Skip to content Skip to sidebar Skip to footer
Subscribe and Follow Our Channel:
Youtube Catatan Matematika Tiktok Catatan Matematika Instagram Catatan Matematika Facebook Catatan Matematika

Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil dalam Integral

Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil dalam Integral
Fungsi Genap adalah fungsi yang memenuhi $f(-x) = f(x)$, sedangkan Fungsi Ganjil adalah fungsi yang memenuhi $f(-x) = -f(x)$. Grafik $f(-x)$ simetri terhadap sumbu-$y$; grafik $-f(x)$ simetri terhadap titik asal.

Contoh:
1. Fungsi $f(x) = \cos\ x$ adalah fungsi genap,
Bukti:
$\begin{align*}f(x) &= cos\ x\\ f(-x) &= cos\ (-x)\\ f(-x) &= cos\ x\\ f(-x) &= f(x) \end{align*}$
2. Fungsi $f(x) = sin\ x$ adalah fungsi ganjil.
Bukti:
$\begin{align*}f(x) &= sin\ x\\ f(-x) &= sin\ (-x)\\ f(-x) &= -sin\ x\\ f(-x) &= -f(x) \end{align*}$

Berikut adalah teorema integrasi yang bermanfaat untuk fungsi yang demikian.
Teorema Simetri
  • Jika $f(x)$ adalah fungsi genap, maka $\int_{-a}^{a}f(x)\ dx = 2\int_{0}^af(x)\ dx$
  • Jika $f(x)$ adalah fungsi ganjil, maka $\int_{-a}^{a}f(x)\ dx = 0$

Contoh Soal:
SBMPTN 2017 Kode 168 No. 9/Kode 140 No. 9/Kode 106 No. 9/Kode 138 No.9
Jika $\int_{-4}^4 f(x)(sin\ x + 1)\ dx = 8$ dengan f(x) fungsi genap dan $\int_{-2}^4 f(x)\ dx = 4$ maka $\int_{-2}^0 f(x)\ dx = ...$
Pembahasan:
Karena $f(x)$ fungsi genap dan $sin\ x$ fungsi ganjil maka $f(x).sin\ x$ merupakan fungsi ganjil, sehingga $\int_{-4}^4 f(x).sin\ x\ dx=0$ dan karena $f(x)$ fungsi genap maka $\int_{-4}^{4} f(x)\ dx = 2\int_{0}^{4} f(x)\ dx$, sehingga diperoleh:
$\begin{align*}\int_{-4}^4 f(x)(sin\ x + 1)\ dx &= 8\\ \int_{-4}^4 f(x)sin\ x\ dx + \int_{-4}^4 f(x)\ dx &= 8\\ 0 + 2.\int_{0}^{4} f(x)\ dx &= 8\\ \int_{0}^{4} f(x)\ dx &= 4\\ \end{align*}$
Maka:
$\begin{align*}\int_{-2}^{4} f(x)\ dx &= 4\\ \int_{-2}^{0} f(x)\ dx + \int_{0}^{4} f(x)\ dx &= 4\\ \int_{-2}^{0} f(x)\ dx + 4 &= 4\\ \int_{-2}^{0} f(x)\ dx &= 0 \end{align*}$

by: Catatan Matematika
Semoga postingan: Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil dalam Integral ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

2 comments for "Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil dalam Integral"

  1. Bang itu diatas integral batas atas 4 bawah 0 kan nilainya 4. Kenapa disubstitusikan nilainya jadi 0

    ReplyDelete
    Replies
    1. Terima kasih mas buat koreksiannya. sudah saya perbaiki.

      Delete

Pertanyaan melalui kolom komentar akan direspon secepatnya. Jika tidak direspon, berarti pertanyaan serupa telah ada.