. 60
C. 72
D. 81

Pembahasan: Lihat/Tutup

Misalkan, $FPB(a,b)=d$ maka $a=dx$, $b=dy$, dan $FPB(x,y)=1$ dengan $x$ dan $y$ bilangan bulat positif.
$\begin{align}KPK(a,b) &= \frac{ab}{FPB(a,b)} \\ &= \frac{dx.dy}{d} \\ KPK(a,b) &= dxy \end{align}$
$\begin{align}ab-88 &= 3KPK(a,b)-7FPB(a,b) \\ dx.dy-88 &= 3dxy-7d \\ d^2xy-88 &= 3dxy-7d \\ d^2xy-3dxy+7d &= 88 \\ d(dxy-3xy+7) &= 88 \\ dxy-3xy+7 &= \frac{88}{d} \\ (d-3)xy &= \frac{88}{d}-7\,....\,(*) \end{align}$
Perhatikan bahwa:
1) $d-3 > 0\to d > 3$
2) $\frac{88}{d}-7 > 0\leftrightarrow \frac{88-7d}{d} > 0\leftrightarrow 0 < d < \frac{88}{7}$
Dari 1) dan 2) diperoleh: $3 < d < \frac{88}{7}$ dan $d|88$ maka haruslah $d\in \{4,8,11\}$.
• Untuk $d=4$ maka persamaan (*) menjadi:
$(4-3)xy=\frac{88}{4}-7\to xy=15$
$a=dx\to a=4x$, agar $a$ maksimum maka $x$ haruslah maksimum diperoleh $x=15$ dan $a=4.15=60$.
• Untuk $d=8$ maka persamaan (*) menjadi:
$(8-3)xy=\frac{88}{8}-7\to xy=\frac{5}{4}$ (kontradiksi dengan $x$ dan $y$ bilangan bulat positif).
• Untuk $d=11$ maka persamaan (*) menjadi:
$(11-3)xy=\frac{88}{11}-7\to xy=\frac{1}{8}$ (kontradiksi dengan $x$ dan $y$ bilangan bulat positif).
Jadi, nilai maksimum yang mungkin dari $a$ adalah 60.
Jawaban: B

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2024 No. 3

Diberikan bilangan $L=31044_5$, bilangan dalam basis 5. Misalkan S dan T berturut-turut menyatakan hasil konversi L ke dalam basis 10 dan basis 7. Jika $S=\underline{abcd}_{10}$ dan $T=\underline{pqrs}_7$, maka nilai dari $a+b+c+d+20p+2q+4r+s$ = …
A. 100
B. 117
C. 129
D. 144

Pembahasan: Lihat/Tutup

$L=31044_5$
$\begin{align}S &= (3.5^4+1.5^3+0.5^2+4.5^1+4.5^0)_{10} \\ &= (3(625)+125+0+20+4)_{10} \\ &= (1.875+149)_{10} \\ S &= 2024_{10} \end{align}$
Perhatikan,
$\begin{align}2024 &= 7\times 289+1 \\ &= 7\times (7\times 41+2)+1 \\ &= 7\times (7\times (7\times 5+6)+2)+1 \\ &= 5.7^3+6.7^2+2.7^1+1.7^0 \\ 2024_{10} &= 5621_7 \end{align}$
$T=5621_7$
$S=\underline{abcd}_{10}=2024_{10}$
$T=\underline{pqrs}_7=5621_7$
$a+b+c+d+20p+2q+4r+s$
= 2 + 0 + 2 + 4 + 20.5 + 2.6 + 4.2 + 1
= 129
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2024 No. 4

Diberikan bilangan bulat positif M terkecil sehingga M dibagi 213 dan 712 berturut-turut bersisa 107 dan 600. Jumlah semua digit M yang mungkin adalah …
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8

Pembahasan: Lihat/Tutup

M dibagi 213 bersisa 107, maka:
$M=213a+107$ untuk $a$ bilangan bulat positif.
M dibagi 712 bersisa 600, maka:
$M=712b+600$ untuk $b$ bilangan bulat positif.
$\begin{align}213a+107 &= 712b+600 \\ 213a &= 712b+493 \end{align}$
$\begin{align}712b+493 &\equiv 0\bmod 213 \\ 73b+67 &\equiv 0\bmod 213 \\ 73b &\equiv -67\bmod 213 \\ 73b &\equiv 146\bmod 213 \\ b &\equiv 2\bmod 213 \end{align}$
Karena M minimum maka dipilih $b$ minimum yaitu $b=2$
$\begin{align}M &= 712b+600 \\ &= 712\times 2+600 \\ M &= 2024 \end{align}$
Jumlah semua digit M adalah 2 + 0 + 2 + 4 = 8.
Jawaban: D

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2024 No. 5

Diketahui bahwa $\frac{8^{16}+20^{24}}{1+5^{24}}=a^b$ dengan $a$ dan $b$ merupakan bilangan asli sehingga $a < b$. Nilai dari $20a+24b$ = …
A. 529
B. 612
C. 897
D. 1192

Pembahasan: Lihat/Tutup

$\begin{align}a^b &= \frac{8^{16}+20^{24}}{1+5^{24}} \\ &= \frac{(2^3)^{16}+(2^2.5)^{24}}{1+5^{24}} \\ &= \frac{2^{48}+2^{48}.5^{24}}{1+5^{24}} \\ &= \frac{2^{48}(1+5^{24})}{(1+5^{24})} \\ a^b &= 2^{48} \end{align}$
$a=2$, $b=48$
$\begin{align}20a+24b &= 20\times 2+24\times 48 \\ &= 40+1152 \\&= 1192 \end{align}$
Jawaban: D

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2024 No. 6

Diberikan bilangan asli $a$ dan $b$ dengan $a < b$. Diketahui sisa pembagian $a$ dan $b$ oleh 7 dan 9 secara berturut-turut adalah 6 dengan hasil bagi tidak sama dengan nol. Jika $\left| a-b \right|=4$, maka nilai terkecil yang mungkin dari $4a+7b$ adalah …
A. 191
B. 248
C. 254
D. 269

Pembahasan: Lihat/Tutup

$\left| a-b \right|=-(a-b)$ untuk $a-b < 0$ maka:
$a$ dibagi 7 bersisa 6 maka $a=7p+6$ dengan $p$ bilangan bulat positif.
$b$ dibagi 9 bersisa 6 maka $b=9q+6$ dengan $q$ bilangan bulat positif.
$a < b\to a-b < 0$ maka
$\begin{align}\left| a-b \right| &= 4 \\ -(a-b) &= 4 \\ b-a &= 4 \\ 9q+6-(7p+6) &= 4 \\ 9q-7p &= 4 \\ 2q+7(q-p) &= 4 \\ 7(q-p) &= 4-2q \\ 7(q-p) &= 2(2-q) \end{align}$
Ruas kanan genap, maka ruas kiri juga harus genap, akibatnya $(q-p)$ harus genap.
$(q-p)\in \{0,2,4,6,...\}$.
Agar $4a+7b$ minimum maka $a$ dan $b$ keduanya harus minimum. Akibarnya, $q$ dan $p$ juga harus minimum yang mengharuskan $q-p$ juga minimum, diperoleh $q-p=0$.
$\begin{align}7(q-p) &= 2(2-q) \\ 7\times 0 &= 2(2-q) \\ 0 &= 2-q \\ q &= 2 \end{align}$
$\begin{align}q-p &= 0 \\ 2-p &= 0 \\ 2 &= p \end{align}$
$\begin{align}4a+7b &= 4(7p+6)+7(9q+6) \\ &= 28p+24+63q+42 \\ &= 28\times 2+24+63\times 2+42 \\ &= 56+24+126+42 \\ &= 248 \end{align}$
Jawaban: B

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2024 No. 7

Diberikan himpunan $A=\{x\in \mathbb{Z}:x^2-11x+28 < 0\}$ dan $B=\{x\in \mathbb{N}:x^2 < 16\}$. Jika C merupakan himpunan semua bilangan prima kurang dari 10, maka selisih terbesar yang mungkin dari dua elemen di himpunan $(A\cup B)-C$ adalah …
A. 5
B. 7
C. 11
D. 12

Pembahasan: Lihat/Tutup

$\begin{align}A &= \{x\in \mathbb{Z}:x^2-11x+28 < 0\} \\ &= \{x\in \mathbb{Z}:(x-4)(x-7) < 0\} \\ &= \{x\in \mathbb{Z}:4 < x < 7\} \\ A &= \{5,6\} \end{align}$
$\begin{align}B &= \{x\in \mathbb{N}:x^2 < 16\} \\ &= \{x\in \mathbb{N}:x^2-16 < 0\} \\ &= \{x\in \mathbb{N}:(x+4)(x-4) < 0\} \\ &= \{x\in \mathbb{N}:-4 < x < 4\} \\ B &= \{1,2,3\} \end{align}$
C = himpunan semua bilangan prima kurang dari 10.
C = {2,3,5,7}
$\begin{align}(A\cup B)-C &= \{1,2,3,5,6\}-\{2,3,5,7\} \\ &= \{1,6\} \end{align}$
Selisih terbesar dari dua elemen di himpunan $(A\cup B)-C$ adalah 6 – 1 = 5.
Jawaban: A

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2024 No. 8

Diberikan fungsi $f:N\to N$ dengan $f(n)=an+b$ dengan $a$ dan $b$ merupakan bilangan asli sehingga $a < b$. Jika $f(5)=124$ dan $f(10)-f(5)=\overline{1pq}$ sekecil mungkin dengan $p$ dan $q$ merupakan bilangan bulat tak negatif yang tidak harus berbeda, maka nilai terkecil yang mungkin dari $f(2024)$ adalah …
A. 40504
B. 40606
C. 40609
D. 40708

Pembahasan: Lihat/Tutup

$f(n)=an+b$
$\begin{align}f(10)-f(5) &= \overline{1pq} \\ 10a+b-(5a+b) &= \overline{1pq} \\ 5a &= \overline{1pq} \end{align}$
$\overline{1pq}$ kelipatan 5 dan sekecil mungkin maka $p=0$ dan $q=0$.
$\begin{align}5a &= \overline{1pq} \\ 5a &= \overline{100} \\ 5a &= 100 \\ a &= 20 \end{align}$
$\begin{align}& f(n)=an+b\\f(5) &= 124 \\ 20\times 5+b &= 124 \\ b &= 24 \end{align}$
$\begin{align}f(n) &= an+b \\ f(n) &= 20n+24 \\ f(2024) &= 20\times 2024+24 \\ &= 40480+24 \\ &= 40504 \end{align}$
Jawaban: A

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2024 No. 9

Sebuah gudang yang terdiri dari 80 orang pekerja memiliki persediaan beras yang cukup untuk 25 hari. Jika secara tiba-tiba bertambah 20 orang pekerja, maka persediaan beras tersebut akan habis setelah … hari.
A. 15
B. 17
C. 18
D. 20

Pembahasan: Lihat/Tutup

80 orang $\to $ 25 hari
80 + 20 orang $\to $ $h$ hari
Berbalik nilai, maka:
$\begin{align}100\times h &= 80\times 25 \\ h &= \frac{80\times 25}{100} \\ h &= 20 \end{align}$
Jawaban: D

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2024 No. 10

Misalkan $x=\overline{ab}$ adalah bilangan asli 2-digit sehingga $\sqrt{x^3}=64$. Nilai dari $5a+9b$ = …
A. 28
B. 37
C. 44
D. 59

Pembahasan: Lihat/Tutup

$\begin{align}\sqrt{x^3} &= 64 \\ x^{\frac{3}{2}} &= 64 \\ x &= 64^{\frac{2}{3}} \\ x &= (4^3)^{\frac{2}{3}} \\ x &= 4^2 \\ x 7= 16 \\ \overline{ab} &= 16 \end{align}$
$a=1$, $b=6$
$5a+9b=5.1+9.6=59$
Jawaban: D

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2024 No. 11

Diberian persamaan kuadrat $x^2+ax+b=0$ dengan $a$ dan $b$ merupakan bilangan asli sehingga $a+b=11$. Misalkan $x_1$ dan $x_2$ merupakan bilangan-bilangan asli yang juga merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut dengan $x_1$ genap. Jika selisih antara $x_1$ dan $x_2$ sekecil mungkin, maka nilai dari $2x_1+3x_2+20a+24b$ = …
A. 279
B. 304
C. 323
D. 378

Pembahasan: Lihat/Tutup

$x^2+ax+b=0$, akar-akarnya $x_1$ dan $x_2$ maka:
$x_1+x_2=-a$ dan $x_1.x_2=b$
$\begin{align}a+b &= 11 \\ -(x_1+x_2)+x_1x_2 &= 11 \\ x_1x_2-x_1-x_2 &= 11 \\ (x_1-1)(x_2-1)-1 &= 11 \\ (x_1-1)(x_2-1) &= 12 \end{align}$
$x_1$ genap, maka $(x_1-1)$ ganjil.
$(x_1-1)(x_2-1)=1\times 12=3\times 4$
$x_1-1=1\to x_1=2$ dan $x_2-1=12\to x_2=13$ sehingga $\left| x_1-x_2 \right|=11$.
$x_1-1=3\to x_1=4$ dan $x_2-1=4\to x_2=5$ sehingga $\left| x_1-x_2 \right|=1$.
Karena selisih antara $x_1$ dan $x_2$ sekecil mungkin maka diperoleh $x_1=4$ dan $x_2=5$.
$\begin{align}x_1+x_2 &= -a \\ 4+5 &= -a \\ -9 &= a \end{align}$
$\begin{align}x_1.x_2 &= b \\ 4.5 &= b \\ 20 &= b \end{align}$
$2x_1+3x_2+20a+24b$
= $2\times 4+3\times 5+20\times (-9)+24\times 20$
= $8+15-180+480$
= 323
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2024 No. 12

Diberikan pertidaksamaan kuadrat $x^2-4x-380\le N$ dengan $-20\le x\le M$ untuk suatu bilagnan asli $M$ dan $N$. Nilai dari $20M+24N$ = …
A. 2590
B. 2776
C. 2800
D. 3120

Pembahasan: Lihat/Tutup

$x^2-4x-380\le N$
$x^2-4x-380-N\le 0$ solusinya $-20\le x\le M$ maka:
$\begin{align}x^2-4x-380-N &= (x+20)(x-M) \\ x^2-4x-380-N &= x^2-Mx+20x-20M \\ x^2-4x-380-N &= x^2+(20-M)x-20M \end{align}$
Perhatikan koefisien $x$ di ruas kiri dan kanan:
$\begin{align}-4 &= 20-M \\ M &= 20+4 \\ M &= 24 \end{align}$
Perhatikan konstanta di ruas kiri dan kanan:
$\begin{align}-380-N &= -20M \\ -380-N &= -20\times 24 \\ -380-N &= -480 \\ -N &= -100 \\ N &= 100 \end{align}$
$20M+24N=20\times 24+24\times 100=2800$
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2024 No. 13

Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut, $\left\{ \begin{matrix} mx+2y=10 \\ 3x-2y=0 \\ \end{matrix} \right.$ dengan $x$ dan $y$ merupakan bilangan bulat positif. Jumlahan semua nilai $m^2$ yang mungkin adalah …
A. 58
B. 65
C. 78
D. 97

Pembahasan: Lihat/Tutup

$\frac{\begin{align}mx+2y &= 10 \\ 3x-2y &= 0 \end{align}}{\begin{align}(m+3)x &= 10 \\ x &= \frac{10}{m+3} \end{align}}+$
$x$ bilangan bulat, maka $(m+3)|10$ dengan kata lain $(m+3)$ adalah faktor dari 10.
$(m+3)\in \{1,2,5,10\}$
$m+3=1\to m=-2$
$m+3=2\to m=-1$
$m+3=5\to m=2$
$m+3=10\to m=7$
Jumlahan semua nilai $m^2$ yang mungkin adalah
= $(-2)^2+(-1)^2+2^2+7^2$
= 4 + 1 + 4 + 49 = 58
Jawaban: A

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2024 No. 14

Diberikan barisan aritmetika $(a_n)$ untuk $n\ge 1$ dengan $a_1$ dan $a_{10}$ merupakan akar-akar persamaan kuadrat $3x^2+6x+1=0$. Nilai dari $\left| a_4+a_7 \right|$ sama dengan …
A. 2
B. 3
C. 5
D. 7

Pembahasan: Lihat/Tutup

$3x^2+6x+1=0$, akar-akar $a_1$ dan $a_{10}$ maka:
$a_1+a_{10}=-\frac{6}{3}=-2$
barisan aritmetika: $a_n=a_1+(n-1)b$ maka:
$\begin{align}a_1+a_{10} &= -2 \\ a_1+a_1+9b &= -2 \\ 2a_1+9b &= -2 \end{align}$
$\begin{align}\left| a_4+a_7 \right| &= \left| (a_1+3b)+(a_1+6b) \right| \\ &= \left| 2a_1+9b \right| \\ &= \left| -2 \right| \\ &= 2 \end{align}$
Jawaban: A

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2024 No. 15

Misalkan $U_n$ dan $S_n$ berturut-turut menyatakan suku ke-$n$ dan jumlahan $n$ suku pertama dari suatu barisan aritmetika atas bilangan-bilangan asli. Diketahui bahwa $S_{10}=175$. Jika $S_9$ merupakan bilangan kuadrat sedemikian sehingga $U_{10}$ merupakan bilangan 2-digit terkecil, maka rata-rata 15 suku pertama dari barisan tersebut adalah …
A. 12
B. 15
C. 25
D. 30

Pembahasan: Lihat/Tutup

$S_{10}=175$
$U_n=S_n-{{S}_{n-1}}$ maka:
$U_{10}=S_{10}-S_9$
$U_{10}=175-S_9$
$S_9 < 175$ dan $S_9$ bilangan kuadrat. Agar $U_{10}$ 2-digit terkecil maka $S_9$ terbesar, diperoleh $S_9=144$ dan $U_{10}=175-144=31$.
$S_n=\frac{n}{2}(U_1+U_n)$ maka:
$\begin{align}S_{10} &= 175 \\ \frac{10}{2}(U_1+U_{10}) &= 175 \\ 5(U_1+31) &= 175 \\ U_1+31 &= 35 \\ U_1 &= 4 \end{align}$
$U_n=U_1+(n-1)b$ maka:
$\begin{align}U_{10} &= 31 \\ U_1+9b &= 31 \\ 4+9b &= 31 \\ 9b &= 27 \\ b &= 3 \end{align}$
Rata-rata $n$ suku pertama barisan aritmetika = $\frac{U_1+U_n}{2}$.
Rata-rata $15$ suku pertama barisan aritmetika
= $\frac{U_1+U_{15}}{2}$
= $\frac{U_1+U_1+14b}{2}$
= $\frac{4+4+14\times 3}{2}$
= 50
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2024 No. 16

Diberikan dua garis $g$ dan $h$ berturut-turut dengan persamaan $ax+by=3$ dan $cx+dy=73$. Misalkan $m_k$ menyatakan gradien dari garis $k$. Diketahui $m_g=2$ dan $\left| m_g.m_h \right|=\frac{4}{9}$. Jika $g$ dan $h$ berpotongan di titik (5,7) dan $l$ adalah garis dengan persamaan $px+qy=r$ sehingga $l$ sejajar dengan $g$ dan jarak garis $g$ dan $l$ adalah 10, maka nilai dari $a-b+c+d+p-q+r$ adalah …
A. 28
B. 33
C. 40
D. 59

Pembahasan: Lihat/Tutup

$g\equiv ax+by=3$ dan $h\equiv cx+dy=73$ berpotongan di (5,7) maka $5a+7b=3$ dan $5c+7d=73$.
$\begin{align}m_g &= 2 \\ -\frac{a}{b} &= 2 \\ a &= -2b \end{align}$
$\begin{align}5a+7b &= 3 \\ 5(-2b)+7b &= 3 \\ -3b &= 3 \\ b &= -1 \end{align}$
$a=-2b=-2(-1)=2$
$\begin{align}\left| m_g.m_h \right| &= \frac{4}{9} \\ \left| 2.m_h \right| &= \frac{4}{9} \\ \left| m_h \right| &= \frac{2}{9} \\ m_h &= -\frac{2}{9} \\ -\frac{c}{d} &= -\frac{2}{9} \\ c &= \frac{2}{9}d \end{align}$
$\begin{align}5c+7d &= 73 \\ 5.\frac{2}{9}d+7d &= 73 \\ 10d+63d &= 73\times 9 \\ 73d &= 73\times 9 \\ d &= 9 \end{align}$
$c=\frac{2}{9}d=\frac{2}{9}.9=2$
Jaraik garis $g$ dan $l$ adalah 10, garis $g$ melalui titik (5,7) maka garis $l$ melalui titik $(5+10,7)=(15,7)$. Garis $g$ sejajar garis $l$ maka $m_l=m_g=2$.
Persamaan garis $l$:
$\begin{align}y-7 &= 2(x-15) \\ y &= 2x-23 \\ 2x-y &= 23 \end{align}$
$2x-y=23\equiv px+qy=r$
Diperole $p=2$, $q=-1$, dan $r=23$
$a-b+c+d+p-q+r$
= 2 – (-1) + 2 + d + 2 – (-1) + 23
= 40
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2024 No. 17

Diberikan segitiga ABC dengan BC = 12 dan luas 36. Misalkan D adalah titik di luar $\Delta ABC$ sehingga $\angle ADC=90^\circ $ dan luas $\Delta ACD$ adalah 27. Misalkan pula, titik E terletak pada AC sehingga $DE\bot AC$. Titik F merupakan titik tengah AC. Titik G terletak pada BC sehingga DG memuat titik E dan CG = 4. Jika $DF:DG=3:4$ dan keliling $\Delta DEF=\frac{a}{b}\sqrt{c}$ dengan $a$, $b$, dan $c$ adalah bilangan asli sehingga $FPB(a,b)=1$, $a > b$, dan $c$ bukan kuadrat sempurna, maka nilai $a-b-c$ = …
A. 19
B. 21
C. 25
D. 32

Pembahasan: Lihat/Tutup

Luas $\Delta ACD=27$ maka $CD=6$ dan $AD=9$
Perhatikan $\Delta ACD$ berlaku teorema pythagoras:
$\begin{align}AC &= \sqrt{AD^2+CD^2} \\ &= \sqrt{9^2+6^2} \\ &= \sqrt{117} \\ AC &= 3\sqrt{13} \end{align}$
F titik tengah AC maka $AF=FC=\frac{3}{2}\sqrt{13}$.
Perhatikan $\Delta CDG$ berlaku teorema pythagoras:
$\begin{align}DG &= \sqrt{CG^2+CD^2} \\ &= \sqrt{4^2+6^2} \\ &= \sqrt{52} \\ DG &= 2\sqrt{13} \end{align}$
$\begin{align}\frac{DF}{DG} &= \frac{3}{4} \\ DF &= \frac{3}{4}.DG \\ &= \frac{3}{4}.2\sqrt{13} \\ DF &= \frac{3}{2}\sqrt{13} \end{align}$
$\begin{align}\left[ ACD \right] &= 27 \\ \frac{1}{2}.AC.DE &= 27 \\ \frac{1}{2}.3\sqrt{13}.DE &= 27 \\ DE &= \frac{18}{\sqrt{13}} \\ DE &= \frac{18}{13}\sqrt{13} \end{align}$
Perhatikan $\Delta DEF$ berlaku teorema pythagoras:
$\begin{align}EF &= \sqrt{DF^2-DE^2} \\ &= \sqrt{\left( \frac{3}{2}\sqrt{13} \right)^2-\left( \frac{18}{13}\sqrt{13} \right)^2} \\ &= \sqrt{\frac{117}{4}-\frac{324}{13}} \\ &= \sqrt{\frac{1521-1296}{52}} \\ &= \sqrt{\frac{225}{52}} \\ &= \frac{15}{2\sqrt{13}} \\ EF &= \frac{15}{26}\sqrt{13} \end{align}$
keliling $\Delta DEF=\frac{a}{b}\sqrt{c}$
$\begin{align}DE+EF+DF &= \frac{a}{b}\sqrt{c} \\ \frac{18}{13}\sqrt{13}+\frac{15}{26}\sqrt{13}+\frac{3}{2}\sqrt{13} &= \frac{a}{b}\sqrt{c} \\ \frac{36}{26}\sqrt{13}+\frac{15}{26}\sqrt{13}+\frac{39}{26}\sqrt{13} &= \frac{a}{b}\sqrt{c} \\ \frac{90}{26}\sqrt{13} &= \frac{a}{b}\sqrt{c} \\ \frac{45}{13}\sqrt{13} &= \frac{a}{b}\sqrt{c} \end{align}$
$a=45$, $b=13$, $c=13$
$a-b-c=45-13-13=19$
Jawaban: A

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2024 No. 18

Diberikan segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku di C. Misalkan I adalah pusat lingkaran dalam $\Delta ABC$, D adalah titik singgung lingkaran dalam $\Delta ABC$ dengan AB, dan E adalah titik pada AC sehingga $AI\bot IE$. Jika AD = 12 dan AE = 15, maka luas $\Delta ABC$ adalah …
A. 133
B. 192
C. 216
D. 256

Pembahasan: Lihat/Tutup

Misalkan F dan G berturut-turut merupakan titik-titik pada AC dan BC sehingga $AC\bot FI$ dan $BC\bot IG$.
$\Delta AFI$ sebangun dengan $\Delta IFE$, maka:
$\begin{align}\frac{AF}{FI} &= \frac{FI}{FE} \\ \frac{12}{r} &= \frac{r}{3} \\ r^2 &= 36 \\ r &= 6 \end{align}$
$FC=IG=FI=DI=CG=r=6$
$AC=AF+FC=12+6=18$
$BC=CG+BG=6+BG$
BD = BG maka $AB=AD+BD=12+BG$
Perhatikan $\Delta $ABC berlaku teorema pythagoras:
$\begin{align}AB^2 &= AC^2+BC^2 \\ (12+BG)^2 &= 18^2+(6+BG)^2 \\ 144+24BG+BG^2 &= 324+36+12BG+BG^2 \\ 12BG &= 216 \\ BG &= 18 \end{align}$
$BC=BG+CG=18+6=24$
Luas ABC = $\frac{1}{2}.AC.BC$ = $\frac{1}{2}.18.24$ = 216.
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2024 No. 19

Diberikan garis $m$ dengan persamaan $x-2y+8=0$. Misalkan $m'$ dan $m''$ berturut-turut adalah garis hasil rotasi garis $m$ sebesar $180^\circ $ terhadap titik pusat (3,1) dan garis hasil rotasi garis $m'$ sebesar $90^\circ $ terhadap titik pusat O(0,0). Jika diketahui persamaan garis $m''$ adalah $ax+by-10=0$ dengan $a$ dan $b$ merupakan bilangan bulat, maka nilai $a+b$ = …
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5

Pembahasan: Lihat/Tutup

Ambil sebarang titik $(x,y)$ pada garis $m$. Misalkan $(x',y')$ adalah titik hasil rotasi titik $(x,y)$ sebesar $180^\circ $ terhadap titik pusat (3,1).
Perhatikan bahwa:
$(x',y')=(-x+2.3,-y+2.1)$
$(x',y')=(-x+6,-y+2)$
$m\equiv x-2y+8=0\xrightarrow{R[(3,1),180^\circ ]}m'$
$(x,y)\xrightarrow{R[(3,1),180^\circ ]}(x',y')$
$\begin{align}\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} \cos 180^\circ & -\sin 180^\circ \\ \sin 180^\circ & \cos 180^\circ \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-3 \\ y-1 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 3 \\ 1 \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-3 \\ y-1 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 3 \\ 1 \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -x+3 \\ -y+1 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 3 \\ 1 \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} -x+6 \\ -y+2 \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
$m'\xrightarrow{R[(0,0),90^\circ ]}m''$
$(x',y')\xrightarrow{R[(0,0),90^\circ ]}(x'',y'')$
$\begin{align}\left( \begin{matrix} x'' \\ y'' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -y' \\ x' \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x'' \\ y'' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} y-2) \\ -x+6 \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
$y-2=x''\to y=x''+2$
$-x+6=y''\to x=6-y''$
Substitusi $x=6-y''$ dan $y=x''+2$ ke persamaan garis $m\equiv x-2y+8=0$.
$\begin{align}6-y''-2(x''+2)+8 &= 0 \\ 6-y''-2x''-4+8 &= 0 \\ -2x''-y''+10 &= 0 \\ 2x''+y''-10 &= 0 \end{align}$
$2x+y-10=0\leftrightarrow ax+by-10=0$
Diperoleh $a=2$ dan $b=1$
Jadi, nilai $a+b=2+1=3$
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2024 No. 20

Diberikan empat buah titik A(7,7), B(5,3), C(9,1), dan D(m,n) pada sistem koordinat kartesius dengan $m$ dan $n$ merupakan bilangan bulat positif sehingga $m > 9$ dan $3 < n < 6$. Jika luas bangun ABCD adalah 22 dan CD = $3\sqrt{2}$, maka nilai dari $11m+7n$ = …
A. 85
B. 98
C. 125
D. 160

Pembahasan: Lihat/Tutup

$\begin{align}[ABCD] &= 22 \\ \frac{1}{2}\left| \left| \begin{matrix} 7 & 5 & 9 & m & 7 \\ 7 & 3 & 1 & n & 7 \\ \end{matrix} \right| \right| &= 22 \\ \frac{1}{2}\left| (21+5+9n+7m)-(35+27+m+7n) \right| &= 22 \\ \frac{1}{2}\left| -36+6m+2n \right| &= 22 \\ \left| -36+6m+2n \right| &= 44 \end{align}$
Karena $m > 9$ dan $3 < n < 6$ maka:
$\begin{align}\left| -36+6m+2n \right| &= 44 \\ -36+6m+2n &= 44 \\ 6m+2n &= 80 \\ 3m+n &= 40 \end{align}$
Cek bilangan bulat $m$ dan $n$:
$m=10\to n=10$ (tidak memenuhi)
$m=11\to n=7$ (tidak memenuhi)
$m=12\to n=4$ (memenuhi)
$m=13\to n=1$ (tidak memenuhi)
Jelas, $m=12$ dan $n=4$
Nilai $11m+7n$ = $11\times 12+7\times 4$ = 132 + 28 = 160.
Jawaban: D

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2024 No. 21

Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4. Misalkan T adalah titik yang terletak pada perpanjangan $\overline{CG}$ sedemikian sehingga $CG=GT$. Jika perbandingan volume dan luas permukaan limas segitiga T.BCD adalah pecahan sederhana $\frac{m}{n}$ dengan $m$ dan $n$ merupakan bilangan asli, maka nilai dari $20m+24n$ = …
A. 76
B. 86
C. 92
D. 100

Pembahasan: Lihat/Tutup

Perhatikan gambar!

Volume limas T.BCD:
$V=\frac{1}{3}.\frac{BC.DC}{2}.CT=\frac{1}{3}.\frac{4.4}{2}.8=\frac{64}{3}$
Perhatikan $\Delta OCT$ siku-siku di C, berlaku teorema pythagoras:
$\begin{align}OT &= \sqrt{CT^2+CO^2} \\ &= \sqrt{8^2+(2\sqrt{2})^2} \\ &= \sqrt{72} \\ OT &= 6\sqrt{2} \end{align}$
Luas permurkaan limas T.BCD
= [BDT] + [BCT] + [DCT] + [BCD]
= $\frac{BD.OT}{2}+\frac{BC.CT}{2}+\frac{DC.CT}{2}+\frac{BC.DC}{2}$
= $\frac{4\sqrt{2}.6\sqrt{2}}{2}+\frac{4.8}{2}+\frac{4.8}{2}+\frac{4.4}{2}$
= 24 + 16 + 16 + 8
= 64
Perbandingan volume dan luas permukaan limas segitiga T.BCD adalah
= $\frac{64}{3}:64$
= 1 :3 = m : n
m = 1, n = 3 maka $20m+24n=20.1+24.3=92$
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2024 No. 22

Diberikan $\Delta ABC$ dengan AB = 25, BC = 20, dan AC = 15. Jika titik D terletak pada $\overline{AB}$ sehingga perbandingan luas $\Delta ADC$ dan $\Delta ABC$ adalah 14:25, maka panjang $\overline{CD}$ adalah …
A. 9
B. 13
C. 16
D. 19

Pembahasan: Lihat/Tutup

Perhatikan gambar berikut.

Misalkan E adalah titik pada BC sehingga $DE\bot BC$. Perhatikan bahwa $[ABC]=\frac{1}{2}.BC.AC=\frac{1}{2}.20.15=150$
$\begin{align}\frac{\left[ ADC \right]}{\left[ ABC \right]} &= \frac{14}{25} \\ [ADC] &= \frac{14}{25}\times [ABC] \\ &= \frac{14}{25}\times 150 \\ [ADC] &= 84 \end{align}$
$\begin{align}[BCD] &= [ABC]-[ADC] \\ \frac{1}{2}.BC.DE &= 150-84 \\ \frac{1}{2}.20.DE &= 66 \\ DE &= \frac{33}{5} \end{align}$
$\Delta ACB$ sebangun dengan $\Delta DEB$ maka:
$\begin{align}\frac{BE}{BC} &= \frac{DE}{AC} \\ \frac{BE}{20} &= \frac{\frac{33}{5}}{15} \\ BE &= \frac{33\times 20}{5\times 15} \\ BE &= \frac{44}{5} \end{align}$
$CE=BC-BE=20-\frac{44}{5}=\frac{56}{5}$
Perhatikan $\Delta CED$, berlaku teorema pythagoras:
$\begin{align}CD &= \sqrt{CE^2+DE^2} \\ &= \sqrt{\left( \frac{56}{5} \right)^2+\left( \frac{33}{5} \right)^2} \\ &= \sqrt{\frac{3136+1089}{25}} \\ &= \sqrt{\frac{4225}{25}} \\ &= \sqrt{169} \\ CD &= 13 \end{align}$
Jawaban: B

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2024 No. 23

Diberikan 4 data berupa bilangan bulat positif $x_1$, $x_2$, $x_3$, dan $x_4$ yang sudah diurutkan mulai dari yang terkecil. Jika jangkauan dari data tersebut adalah 16, $x_1=\frac{1}{6}\times median$, $x_2=\frac{1}{2}\times median$, dan $x_3=x_4$, maka nilai rata-rata dari data tersebut adalah …
A. 7
B. 9
C. 10
D. 11

Pembahasan: Lihat/Tutup

$x_1$, $x_2$, $x_3$, dan $x_4$
Jangkauan data = 16, maka $x_4-x_1=16$
$Median=\frac{x_2+x_3}{2}$
$x_1=\frac{1}{6}\times median=\frac{1}{6}.\frac{x_2+x_3}{2}=\frac{x_2+x_3}{12}$
$\begin{align}x_2 &= \frac{1}{2}\times median \\ &= \frac{1}{2}.\frac{x_2+x_3}{2} \\ x_2 &= \frac{x_2+x_3}{4} \\ 4x_2 &= x_2+x_3 \\ 3x_2 &= x_3 \end{align}$
$\begin{align}x_4-x_1 &= 16 \\ 3x_2-\frac{x_2+3x_2}{12} &= 16 \\ 3x_2-\frac{4x_2}{12} &= 16 \\ 3x_2-\frac{x_2}{3} &= 16 \\ 9x_2-x_2 &= 48 \\ 8x_2 &= 48 \\ x_2 &= 6 \end{align}$
$\begin{align}x_3 &= 3x_2 \\ &= 3.6 \\ x_3 &= 18 \end{align}$
$x_4=x_3=18$
$\begin{align}x_4-x_1 &= 16 \\ 18-x_1 &= 16 \\ 2 &= x_1 \end{align}$
Rata-rata data tersebut adalah:
$\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}=\frac{2+6+18+18}{4}=11$
Jawaban: D

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2024 No. 24

Perhatikan grafik berikut ini yang menampilkan profil Toko JUAL dari sisi jenis kelamin, usia, dan rata-rata penjualan per minggu yang dihasilkan oleh stafnya.

Diketahui semua staf berusia di bawah 35 tahun adalah pria dan semua staf berusia di atas 45 tahun adalah wanita, serta dua per tiga dari staf berusia 35-45 tahun adalah pria. Pembulatan persentase penjualan oleh staf pria terhadap seluruh hasil penjualan adalah …%.
A. 67
B. 76
C. 81
D. 93

Pembahasan: Lihat/Tutup

Hasil penjualan oleh staf pria adalah:
$20\times 3500+40\times 4000+\frac{2}{3}\times 15\times 3500$ = 265.000
Hasil penjualan oleh staf wanita adalah:
$\frac{1}{3}\times 15\times 3000+10\times 3000+5\times 3500$ = 62.500
Total penjualan = 265.000 + 62.500 = 327.500
Persentase penjualan oleh staf pria adalah:
$\frac{265.000}{327.500}\times 100%=80,9%\approx 81%$
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2024 No. 25

Panitia lomba matematika membuat nomor peserta yang disusun dari bilangan-bilangan 1,3,3,4, dan 7. Jika nomor-nomor tersebut disusun berdasarkan kodenya mulai dari yang terkecil hingga terbesar, maka nomor peserta 43137 berada pada urutan ke-…
A. 22
B. 25
C. 40
D. 51

Pembahasan: Lihat/Tutup

• Angka 1 paling depan: 1XXXX
Angka untuk menempati X adalah 3, 3, 4 dan 7, maka banyaknya nomor peserta yang dapat dibuat adalah $\frac{4!}{2!}=\frac{4.3.2!}{2!}=12$
• Angka 3 paling depan: 3XXXX
Angka untuk menempati X adalah 1, 3, 4, dan 7, maka banyaknya nomor peserta yang dapat dibuat adalah 4! = 4.3.2.1 = 24.
• Angka 41 paling depan: 41XXX
Angka untuk menempati X adalah 3, 3, dan 7, maka banyaknya nomor peserta yang dapat dibuat adalah $\frac{3!}{2!}=\frac{3.2!}{2!}=3$.
• Angka 43 paling depan, maka 43137 berada pada urutan ke-12 + 24 + 3 + 1 = 40.
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2024 No. 26

Jika $m$ adalah bilangan asli sehingga $x+y+z=m$ memiliki tepat 21 solusi tripel bilangan bulat positif $(x,y,z)$ dengan $x\ge 1$, $y\ge 2$, $z\ge 3$, maka jumlahan semua faktor positif $m$ adalah …
A. 7
B. 9
C. 12
D. 20

Pembahasan: Lihat/Tutup

Misalkan $a=x-1$, $b=y-z$, dan $c=z-3$ maka $a,b,c\ge 0$
$\begin{align}x+y+z &= m \\ (a+1)+(b+2)+(c+3) &= m \\ a+b+c &= m-6 \end{align}$
$\begin{align}C_{m-6}^{3+m-6-1} &= 21 \\ C_{m-6}^{m-4} &= 21 \\ \frac{(m-4)!}{(m-6)!(m-4-m+6)!} &= 21 \\ \frac{(m-4)!}{(m-6)!2!} &= 21 \\ \frac{(m-4)(m-5)\cancel{(m-6)!}}{\cancel{(m-6)!}2!} &= 21 \\ \frac{(m-4)(m-5)}{2.1} &= 21 \\ (m-4)(m-5) &= 42 \\ m^2-9m+20-42 &= 0 \\ m^2-9m-22 &= 0 \\ (m+2)(m-11) &= 0 \end{align}$
$m+2=0\to m=-2$ (tidak memenuhi)
$m-11=0\to m=11$ (memenuhi)
Faktor dari $m=11$ adalah 1 dan 11.
Jumlahan semua faktor dari m adalah 1 + 11 = 12.
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2024 No. 27

Diberikan dua bilangan asli $s$ dan $t$ dengan $4t-9s=3$ dan $s\le 2021$. Bilangan $v=20-\frac{45s}{t}$ merupakan pecahan paling sederhana yang mungkin. Jika M merupakan penyebut dari $v$ dan peluang terambilnya satu faktor positif dari M yang merupakan kelipatan 4 adalah pecahan sederhana $\frac{m}{n}$, maka $m+n$ = …
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

Pembahasan: Lihat/Tutup

$\begin{align}4t-9s &= 3 \\ 4t-3 &= 9s \\ 9s &= 4t-3 \end{align}$
$\begin{align}v &= 20-\frac{45s}{t} \\ &= 20-\frac{5.9s}{t} \\ &= 20-\frac{5(4t-3)}{t} \\ &= 20-\frac{20t+15}{t} \\ v &= \frac{15}{t} \end{align}$
Karena $s\le 2021$, diperoleh
$\begin{align}4t-9s &= 3 \\ 4t &= 9s+3 \\ 4t &\le 9(2021)+3 \\ 4t &\le 18192 \\ t &\le 4548 \end{align}$
$t_{\max }=4548$
$v=\frac{15}{t}=\frac{15}{4548}=\frac{5}{1516}$
Diperoleh, $M=1516=2^2\times 379$ dan banyaknya faktor positif dari M adalah $(2+1)(1+1)=6$.
Faktor positif dari M yang merupakan kelipatan 4 adalah 4 dan 1516.
Akibatnya, peluangnya adalah $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}=\frac{m}{n}$.
Jadi, $m=1$, $n=3$ maka $m+n=1+3=4$
Jawaban: B

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2024 No. 28

Diberikan bilangan real $a$ dan $b$ sehingga $a^4+b^4+A^2B^2=45$ dan $A^2+B^2+ab=9$. Banyaknya pasangan bilangan bulat tak negatif $(x,y)$ sehingga $x+y=ab$ adalah …
A. 3
B. 5
C. 6
D. 7

Pembahasan: Lihat/Tutup

$A^2+B^2+ab=9\to A^2+B^2=9-ab$
$\begin{align}a^4+b^4+A^2B^2 &= 45 \\ (A^2+B^2)^2-2A^2B^2+A^2B^2 &= 45 \\ (A^2+B^2)^2 &= 45+A^2B^2 \\ (9-ab)^2 &= 45+A^2B^2 \\ 81-18ab+A^2B^2 &= 45+A^2B^2 \\ 36 &= 18ab \\ ab &= 2 \end{align}$
$x+y=ab$
$x+y=2$
$(x,y)\in \{(2,0),(1,1),(0,2)\}$
Jadi, banyaknya pasangan bilangan bulat tak negatif $(x,y)$ sehingga $x+y=2$ adalah 3.
Jawaban: A

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2024 No. 29

Dua buah pasir A dan B dituangkan secara terpisah sehingga membentuk kerucut. Diketahui jari-jari alas kerucut pasir A selalu sama dengan tingginya, sedangkan jari-jari alas kerucut pasir B selalu dua kali tingginya. Selanjutnya, misalkan $P_A$ dan $P_B$ berturut-turut menyatakan titik pusat alas kerucut pasir A dan B sehingga $P_AP_B$ = 10. Berikutnya, misalkan pula $r_A$ dan $r_B$ berturut-turut menyatakan jari-jari alas kerucut pasir A dan B. Terakhir, misalkan $h_A$ dan $h_B$ berturut-turut menyatakan tinggi kerucut pasir A dan B.

Misalkan kedua pasir A dan B dituangkan dengan laju volume yang sama. Jika $h_B=1$ dan jarak antara titik puncak pasir A dan B dapat ditulis dalam bentuk $\sqrt{p-q.{{r}^{\frac{1}{3}}}+{{s}^{\frac{1}{3}}}}$ dengan $p$, $q$, $r$, dan $s$ merupakan bilangan bulat positif sehingga $r < s$ serta $p$ merupakan bilangan prima, maka nilai dari $p+2q+3r+4s$ adalah …
A. 103
B. 147
C. 181
D. 204

Pembahasan: Lihat/Tutup

Berdasarkan informasi pada teks, didapat:
$h_B=1$
$r_A=h_A$
$r_B=2h_B=2.1=2$
Perhatikan bahwa karena kedua jenis pasir A dan B dituangkan dengan laju volume yang sama untuk setiap waktu yang sama, volume pasir A sama dengan volume pasir B. Misalkan $V_A$ dan $V_B$ berturut-turut sebagai volume pasir A dan B, diperoleh:
$\begin{align}V_A &= V_B \\ \frac{1}{3}\pi r_A^2h_A &= \frac{1}{3}\pi r_B^2h_B \\ r_A^2h_A &= 2^2.1 \\ r_A^2.r_A &= 4 \\ r_A^3 &= 4 \\ r_A &= \sqrt[3]{4} \end{align}$
$h_A=r_A=\sqrt[3]{4}$
Misalkan $T_A$ dan $T_B$ berturut-turut menyatakan titik puncak pasir A dan B. selanjutnya, misalkan Q sebagai titik pada $T_AP_A$ sehingga $\angle T_AQT_B=90^\circ $.

$QT_B=P_AP_B=10$, $T_AP_A=4^{\frac{1}{3}}$, dan $T_BP_B=1$.
$P_AQ=P_BT_B=1$
Akibatnya, diperoleh:
$QT_A=T_AP_A-P_AQ = 4^{\frac{1}{3}}-1$
Perhatikan segitiga $T_AQT_B$, berlaku teorema pythagoras:
$\begin{align}(T_AT_B)^2 &= (QT_B)^2+(T_AQ)^2 \\ &= 10^2+\left( 4^{\frac{1}{3}}-1 \right)^2 \\ &= 100+16^{\frac{1}{3}}-2.4^{\frac{1}{3}}+1 \\ (T_AT_B)^2 &= 101-2.4^{\frac{1}{3}}+16^{\frac{1}{3}} \\ T_AT_B &= \sqrt{101-2.4^{\frac{1}{3}}+16^{\frac{1}{3}}} \\ T_AT_B &= \sqrt{p-q.r^{\frac{1}{3}}+s^{\frac{1}{3}}} \end{align}$
Diperoleh, $p=101$, $q=2$, $r=4$, dan $s=16$.
$p+2q+3r+4s$ = 101 + 2.2 + 3.4 + 4.16 = 101 + 4 + 12 + 64 = 181.
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2024 No. 30

pelajari adalah statistika. Diketahui ia mempunyai delapan data berupa bilangan asli yang rata-ratanya adalah 6,5. Kemudian, empat bilangan di antaranya adalah 4, 5, 7, dan 8. Jika selisih data terkecil dan data terbesar pada data yang belum diketahui adalah 10, serta semua delapan data diurutkan dari yang terkecil ke terbesar, maka banyaknya susunan yang mungkin adalah …
A. 16
B. 20
C. 28
D. 32

Pembahasan: Lihat/Tutup

Misalkan $x_1,x_2,x_3,x_4,4,5,7,8$ (belum terurut) adalah kedelapan data tersebut.
$\begin{align}\bar{x} &= 6,5 \\ \frac{x_1+x_2+x_3+x_4+4+5+7+8}{8} &= 6,5 \\ x_1+x_2+x_3+x_4+24 &= 52 \\ x_1+x_2+x_3+x_4 &= 28 \end{align}$
$\left| x_1-x_4 \right|=10$

• Jika $x_1=1$ dan $x_4=11$, maka $x_2+x_3=16$ sehingga $(x_2,x_3)$ = (5,11), (6,10), (7,9), (8,8). ada 4 susunan.
• Jika $x_1=2$ dan $x_4=12$, maka $x_2+x_3=14$ sehingga $(x_2,x_3)$ = (2,12), (3,11), (4,10), (5,9), (6,8), (7,7) ada 6 susunan.
• Jika $x_1=3$ dan $x_4=13$, maka $x_2+x_3=12$ sehingga $(x_2,x_3)$ = (3,9), (4,8), (5,7), (6,6). Ada 4 susunan.
• Jika $x_1=4$ dan $x_4=14$, maka $x_2+x_3=10$ sehingga $(x_2,x_3)$ = (4,6), (5,5). Ada 2 susunan.

Jadi, banyaknya susunan yang mungkin adalah 16.
Jawaban: C

---

Share :