Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil dalam Integral - CATATAN MATEMATIKA

Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil dalam Integral

Posted by Reikson Panjaitan on Saturday, 27 January 2018

Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil dalam Integral

Fungsi Genap adalah fungsi yang memenuhi $f(-x) = f(x)$, sedangkan Fungsi Ganjil adalah fungsi yang memenuhi $f(-x) = -f(x)$. Grafik $f(-x)$ simetri terhadap sumbu-$y$; grafik $-f(x)$ simetri terhadap titik asal.

Contoh:
1. Fungsi $f(x) = \cos\ x$ adalah fungsi genap,
Bukti:
$\begin{align*}f(x) &= cos\ x\\ f(-x) &= cos\ (-x)\\ f(-x) &= cos\ x\\ f(-x) &= f(x) \end{align*}$
2. Fungsi $f(x) = sin\ x$ adalah fungsi ganjil.
Bukti:
$\begin{align*}f(x) &= sin\ x\\ f(-x) &= sin\ (-x)\\ f(-x) &= -sin\ x\\ f(-x) &= -f(x) \end{align*}$

Berikut adalah teorema integrasi yang bermanfaat untuk fungsi yang demikian.
Teorema Simetri
  • Jika $f(x)$ adalah fungsi genap, maka $\int_{-a}^{a}f(x)\ dx = 2\int_{0}^af(x)\ dx$
  • Jika $f(x)$ adalah fungsi ganjil, maka $\int_{-a}^{a}f(x)\ dx = 0$


Contoh Soal:
SBMPTN 2017 Kode 168 No. 9/Kode 140 No. 9/Kode 106 No. 9/Kode 138 No.9
Jika $\int_{-4}^4 f(x)(sin\ x + 1)\ dx = 8$ dengan f(x) fungsi genap dan $\int_{-2}^4 f(x)\ dx = 4$ maka $\int_{-2}^0 f(x)\ dx = ...$
Pembahasan:
Karena $f(x)$ fungsi genap dan $sin\ x$ fungsi ganjil maka $f(x).sin\ x$ merupakan fungsi ganjil, sehingga $\int_{-4}^4 f(x).sin\ x\ dx=0$ dan karena $f(x)$ fungsi genap maka $\int_{-4}^{4} f(x)\ dx = 2\int_{0}^{4} f(x)\ dx$, sehingga diperoleh:
$\begin{align*}\int_{-4}^4 f(x)(sin\ x + 1)\ dx &= 8\\ \int_{-4}^4 f(x)sin\ x\ dx + \int_{-4}^4 f(x)\ dx &= 8\\ 0 + 2.\int_{0}^{4} f(x)\ dx &= 8\\ \int_{0}^{4} f(x)\ dx &= 4\\ \end{align*}$
Maka:
$\begin{align*}\int_{-2}^{4} f(x)\ dx &= 4\\ \int_{-2}^{0} f(x)\ dx + \int_{0}^{4} f(x)\ dx &= 4\\ \int_{-2}^{0} f(x)\ dx + 0 &= 4\\ \int_{-2}^{0} f(x)\ dx &= 4 \end{align*}$

Previous
« Prev Post

Baca Juga Artikel Berikut:

January 27, 2018

0 komentar:

Post a Comment

Terima kasih atas kunjungannya!