Transformasi Geometri 5. Transformasi Matriks

A. Transformasi Geometri oleh Matriks

Jika titik $P(x,y)$ ditransformasikan terhadap matriks $\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right)$ maka akan menghasilkan bayangan $P'(x',y')$ ditulis:
$P(x,y)\xrightarrow{\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right)}P'(x',y')$ dengan:
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)$.

---

Contoh 1.
Tentukan bayangan titik $A(-5,2)$ jika ditransformasikan terhadap matriks $\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{matrix} \right)$.
Penyelesaian:
$A(-5,2)\xrightarrow{\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{matrix} \right)}A'(x',y')$
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} -5 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 1.(-5)+2.2 \\ 3.(-5)+4.2 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -1 \\ -7 \\ \end{matrix} \right)$
Jadi, bayangan titik $A(-5,2)$ jika ditransformasikan terhadap matriks $\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{matrix} \right)$ adalah $A'(-1,-7)$.

---

Contoh 2. Titik K ditransformasikan terhadap matriks $\left( \begin{matrix} 4 & -2 \\ 3 & 1 \\ \end{matrix} \right)$ menghasilkan $K'(10,15)$. Tentukan koordinat titik K.
Penyelesaian:
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} 10 \\ 15 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 4 & -2 \\ 3 & 1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} 10 \\ 15 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 4x-2y \\ 3x+y \\ \end{matrix} \right)$
$10=4x-2y$
$15=3x+y$
Eliminasi $x$ dari persamaan (1) dan (2) maka:
$\left. \begin{matrix} 4x-2y=10 \\ 3x+y=15 \\ \end{matrix} \right|\begin{matrix} \times 3 \\ \times 4 \\ \end{matrix}$
$\frac{\begin{align}12x-6y &= 30 \\ 12x+4y &= 60 \end{align}}{\begin{align}-10y &= -30 \\ y &= 3 \end{align}}-$
Substitusi $y=-3$ ke persamaan:
$\begin{align}3x+y &= 15 \\ 3x+3 &= 15 \\ 3x &= 12 \\ x &= 4 \end{align}$
Jadi, koordinat titik $B(4,3)$.

---

Contoh 3. Tentukan bayangan garis $y=2x+3$ jika ditransformasikan terhadap matriks $M=\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{matrix} \right)$.
Penyelesaian:
Ingat:
Sifat Matriks: $A=BC\Leftrightarrow C={{B}^{-1}}A$
$(x,y)\xrightarrow{\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{matrix} \right)}(x',y')$ maka:
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)$
$\begin{align}\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right) &= {{\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{matrix} \right)}^{-1}}.\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) \\ &= \frac{1}{1\times 3-2\times 2}\left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ -2 & 1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) \\ &= -1\left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ -2 & 1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} -3x'+2y' \\ 2x'-y' \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
Substitusi $x=-3x'+2y'$ dan $y=2x'-y'$ ke persamaan garis awal:
$\begin{align}y &= 2x+3 \\ 2x'-y' &= 2(-3x'+2y')+3 \\ 2x'-y' &= -6x'+4y'+3 \\ 8x'-5y'-3 &= 0 \end{align}$
Jadi, bayangan garis $y=2x+3$ jika ditransformasikan terhadap $M=\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{matrix} \right)$ adalah $8x-5y-3=0$.

---

Contoh 4.
Jika bayangan atau peta suatu garis dengan transformasi matriks $\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \\ \end{matrix} \right)$ adalah $8y-21x+4=0$, tentukan persamaan garis semula.
Penyelesaian:
$?\xrightarrow{\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \\ \end{matrix} \right)}8y-21x+4$
Dapat juga ditulis menjadi:
$?\xrightarrow{\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \\ \end{matrix} \right)}8y'-21x'+4$
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 2x+y \\ 5x+3y \\ \end{matrix} \right)$
Substitusi $x'=2x+y$ dan $y'=5x+3y$ ke persamaan:
$\begin{align}8y'-21x'+4 &= 0 \\ 8(5x+3y)-21(2x+y)+4 &= 0 \\ 40x+24y-42x-21y+4 &= 0 \\ -2x+3y+4 &= 0 \\ 2x-3y-4 &= 0 \end{align}$
Jadi, persamaan garis semula adalah $2x-3y-4=0$.

---

B. Komposisi Transformasi Dua Matriks

Misalkan $M_1=\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right)$ dan $M_2=\left( \begin{matrix} p & q \\ r & s \\ \end{matrix} \right)$ dan $P(x,y)$ maka:

1.	$M_2\circ M_1$, artinya transformasi terhadap matriks $M_1$ dilanjutkan terhadap matriks $M_2$. $M_2\circ M_1=M_2.M_1=\left( \begin{matrix} p & q \\ r & s \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right)$.
2.	$M_1\circ M_2$, artinya transformasi $M_2$ dilanjutkan $M_1$. $M_1\circ M_2=M_1.M_2=\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} p & q \\ r & s \\ \end{matrix} \right)$

---

Contoh:
Titik $B(-2,3)$ ditransformasikan oleh matriks $\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{matrix} \right)$, kemudian dilanjutkan dengan transformasi oleh matriks $\left( \begin{matrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \\ \end{matrix} \right)$. Tentukan bayangan titik B.
Penyelesaian:
$M_1=\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{matrix} \right)$ dilanjutkan $M_2=\left( \begin{matrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \\ \end{matrix} \right)$ maka:
$\begin{align}M_2\circ M_1 &= M_2.M_1 \\ &= \left( \begin{matrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \\ \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} 2\times 1-3\times 3 & 2\times 2-3\times 4 \\ -1\times 1+2\times 3 & -1\times 2+2\times 4 \\ \end{matrix} \right) \\ M_2\circ M_1 &= \left( \begin{matrix} -7 & -8 \\ 5 & 6 \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
$B(-2,3)\xrightarrow{M_2\circ M_1}B'(x',y')$
$B(-2,3)\xrightarrow{\left( \begin{matrix} -7 & -8 \\ 5 & 6 \\ \end{matrix} \right)}B'(x',y')$
$\begin{align}\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} -7 & -8 \\ 5 & 6 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} -2 \\ 3 \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -7\times (-2)-8\times 3 \\ 5\times (-2)+6\times 3 \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} -10 \\ 8 \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
Jadi, bayangan titik $B(-2,3)$ adalah $B'(-10,8)$.

---

C. Soal Latihan

1.	Tentukan bayangan titik $P(3,4)$ jika ditransformasikan terhadap matriks $\left( \begin{matrix} 4 & 1 \\ 2 & -3 \\ \end{matrix} \right)$.
2.	Titik C ditransformasikan terhadap matriks $\left( \begin{matrix} 2 & 3 \\ -5 & 7 \\ \end{matrix} \right)$ menghasilkan $C'(23,15)$. Tentukan koordinat titik C.
3.	Suatu garis ditransformasikan dengan matriks $\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \\ \end{matrix} \right)$, diperoleh peta atau bayangan dengan persamaan $y-2x+3=0$. Tentukan persamaan garis semula.
4.	Diketahui $M_1=\left( \begin{matrix} 2 & 4 \\ 7 & 0 \\ \end{matrix} \right)$ dan $M_2=\left( \begin{matrix} 5 & 0 \\ 1 & 3 \\ \end{matrix} \right)$. Tentukan $M_1\circ M_2B(-6,9)$.
5.	Tentukan koordinat bayangan titik $P(3,5)$ jika ditransformasikan terhadap matriks $\left( \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ \end{matrix} \right)$ dilanjutkan transformasi terhadap matriks $\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & -1 \\ \end{matrix} \right)$.

Semoga postingan: Transformasi Geometri 5. Transformasi Matriks ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :