Transformasi Geometri 4. Dilatasi (Perbesaran)

A. Definisi Dilatasi (Perkalian)

Dilatasi (perkalian) adalah transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun yang sebangun. Dilatasi pada bidang datar ditentukan oleh hal-hal berikut:

a.	Pusat dilatasi Pusat dilatasi terdiri atas dua yaitu di titik O(0,0) dan di titik (x,y).
b.	Faktor skala dilatasi Faktor skala (k) dilatasi dapat bersifat positif (perbesaran searah) dan dapat pula bersifat negatif (perbesaran berlawanan arah). Jika $k<-1$ atau $k>1$ maka terjadi perbesaran, sedangkan jika $-1 < k < 1$ maka terjadi pengecilan.

B. Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan skala $k$

Jika titik $P(x,y)$ didilatasikan terhadap titik O(0,0) dan faktor skala $k$ maka bayangannya $P'(kx,ky)$, ditulis:
$P(x,y)\xrightarrow{D\left[ O,k \right]}P'(kx,ky)$
atau dalam bentuk matriks ditulis:
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)$

---

Contoh 1.
Tentukan bayangan titik $P(3,-5)$ oleh dilatasi terhadap titik O(0,0) dengan faktor skala 4.
Penyelesaian:
$P(x,y)\xrightarrow{D\left[ O,k \right]}P'(kx,ky)$
$\begin{array}{*{35}{l}} P(3,-5)\xrightarrow{D\left[ O,4 \right]} & P'(4.3,4.(-5)) \\{} & P'(12,-20) \\ \end{array}$
Jadi, bayangan titik $P(3,-5)$ oleh dilatasi terhadap titik O(0,0) dengan faktor skala 4 adalah $P'(12,-20)$.

---

Contoh 2.
Bayangan titik P oleh dilatasi [O,-2] adalah (-4,6). Tentukan koordinat titik P.
Penyelesaian:
Ingat:
$P(x,y)\xrightarrow{D[O,k]}P'(kx,ky)$
$P(x,y)\xrightarrow{D[O,-2]}P'(-2x,-2y)=P'(-4,6)$ maka:
$-2x=-4\to x=2$ dan
$-2y=6\to y=-3$
Jadi, koordinat titik P adalah $(-4,6)$.

---

Contoh 3.
Tentukan bayangan parabola ${{y}^{2}}=16x$ oleh dilatasi terhadap titik O(0,0) dengan faktor skala $-3$.
Penyelesaian:
$(x,y)\xrightarrow{D\left[ O,k \right]}P'(kx,ky)$
$(x,y)\xrightarrow{D\left[ O,-3 \right]}P'(-3x,-3y)$
$-3x=x'\to x=-\frac{1}{3}x'$
$-3y=y'\to y=-\frac{1}{3}y'$
Substitusi $x=-\frac{1}{3}x'$ dan $y=-\frac{1}{3}y'$ ke persamaan:
$\begin{align}y^2 &= 16x \\ \left( -\frac{1}{3}y' \right)^2 &= 16\left( -\frac{1}{3}x' \right) \\ \frac{1}{9}(y')^2 &= -\frac{16}{3}x' \\ (y')^2 &= -48x' \end{align}$
Jadi, bayangan parabola ${{y}^{2}}=16x$ oleh dilatasi terhadap titik O(0,0) dengan faktor skala $-3$ adalah ${{y}^{2}}=-48x$.

---

C. Dilatasi dengan pusat (x,y) dan skala $k$

Jika titik $P(x,y)$ didilatasikan terhadap titik $(a,b)$ dan faktor skala $k$ maka bayangannya $P'(k(x-a)+a,k(y-b)+b)$, ditulis:
$P(x,y)\xrightarrow{D\left[ (a,b),k \right]}P'(k(x-a)+a,k(y-b)+b)$
atau dalam bentuk matriks ditulis:
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-a \\ y-b \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)$

---

Contoh 1.
Tentukan bayangan titik $C(-5,-1)$ oleh dilatasi terhadap titik $P(2,3)$ dengan faktor skala 2.
Penyelesaian:
Ingat:
$P(x,y)\xrightarrow{D\left[ (a,b),k \right]}P'(x',y')$ dengan $\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-a \\ y-b \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)$
$(-5,-1)\xrightarrow{D\left[ (2,3),2 \right]}C'(x',y')$ maka:
$\begin{align}\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-a \\ y-b \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} -5-2 \\ -1-3 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} -7 \\ -4 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -14 \\ -8 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} -12 \\ -5 \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
Jadi, bayangan titik $C(-5,-1)$ oleh dilatasi terhadap titik $P(2,3)$ dengan faktor skala 2 adalah $C'(-12.-5)$.

---

Contoh 2.
Tentukan bayangan lingkaran $x^2+y^2-6x+4y-5=0$ oleh dilatasi terhadap titik $A(2,-3)$ dengan faktor skala $\frac{1}{2}$.
Penyelesaian:
$x^2+y^2-6x+4y-5=0\xrightarrow{D\left[ (2,-3),\frac{1}{2} \right]}?$
Ingat:
$(x,y)\xrightarrow{D\left[ (a,b),k \right]}(x',y')$ dengan $\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-a \\ y-b \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)$
$(x,y)\xrightarrow{D\left[ (2,-3),\frac{1}{2} \right]}(x',y')$ maka:
$\begin{align}\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-a \\ y-b \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix}\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-2 \\ y+3 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-2 \\ y+3 \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x'-2 \\ y'+3 \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} \frac{x-2}{2} \\ \frac{y+3}{2} \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
Kita peroleh:
$\begin{align}\frac{x-2}{2} &= x'-2 \\ x-2 &= 2x'-4 \\ x &= 2x'-2 \end{align}$
$\begin{align}\frac{y+3}{2} &= y'+3 \\ y+3 &= 2y'+6 \\ y &= 2y'+3 \end{align}$
Substitusi $x=2x'-2$ dan $y=2y'+3$ ke persamaan:
$x^2+y^2-6x+4y-5=0$
$(2x'-2)^2$+$(2y'+3)^2-6(2x'-2)$+$4(2y'+3)-5=0$
$4(x')^2-8x'+4$+$4(y')^2+12y'+9-12x'$+$12+8y'+12-5=0$
$4(x')^2+4(y')^2-20x'+20y'+32=0$
$(x')^2+(y')^2-5x'+5y'+8=0$
Jadi, bayangan lingkaran $x^2+y^2-6x+4y-5=0$ oleh dilatasi terhadap titik $A(2,-3)$ dengan faktor skala $\frac{1}{2}$ adalah $x^2+y^2-5x+5y+8=0$.

---

D. Soal Latihan

1.	Diketahui $\Delta ABC$ dengan $A(2,1)$, $B(6,1)$ dan $C(5,4)$ tentukan bayangan koordinat titik sudut $\Delta ABC$ jika didilatasi terhadap titik O(0,0) dan faktor skala $-5$.
2.	Tentukan bayangan garis $5x-3y=7$ jika transformasi oleh dilatasi $\left[ O,-\frac{1}{2} \right]$.
3.	Tentukan bayangan prabola $x^2=-8y$ jika didilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala 2.
4.	Tentukan bayangan titik $M(2,-6)$ oleh dilatasi $[P,6]$ dengan $P(-3,-4)$.
5.	Tentukan bayangan garis $y=2x-1$ oleh dilatasi $[(-3,1),2]$.

Semoga postingan: Transformasi Geometri 4. Dilatasi (Perbesaran) ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :