Pembahasan Soal OSN-P SMA 2024 - Olimpiade Matematika SMA Tingkat Provinsi
Soal Olimpiade Matematika OSN-P SMA 2024
Bagian 1: Isian Singkat
Pembahasan Soal OSN-P SMA 2024 No. 1 - Isian Singkat
Diketahui bahwa $\overline{ab}$ dan $\overline{cd}$ adalah dua bilangan yang hasil kalinya adalah 555. Jika $\overline{ab} < \overline{cd}$, maka nilai dari $a+b$ adalah …Pembahasan:
Jawaban: 6
Pembahasan Soal OSN-P SMA 2024 No. 2 - Isian Singkat
Misalkan$f$ dan $g$ adalah fungsi linear yang memenui persamaan $f(x+g(y))=7x+4y+12$ untuk setiap bilangan real $x$, $y$. Jika diketahui $g(7)=5$, maka $g(-12+f(4))$ = …(catatan: fungsi linear adalah fungsi berbentuk $h(x)=ax+b$ dengan $a$, $b$ konstanta bilangan real).
Pembahasan:
Jawaban: 13
Pembahasan Soal OSN-P SMA 2024 No. 3 - Isian Singkat
Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB = 15, AC = 14, BC = 13. Diketahui bahwa terdapat sebuah segitiga sama sisi PQR dengan P, Q, dan R masing-masing terletak pada sisi BC, CA, dan AB sehingga PQ sejajar dengan AB. Nilai $\frac{PQ}{AB}$ dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{a}{b+c\sqrt{d}}$, dengan $a$, $b$, $c$, $d$ adalah bilangan bulat positif, $d$ tidak habis dibagi bilangan kuadrat yang bernilai lebih dari satu, dan $FPB(a,b,c)=1$. Nilai dari $a+b+c+d$ adalah …Pembahasan:
Jawaban: 302
Pembahasan Soal OSN-P SMA 2024 No. 4 - Isian Singkat
Masing-masing petak pada papan berukuran $2025\times 3$ akan diwarnai dengan salah satu dari warna hitam atau putih, sedemikian sehingga pada setiap sub-papan berukuran $2\times 2$, terdapat masing-masing sebanyak ganjil petak bewarna hitam dan ganjil petak bewarna putih. Misalkan banyaknya cara pewarnaan petak yang mungkin adalah A. Sisa dari A ketika dibagi 1000 adalah …Pembahasan:
Jawaban: 728
Pembahasan Soal OSN-P SMA 2024 No. 5 - Isian Singkat
Banyaknya bilangan asli $a$ yang kurang dari 187 sehingga $FPB(a,187)=1$ dan ${{a}^{2}}=1$ bukan kelipatan dari 187 adalah …Pembahasan:
Jawaban: 156
Pembahasan Soal OSN-P SMA 2024 No. 6 - Isian Singkat
Pada segitiga ABCD dengan panjang sisi $\sqrt{2}+\sqrt{6}$, titik X terletak pada diagonal AC sehingga AX > XC. Garis bagi dalam sudut AXB mmotong sisi AB pada titik U. Garis bagi dalam sudutu CXD memotong sisi CD pada titik V. Jika $\angle UXV=150{}^\circ $, maka nilai dari $\left\lfloor 3\times U{{V}^{2}} \right\rfloor $ adalah …(catatan: Notasi $\left\lfloor x \right\rfloor $ menyatakan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan $x$).
Pembahasan:
Jawaban: 45
Pembahasan Soal OSN-P SMA 2024 No. 7 - Isian Singkat
Diberikan himpunan S = 1, 2, …, 17. Misalkan N adalah banyaknya pasangan terurut (A,B) dengan A, B himpunan bagian dari S sehingga $\left| A\cap B \right|\le 2$. Nilai dari $\frac{N}{{{3}^{15}}}$ adalah …(catatan: Notasi $\left| X \right|$ menyatakan banyaknya anggota himpunan X).
Pembahasan:
Jawaban: 196
Pembahasan Soal OSN-P SMA 2024 No. 8 - Isian Singkat
Misalkan, $a$, $b$, $c$ merupakan bilangan-bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan $ax^2+bx+c\le (14x-3)^2$ untuk setiap bilangan real $x$. Nilai terkecil yang mungkin dari $a+2b+5c$ adalah …Pembahasan:
Jawaban: $-73$
Bagian 2: Uraian
Pembahasan Soal OSN-P SMA 2024 No. 1 - Uraian
Diberikan bilangan real $C\le 2$. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan real positif $x$, $y$ dengan $xy=1$ berlaku keetaksamaan $\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\frac{C}{x+y}\ge 1+\frac{C}{2}$.Pembahasan: Lihat/Tutup
Dengan ketaksamaan AM-QM diperoleh $\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\ge \frac{x+y}{2}$ akan dibuktikan $\begin{align}\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\frac{C}{x+y} &\ge \left( 1+\frac{C}{2} \right) \\ \frac{x+y}{2}+\frac{C}{x+y}-\left( 1+\frac{C}{2} \right) &\ge 0 \end{align}$Dengan ketaksamaan AM-GM, $x+y\ge 2\sqrt{xy}=2\ge C$. Akibatnya,
$\frac{x+y}{2}+\frac{C}{x+y}-\left( 1+\frac{C}{2} \right)$
= $\left( \frac{x+y}{2}-1 \right)+C\left( \frac{1}{x+y}-\frac{1}{2} \right)$
= $\frac{x+y-2}{2}+C.\frac{2-(x+y)}{2(x+y}$
= $\frac{(x+y-2)(x+y-C)}{2(x+y)}\ge 0\,(terbukti)$
Pembahasan Soal OSN-P SMA 2024 No. 2 - Uraian
Diberikan sebuah papan $n\times n$ yang terbagi menjadi petak-petak berukuran $1\times 1$ yang kesemuanya berwarna putih. Aqua memilih beberapa buah petak dari papan ini, dan mewarnainya dengan warna hitam. Ruby kemudian meletakkan tepat satu buah domino berukuran $1\times 2$ di papan, sehingga domino tersebut menutupi tepat dua buah petak di papan. Ruby dapat memutar domino tersebut menjadi domino $2\times 1$. Setelah Aqua mewarnai, ternyata ada tepat 2024 cara bagi Ruby untuk meletakkan sebuah domino di papan sehingga domino tersebut menutupi tepat satu buah petak hitam dan satu buah petak putih. Temukanlah nilai $n$ terkecil yang mungkin sehingga Aqua dan Ruby dapat melakukan hal ini.Pembahasan: Lihat/Tutup
$n$ terkecil yang mungkin adalah 33.Bukti $n\ge 33$
Perhatikan bahwa terdapat $n(n-1)$ cara meletakkan domino $1\times 2$ di papan berukuran $n\times n$, dan terdapat $n(n-1)$ cara meletakkan domino $2\times 1$ di papan berukuran $n\times n$. Dengan demikian, diperoleh $2n(n-1)\ge 2024\to n\ge 33$.
Sekarang akan kita tunjukkan bahwa n = 33 mungkin. Warnai papan seperti papan catur (hitam putih selang-seling) dengan petak ke $1\times 1$ berwarna hitam, kecuali semua petak pada baris ke-33 dan kolom ke-33 semua berwarna putih. Perhatikan bahwa Ruby hanya dapat meletakkan domino pada papan berukuran $32\times 32$, atau papan posisi $(32,i)(33,i)$ dengan $i$ genap, atau papan posisi $(j,32)(j,33)$ dengan $j$ genap. Dengan demikian, banyaknya cara meletakkan domino pada papan ada:
Kekurangan 8 cara dapat di atasi dengan mengubah warna papan pada posisi (33, 1), (33, 3) dan (33, 5) menjadi hitam, sehingga terdapat 8 tambahan cara meletakkan domino, yakni: (32,1)(33,1), (32,3)(33,3), (32,5)(33,5), (33,1)(33,2), (33,2)(33,3), (33,3)(33,4), (33,4)(33,5), (33,5)(33,6).
Pembahasan Soal OSN-P SMA 2024 No. 3 - Uraian
Pada segitiga ABC, titik X, Y, dan Z masing-masing merupakan titik tengah dari BC, CA, dan AB berturut-turut. Garis sumbu AB memotong garis XY dan garis AC berturut-turut pada $Z_1$ dan $Z_2$. Garis sumbu AC mmotong garis XZ dan garis AB berturut-turut pada $Y_1$ dan $Y_2$. Misalkan K adalah titik sehingga $KZ_1=KZ_2$ dan $KY_1=KY_2$. Buktikan bahwa $KB=KC$.Pembahasan: Lihat/Tutup
Misal, D, E, F masing-masing adalah titik tengah $Y_1Y_2$, titik tengah $Z_1Z_2$, dan perpotonan garis sumbu AB dan garis sumbu AC (i.e. titik pusat lingkaran luas ABC). Perhatikan bahwa K merupakan perpotongan garis sumbu $Z_1Z_2$ dan garis sumbu $Y_1Y_2$ .
Pertama, karena $\angle FYZ_2=\angle FZY_2=90{}^\circ $ dan $\angle YFZ_2=\angle ZFY_2$, maka segitia $YFZ_2$ dan segitiga $ZFY_2$ sebangun. Selain itu, karena $Z_1$ merupakan kaki garis tinggi dari Y ke $FZ_2$ dan $Y_1$ merupakan kaki garis tinggi dari Z ke $FY_2$, maka segitiga $FZ_1Y$ dan $FY_1Z$ juga sebangun. Sehingga berlaku:
$\frac{FZ_1}{FZ_2}=\frac{FY_1}{FY_2}$
$\frac{\frac{FZ_1+FZ_2}{2}}{FZ_1}=\frac{\frac{FY_1+FY_2}{2}}{FY_1}$
$\frac{FE}{FZ_1}=\frac{FD}{FY_1}$
Artinya terdapat homothety yang membawa $FZ_1Y_1$ ke FED. Homothety ini membawa X ke K karena $EK\bot EF$ dan $DK\bot DF$, dan $XZ_1\bot Z_1F$ serta $XY_1\bot Y_1F$. Akibatnya, X, K, dan F segaris. Karena FX adalah garis sumbu BC, akibatnya K juga terletak pada garis sumbu BC, i.e KB = KC.
Pembahasan Soal OSN-P SMA 2024 No. 4 - Uraian
Tentukan banyaknya pasangan bilangan asli $1\le a,b\le 2027$ yang memenuhi$2027|a^6+b^5+b^2$
(catatan: untuk bilangan bulat $a$ dan $b$, notasi $a|b$ berarti terdapat suatu bilangan bulat $c$ sehingga $ac=b$)
Pembahasan: Lihat/Tutup
Kita klaim bahwa jawabannya adalah 2028. Kita akan gunakan lemma terkenal berikut.Claim. Apabila $p\equiv 2(\bmod 3)$ merupakan bilangan prima, maka peta $x\to x^3$ surjektif. Untuk menyelesaikan soal, tinjau bahwa $2027\equiv 2(\bmod 3)$ dan 2027 bilangan prima. Kita tinjau dua buah kasus:
- Apabila $2027|b$, maka $2027|b^5+b^2$ dan akibatnya $2027|a$. Akibanya, $a=b=2027$.
- Andai sebaliknya, maka kita punya $\left( \frac{a^3}{b} \right)^2+1\equiv -b^3(\bmod 2027)$. Pilih sembarang $x=\frac{a^3}{b}\in \{1,2,...,2027\}$, maka RHS uniquely defined dan dari klaim, $b$ uniquely defined. Terlebih lagi, $a^3=bx$ dan dari klaim, $a$ uniquely defined. Oleh karena itu, terdapat 2027 solusi untuk kasus ini. Kita perlu hati-hati pada kasus ketika $\text{RHS}\equiv 0(\bmod 2027)$ dan mengakibatkan kontradiksi, namun ini tidak mungkin sebab ini mengakibatkan $\left. 202y \right|\left( \frac{a^3}{b} \right)+1$ namun $2027\equiv 3(\bmod 4)$, sebuah kontradiksi.
Post a Comment for "Pembahasan Soal OSN-P SMA 2024 - Olimpiade Matematika SMA Tingkat Provinsi"
Pertanyaan melalui kolom komentar akan direspon secepatnya. Jika tidak direspon, berarti pertanyaan serupa telah ada.