Garis Singgung Lingkaran

A. Garis Singgung pada Lingkaran

Perhatikan gambar!

$AB^2+OA^2=OB^2$
$\begin{align}\tan \angle AOB &= \frac{AB}{OA} \\ AB &= OA.\tan \angle AOB \\ AB &= r.\tan \theta \end{align}$

Sifat garis singgung lingkaran: 1. Memotong lingkaran hanya di satu titik.
2. Tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran.

Contoh 1.
Perhatikan gambar!

Jika sudut pusat ROQ = $60{}^\circ $ dan jari-jari lingkaran 12 cm. hitunglah panjang PQ dan PR.
Penyelesaian:
r = OQ = 12 cm
$\theta =\angle ROQ=60{}^\circ $
$PQ=r\tan \theta =12\tan 60{}^\circ =12\sqrt{3}$ cm
$\begin{align}OP &= \sqrt{OQ^2+PQ^2} \\ &= \sqrt{12^2+(12\sqrt{3})^2} \\ &= \sqrt{144+432} \\ &= \sqrt{576} \\ OP &= 24 \end{align}$
$PR=OP-OR$ = 24 – 12 = 12 cm
Jadi, PQ = $12\sqrt{3}$ dan PR = 12 cm

Contoh 2.
Perhatikan gambar!

Segitiga ABC sisi-sisinya menyinggung lingkaran di titik D, E, dan F. Jika AC = 6 cm, BC = 7 cm, dan AD = 4 cm, maka BD = ...
Penyelesaian:

AF = AD = 4 cm
CF = AC – AE = 6 – 4 = 2 cm
CE = FC = 2 cm
BE = BC – CE = 7 – 2 = 5 cm
BD = BE = 5 cm
Jadi, panjang BD adalah 5 cm.

B. Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran

Melalui lingkaran A dan lingkaran B dapat dibuat 2 garis singgung persekutuan luar. Perhatikan gambar!

Segitiga AGB siku-siku di G, dengan teorema pythagoras diperoleh:
$\begin{align}GB &= \sqrt{AB^2-AG^2} \\ l &= \sqrt{p^2-(R-r)^2} \end{align}$
Kesimpulan:

Panjang garis singgung persekutuan luar ($l$) dua lingkaran adalah:
$l=\sqrt{p^2-(R-r)^2}$
Ket:
$l$ = panjang garis singgung persekutuan luar
$p$ = jarak titik pusat kedua lingkaran
$R$ = jari-jari lingkaran besar
$r$ = jari-jari lingkaran kecil

Contoh 1.
Perhatikan gambar!

Bila PQ = 34 cm, AP = 20 cm, dan BQ = 4 cm, tentukan panjang AB.
Penyelesaian:
AB = garis singgung persekutuan luar lingkaran P dan Q maka $AB=l$.
PQ = jarak titik pusat lingkaran P dan Q maka $p=34$ cm
AP = jari-jari lingkaran P maka R = 20 cm
BQ = jari-jari lingkaran Q maka r = 4 cm.
$\begin{align}AB &= l \\ &= \sqrt{p^2-(R-r)^2} \\ &= \sqrt{{{34}^{2}}-{{(20-4)}^{2}}} \\ &= \sqrt{1156-256} \\ &= \sqrt{900} \\ AB &= 30 \end{align}$
Jadi, panjang AB adalah 30 cm.

Contoh 2.
Dua buah lingkaran A dan B memiliki panjang garis singgung persekutuan luar 24 cm dan jarak kedua titik pusat lingkaran 26 cm. Jika panjang jari-jari lingkaran besar 18 cm, berapa panjang jari-jari lingkaran yang lain?
Penyelesaian:
$l$ = 24 cm
$p$ = 26 cm
R = 18 cm
r = ... ?
$\begin{align}l &= \sqrt{p^2-(R-r)^2} \\ l^2 &= p^2- (R-r)^2 \\ (R-r)^2 &= p^2-l^2 \\ (18-r)^2 &= 26^2-24^2 \\ (18-r)^2 &= 676-576 \\ (18-r)^2 &= 100 \\ 18-r &= \sqrt{100} \\ 18-r &= 10 \\ -r &= -8 \\ r &= 8 \end{align}$
Contoh 3.
Perhatikan gambar!

Panjang lilitan minimum untuk mengikat 6 penampang silinder identik yang jari-jarinya 21 cm adalah .... $\left( \pi =\frac{22}{7} \right)$
Penyelesaian:

Panjang lintasan
= 3.x + 3.4r
= keliling lingkaran + 12r
= $2\pi r$ + 12r
= $2\times \frac{22}{7}\times 21+12\times 21$
= 132 + 252
= 384 cm
jadi, panjang lilitan minimum untuk mengikat 6 penampang silinder identik yang jari-jarinya 21 cm adalah 384 cm.

C. Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran

Segitiga ABE siku-siku di E, dengan teorema pythagoras maka:
$\begin{align}BE &= \sqrt{AB^2-AE^2} \\ d &= \sqrt{p^2-(R+r)^2} \end{align}$
Kesimpulan:

Panjang garis singgung persekutuan dalam ($d$) dua lingkaran adalah:
$d=\sqrt{p^2-{{(R+r)}^{2}}}$
Ket:
$d$ = panjang garis singgung persekutuan dalam
$p$ = jarak titik pusat kedua lingkaran
$R$ = jari-jari lingkaran besar
$r$ = jari-jari lingkaran kecil

Contoh 1.
Panjang jari-jari lingkaran A dan B berturut-turut adalah 10 cm dan 5 cm. Jarak kedua pusat lingkaran adalah 25 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut.
Penyelesaian:
R = 10 cm, r = 5 cm, dan p = 25 cm
$\begin{align}d &= \sqrt{p^2-(R+r)^2} \\ &= \sqrt{25^2-(10+5)^2} \\ &= \sqrt{625-225} \\ &= \sqrt{400} \\ d &= 20 \end{align}$
Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran adalah 20 cm.

Contoh 2.
Perhatikan gambar!

Bila PQ = 29 cm, MP = 13 cm, dan NQ = 8 cm, maka panjang MN adalah ...
Penyelesaian:
R = MP = 13 cm
r = NQ = 8 cm
$p$ = PQ = 29 cm
MN = d = ?
$\begin{align}MN &= d \\ &= \sqrt{p^2-(R+r)^2} \\ &= \sqrt{29^2-(13+8)^2} \\ &= \sqrt{841-441} \\ &= \sqrt{400} \\ MN &= 20 \end{align}$
Jadi, panjang MN adalah 20 cm.

D. Soal Latihan

1.	Diketahui dua buah lingkaran dengan pusat M dan N, dengan panjang jari-jari berturut-turut adalah 10 cm dan 25 cm. Jika jarak titik M dan N adalah 17 cm, berapa panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut?
2.	Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah 12 cm. Jarak kedua pusat lingkaran adalah 13 cm. Jika panjang salah satu jari-jari lingkaran adalah 3 cm. Hitunglah panjang jari-jari lingkaran yang lain.
3.	Diketahui dua buah lingkaran dengan pusat M dan N, dengan panjang jari-jari berturut-turut adalah 10 cm dan 5 cm. Jika jarak titik M dan N adalah 17 cm, berapa panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut?
4.	Diketahui dua buah lingkaran P dan Q masing-masing berjari-jari 8 cm dan 4 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran 16 cm, tentukan jarak titik pusat kedua lingkaran tersebut.
5.	Perhatikan gambar! Tentukan panjang lintasan minimum untuk mengikat 3 penampang silinder identik yang jari-jarinya 14 cm.

Share :