Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil dalam Integral

Fungsi Genap adalah fungsi yang memenuhi $f(-x) = f(x)$, sedangkan Fungsi Ganjil adalah fungsi yang memenuhi $f(-x) = -f(x)$. Grafik $f(-x)$ simetri terhadap sumbu-$y$; grafik $-f(x)$ simetri terhadap titik asal.

Contoh:
1. Fungsi $f(x) = \cos\ x$ adalah fungsi genap,
Bukti:
$\begin{align*}f(x) &= cos\ x\\ f(-x) &= cos\ (-x)\\ f(-x) &= cos\ x\\ f(-x) &= f(x) \end{align*}$
2. Fungsi $f(x) = sin\ x$ adalah fungsi ganjil.
Bukti:
$\begin{align*}f(x) &= sin\ x\\ f(-x) &= sin\ (-x)\\ f(-x) &= -sin\ x\\ f(-x) &= -f(x) \end{align*}$

Berikut adalah teorema integrasi yang bermanfaat untuk fungsi yang demikian.
Teorema Simetri

• Jika $f(x)$ adalah fungsi genap, maka $\int_{-a}^{a}f(x)\ dx = 2\int_{0}^af(x)\ dx$
• Jika $f(x)$ adalah fungsi ganjil, maka $\int_{-a}^{a}f(x)\ dx = 0$

Contoh Soal:
SBMPTN 2017 Kode 168 No. 9/Kode 140 No. 9/Kode 106 No. 9/Kode 138 No.9
Jika $\int_{-4}^4 f(x)(sin\ x + 1)\ dx = 8$ dengan f(x) fungsi genap dan $\int_{-2}^4 f(x)\ dx = 4$ maka $\int_{-2}^0 f(x)\ dx = ...$
Pembahasan:
Karena $f(x)$ fungsi genap dan $sin\ x$ fungsi ganjil maka $f(x).sin\ x$ merupakan fungsi ganjil, sehingga $\int_{-4}^4 f(x).sin\ x\ dx=0$ dan karena $f(x)$ fungsi genap maka $\int_{-4}^{4} f(x)\ dx = 2\int_{0}^{4} f(x)\ dx$, sehingga diperoleh:
$\begin{align*}\int_{-4}^4 f(x)(sin\ x + 1)\ dx &= 8\\ \int_{-4}^4 f(x)sin\ x\ dx + \int_{-4}^4 f(x)\ dx &= 8\\ 0 + 2.\int_{0}^{4} f(x)\ dx &= 8\\ \int_{0}^{4} f(x)\ dx &= 4\\ \end{align*}$
Maka:
$\begin{align*}\int_{-2}^{4} f(x)\ dx &= 4\\ \int_{-2}^{0} f(x)\ dx + \int_{0}^{4} f(x)\ dx &= 4\\ \int_{-2}^{0} f(x)\ dx + 4 &= 4\\ \int_{-2}^{0} f(x)\ dx &= 0 \end{align*}$

by: Catatan Matematika

Share :