Polinomial 3. Pembagian Suku Banyak - Pembagian Bersusun dan Metode Horner-Kino
Misalkan suku banyak $f(x)$ dibagi dengan $P(x)$ memberikan hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$, maka diperoleh:
$f(x)=P(x).H(x)+S(x)$
atau
$\text{yang dibagi}=\text{pembagi}\times \text{hasil}+\text{sisa}$
Jika $f(x)$ suku banyak berderajat $n$ dan $P(x)$ adalah berderajat $m$, dengan $m\le n$ maka:
1) $H(x)$ berderajat $(n-m)$
2) $S(x)$ berderajat maksimum $(m-1)$.
$f(x)=P(x).H(x)+S(x)$
atau
$\text{yang dibagi}=\text{pembagi}\times \text{hasil}+\text{sisa}$
Jika $f(x)$ suku banyak berderajat $n$ dan $P(x)$ adalah berderajat $m$, dengan $m\le n$ maka:
1) $H(x)$ berderajat $(n-m)$
2) $S(x)$ berderajat maksimum $(m-1)$.
A. Pembagian Suku Banyak dengan Metode Pembagian Bersusun
Prosedur pembagian suku banyak dengan metode pembagian bersusun sama dengan prosedur pembagian pada bilangan bulat.Contoh 1.
Tentukan hasil dan sisa pembagian $f(x)=4x^3-10x^2+14x-15$ oleh $(x-5)$.
Penyelesaian:
![Pembagian Suku Banyak](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEitv7l5cMl85vTqAr6ej0yaApddhMyF4rJJFy7ia2UrZtLE9_rDmFN58RhiNEZgnmYodkWBU8JC8f0qH_bqoqgeBRFr7sY-8W0RbTkF9zVl3hfjRzVCbiKGLHgxYoU04YZbcolA7ySZJyyKtlpXFfMFrZ8iLSIJOy_CfOUuHCg8Pipdcl8-sk6KU5r1tE-X/s1600-rw/Pembagian%20Suku%20Banyak.png)
Jadi, hasil pembagian $H(x)=4x^2+10x+64$ dan sisa pembagian $S(x)=-305$.
Contoh 2.
Tentukan hasil dan sisa pembagian $2x^3+7x^2-6x-9$ oleh $2x-1$.
Penyelesaian:
![Pembagian Bersusun](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBcHKUluNzgvgOR9oSzsP66OBol55Y4JDxIbuQ1FdGdlIh2Ns2PhWh9C05GmF3-LxuNDicllzzaxEyTcNJTGlZ2hIVixHYnbdThP8x9R-LUsolWLK6exP5c_H1x8AhDxy5qWQl_30ySwLghoYXoDRi0le1TP3wIubfdnJeRkKLZLfmcuIlEXs4B3byEqrk/s1600-rw/Pembagian%20Bersusun.png)
Jadi, hasil pembagian $H(x)=x^2+4x-1$ dan sisa pembagian $S(x)=-10$.
Contoh 3.
Tentukan hasil dan sisa pembagian $2x^4-4x^3+3x^2-2x+8$ oleh $x^2+2x+2$.
Penyelesaian:
![Metode Pembagian Bersusun](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6DTdiL32FpIbaNB1ej-LKTzu0O26XpV9sXFwFgrmv5um_CKLTjMCEuYHbdV4g2vcl5XwOrJ45RtMi_0bVaz8DC2MfYRA87HvK00ZbdfzMyfQSpBYwU8LKQHG1yI-z8ya58HyN2NE6tJqg5vFtJvUaLlYHlkprLhvbwnSsYgkrGKHxfEdvH5uYSQ1JHTiB/s1600-rw/Pembagian%20Suku%20Banyak-Pembagian%20Bersusun.png)
Jadi, hasil bagi $H(x)=2x^2-8x+15$ dan sisa pembagian $-16x-22$.
B. Pembagian Suku Banyak dengan Metode Horner (Pembagian Sintetik)
1. Pembagian Suku Banyak dengan $(x-k)$
Misalkan suku banyak $f(x)=ax^2+bx+c$ dibagi dengan $(x-k)$ memberikan hasil $H(x)$ dan sisa $S$. Untuk menentukan hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ digunakan pembagian suku banyak dengan cara skematik yang dinamakan strategi pembagian sintetik (strategi Horner) seperti berikut ini:$(ax^2+bx+c)\div (x-k)$ maka:
![Pembagian Suku Banyak Metode Horner](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiiaI6Z4B_IpC1lHCRnC47ucyKKgHy_HXwENC4UM5lmTuT3LXYrEXHxaJif40NvFP2FFULETH9c_IiTlFajbne4QxB9PmDYsFWRdAgiKJVyd3mWsUxdx9UGkGq9kDGf9YbX_9AYsdX3Z424Sdt3GeO0rW7p0W9lrUGj6oAvxwIGvZrcmAAYAbs3Z0CgvDif/s1600-rw/Pembagian%20Suku%20Banyak%20Metode%20Horner.png)
Jadi, hasil bagi $H(x)=ax+(ak+b)$ dan sisa $S(x)=a{{k}^{2}}+bk+c$.
Contoh:
Tentukan hasil dan sisa pembagian suku banyak $2x^4-3x^2+x+7$ oleh $(x-3)$.
Penyelesaian:
$(2x^4-3x^2+x+7)\div (x-3)$
Pembagi $(x-3)$ maka $k=3$
![Pembagian Suku Banyak-Metode Horner](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhbIIHiHSmatTpuUB6D4-2j8N7J5nJNhze8xyIPTEfc2Gj-tmf6qC7jJymvKZZTIJAlGLwT48F09O6VrOODPvcxdMFRxUDsKyMO83oWmx5Csmwa01QJchFwZt0WdEyd_nluPEYa2b8bvZboLGM5bRUWXPWA6DpRPVDmtm1kk52aVojqNyWLk2gNHIYfjeiP/s1600-rw/Pembagian%20Suku%20Banyak-Metode%20Horner.png)
Jadi, hasil bagi $H(x)=2x^3+6x^2+15x+46$ dan sisa $S(x)=145$.
2. Pembagian Suku Banyak dengan $(ax-b)$
Misalkan $k=\frac{b}{a}$ adalah bilangan rasional, sehingga bentuk $(x-k)$ menjadi $\left( x-\frac{b}{a} \right)$. Jika sukubanyak $f(x)$ dibagi dengan $\left( x-\frac{b}{a} \right)$ memberikan hasil $h(x)$ dan sisa $S(x)$ maka:$f(x)=\left( x-\frac{b}{a} \right).h(x)+S(x)$
$f(x)=\left( \frac{ax-b}{a} \right).h(x)+S(x)$
$f(x)=(ax-b).\frac{h(x)}{a}+S(x)$
Dari persamaan akhir ini diperoleh: $f(x)$ dibagi $(ax-b)$ memberikan hasil bagi $H(x)=\frac{h(x)}{a}$ dan sisa $S(x)$.
Contoh:
Tentukan hasil dan sisa pembagian suku banyak $f(x)=4x^4-3x^3+7x^2-2x+1$ oleh $(4x+1)$.
Penyelesaian:
$f(x)=4x^4-3x^3+7x^2-2x+1$
Pembagi $(4x+1)$maka $k=-\frac{1}{4}$
![Pembagian Suku Banyak-Pembagian Sintetis](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjtSiKuddozUTQS2T6ksidNcak6Y_25Ff1q5Lm-S2nQZAnOG3hJb6fbidb7j0AJiCnTtRCK1yqy2on-zCbV3MkEYzdgk5a2YPDGQ6xE2yavwtdp40nAcKK7H1b_E-VeEEmeKhTmh-DX-2ACki5s13jB-fBiGrCYvHD9vzhtgxzDbKxDHD8xz4GJAklvOyrr/s1600-rw/Pembagian%20Suku%20Banyak-Pembagian%20Sintetis.png)
Hasil pembagian adalah:
$\begin{align}H(x) &= \frac{h(x)}{a} \\ &= \frac{4x^3-4x^2+8x-4}{4} \\ H(x) &= x^3-x^2+2x-1 \end{align}$
Sisa pembagian = $S(x)$ = 2.
3. Pembagian Suku Banyak dengan $ax^2+bx+c$
Pembagian suku banyak $f(x)$ dengan $ax^2+bx+c$ menggunakan skema horner (pembagian sintetis) dapat dilakukan jika $ax^2+bx+c$ dapat difaktorkan menjadi $a(x-{{k}_{1}})(x-{{k}_{2}})$ dengan $a\ne 0$. Adapun langkah-langkah pembagiannya adalah sebagai berikut:- Bagi $f(x)$ dengan $(x-k_1)$, diperoleh: $f(x)=(x-k_1).H_1(x)+S_1$.
- Hasil bagi $H_1(x)$ dibagi dengan $(x-k_2)$, diperoleh: $H_1(x)=(x-k_2).H_2(x)+S_2$.
- Substitusi $H_1(x)$ ke persamaan $f(x)$ pada langkah 1, diperoleh:
Jika $f(x)$ dibagi dengan $ax^2+bx+c$ = $a(x-k_1)(x-k_2)$ maka:
1. Hasil bagi = $H(x)$ = $\frac{H_2(x)}{a}$
2. Sisa = $S(x)$ = $S_2(x-k_1)+S_1$
Contoh:
Tentukan hasil dan sisa pembagian suku banyak $f(x)=5x^4-x^3+2x^2+8x-3$ oleh $x^2-x-6$.
Penyelesaian:
$f(x)=5x^4-x^3+2x^2+8x-3$
Pembagi:
$(x^2-x-6)=(x-3)(x+2)$ maka $k_1=3$ dan $k_2=-2$
![Pembagian Suku Banyak-Metode Pembagian Sintetis](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjlDb31WwZkndHEvzvCcYtuf9TA2LArijdFI78ZRIWvzjRySD9W7ZUEUPUWCcrQtvJ0uDyCkfb93aS8k75QvOPO0K8hlBDsaDkyFFXeXnZ-BVgmA1njpAHxVjVpTj7sqmwgQmE4SnGK-ccvYrhCrMkoenvoXOCSadpXFbt3ttWLp-S8P5a4bXFX_sF1ymrv/s1600-rw/Pembagian%20Suku%20Banyak-Metode%20Pembagian%20Sintetis.png)
Jadi,
Hasil = $H(x)$ = $5x^2+4x+36$
$\begin{align}\text{Sisa} &= S(x) \\ &= S_2(x-k_1)+S_1 \\ &= 68(x-3)+417 \\ &= 68x-204+417 \\ \text{Sisa} &= 68x+213 \end{align}$
C. Pembagian Suku Banyak dengan Metode Horner-Kino
Metode Horner-Kino adalah metode pembagian suku banyak $f(x)$ dengan $ax^2+bx+c$. Pencetus metode ini adalah Bapak Prof. Sukino Suparmin, M.Sc.Misal suku banyak $f(x)=px^4+qx^3+rx^2+sx+t$ dibagi dengan $ax^2+bx+c$, maka tentukan $k_1=-\frac{c}{a}$ dan $k_2=-\frac{b}{a}$ kemudian ikuti pola Horner-Kino berikut:
![Pembagian Suku Banyak Metode Horner Kino](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhpj7zWsOGIg8NRNELq7bol_l5i3UqCC77R28lvV1cTwjoeVKqIHROpOPdvA56SpsuVo79fbDyiNw1O4t0oQI43N42FxQZCpw-wpZfzI77x8YtF97UH1EaJ-VmWM76QjoVvDhzcVKE0srDXdcEDTTYty6riT1YWU5LsRslfZ0tLw4L8KVSyDZzEC4qDGX3l/s1600-rw/Pembagian%20Suku%20Banyak%20Metode%20Horner%20Kino.png)
Contoh:
Tentukan hasil dan sisa pembagian $2x^4-4x^3+3x^2-2x+8$ oleh $x^2+2x-4$.
Penyelesaian:
$f(x)=2x^4-4x^3+3x^2-2x+8$
Pembagi $x^2+2x+2$ maka:
$k_1=-\frac{c}{a}=-\frac{-4}{1}=4$
$k_2=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$
![Pembagian Suku Banyak-Metode Horner Kino](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgYiBySGfoXo0dlYojCcqrhGlU8Ncj0AuaBXLI52sZAvSGMe6qPZcisIloGTjtTBhx0jPLvmK_vBNkGVf0avxzpL_JbOS3jwu3kM253Y85LmuZya8LqLyoyab1gbWps_zW6zsaZ3-AssaKpSmWcwBzFvNqaBQTB7EnhrO7CfGpK8hFfMvSLdRplGBDKp3oJ/s1600-rw/Pembagian%20Suku%20Banyak-Metode%20Horner%20Kino.png)
Jadi,
Hasil bagi $H(x)=2x^2-8x+27$ dan sisa $S(x)=-88x+109$.
D. Soal Latihan
- Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian $f(x)=x^3+4x^2-x-4$ oleh $x+4$ menggunakan metode pembagian bersusun.
- Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian $f(x)=3x^4+2x^3-7x^2+5x-2$ oleh $3x-1$ menggunakan metode pembagian sintetik (skema horner).
- Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian $f(x)=x^3+2x^2-8x-2$ oleh $x^2-2x-15$ menggunakan metode pembagian sintetik (skema horner).
- Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian $f(x)=2x^4-5x^3+6x^2-x+4$ oleh $x^2-4x-5$ menggunakan metode pembagian sintetik (skema horner).
- Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian $f(x)=x^3-5x^2+2$ oleh $x^2+4x-1$ menggunakan metode horner-kino.
Semoga postingan: Polinomial 3. Pembagian Suku Banyak - Pembagian Bersusun dan Metode Horner-Kino ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.
Post a Comment for "Polinomial 3. Pembagian Suku Banyak - Pembagian Bersusun dan Metode Horner-Kino"
Pertanyaan melalui kolom komentar akan direspon secepatnya. Jika tidak direspon, berarti pertanyaan serupa telah ada.