Matriks 3. Determinan dan Invers Matriks 2x2

A. Determinan Matriks $2\times 2$

Jika matriks $A=\left( \begin{matrix} \color{red}a & \color{blue}b \\ \color{blue}c & \color{red}d \\ \end{matrix} \right)$, maka determinan matriks A adalah:
$\begin{align}\det (A) &= \left| A \right| \\ &= \left| \begin{matrix} \color{red}a & \color{blue}b \\ \color{blue}c & \color{red}d \\ \end{matrix} \right| \\ \det (A) &= \color{red}ad\color{black}-\color{blue}bc \end{align}$
Catatan:
Jika matriks A adalah matriks singular maka det(A) = 0.

catatanmatematika.com

Contoh 1.
Tentukan determinan dari matriks berikut: $A=\left( \begin{matrix} 4 & 11 \\ 3 & 8 \\ \end{matrix} \right)$, $B=\left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ -1 & 4 \\ \end{matrix} \right)$ dan $C=\left( \begin{matrix} -5 & 8 \\ 7 & 9 \\ \end{matrix} \right)$.
Penyelesaian:
$\begin{align}\det (A) &= \left| \begin{matrix} 4 & 11 \\ 3 & 8 \\ \end{matrix} \right| \\ &= 4\times 8-11\times 3 \\ &= 32-33 \\ \det (A) &= -1 \end{align}$
$\begin{align}\det (B) &= \left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ -1 & 4 \\ \end{matrix} \right| \\ &= 3\times 4-2\times (-1) \\ &= 12+2 \\ \det (B) &= 14 \end{align}$
$\begin{align}\det (C) &= \left| \begin{matrix} -5 & 8 \\ 7 & 9 \\ \end{matrix} \right| \\ &= -5\times 9-8\times 7 \\ &= -45-56 \\ \det (C) &= -101 \end{align}$

Contoh 2.
Jika $\left| \begin{matrix} 2x+1 & 2 \\ 3x-15 & x-8 \\ \end{matrix} \right|=-33$ maka nilai $x$ = ...
Penyelesaian:
$\begin{align}\left| \begin{matrix} 2x+1 & 2 \\ 3x-15 & x-8 \\ \end{matrix} \right| &= -33 \\ (2x+1)(x-8)-2(3x-15) &= -33 \\ 2x^2-16x+x-8-6x+30 &= -33 \\ 2x^2-21x+55 &= 0 \\ (2x-11)(x-5) &= 0 \end{align}$
$2x-11=0\Leftrightarrow 2x=11\Leftrightarrow x=\frac{11}{2}$
atau
$x-5=0\Leftrightarrow x=5$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah 5 atau $\frac{11}{2}$.

Contoh 3.
Tentukan nilai $x$ agar matriks $P=\left( \begin{matrix} x-1 & 1 \\ -2 & x-4 \\ \end{matrix} \right)$ menjadi matriks singular.
Penyelesaian:
Matriks P menjadi matriks singular maka:
$\begin{align}\det (P) &= 0 \\ \left| \begin{matrix} x-1 & 1 \\ -2 & x-4 \\ \end{matrix} \right| &= 0 \\ (x-1)(x-4)-1.(-2) &= 0 \\ x^2-4x-x+4+2 &= 0 \\ x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \end{align}$
$x-2=0\to x=2$
$x-3=0\to x=3$
Jadi, $x=2$ atau $x=3$

B. Adjoint Matriks $2\times 2$

Jika matriks $A=\left( \begin{matrix} \color{red}a & \color{blue}b \\ \color{blue}c & \color{red}d \\ \end{matrix} \right)$, maka adjoint matriks A adalah $\text{adj}(A)=\left( \begin{matrix} \color{red}d & \color{blue}-b \\ \color{blue}-c & \color{red}a \\ \end{matrix} \right)$

C. Invers Matriks $2\times 2$

Invers matriks A adalah $A^{-1}$ dengan $A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}adj(A)$
Jika matriks $A=\left( \begin{matrix} \color{red}a & \color{blue}b \\ \color{blue}c & \color{red}d \\ \end{matrix} \right)$, maka invers matriks A adalah:
$A^{-1}=\frac{1}{\color{red}ad\color{black}-\color{blue}bc}\left( \begin{matrix} \color{red}d & \color{blue}-b \\ \color{blue}-c & \color{red}a \\ \end{matrix} \right)$

Contoh:
Tentukanlah invers dari matriks $A=\left( \begin{matrix} -5 & -3 \\ 7 & 4 \\ \end{matrix} \right)$ dan $B=\left( \begin{matrix} 3 & -7 \\ -2 & 4 \\ \end{matrix} \right)$.
Penyelesaian:
$A=\left( \begin{matrix} -5 & -3 \\ 7 & 4 \\ \end{matrix} \right)$ maka invers matriks A adalah:
$\begin{align}A^{-1} &= \frac{1}{-5.4-(-3).7}\left( \begin{matrix} 4 & 3 \\ -7 & -5 \\ \end{matrix} \right) \\ &= \frac{1}{-20+21}\left( \begin{matrix} 4 & 3 \\ -7 & -5 \\ \end{matrix} \right) \\ A^{-1} &= \left( \begin{matrix} 4 & 3 \\ -7 & -5 \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
$B=\left( \begin{matrix} 3 & -7 \\ -2 & 4 \\ \end{matrix} \right)$ maka invers matriks B adalah:
$\begin{align}B^{-1} &= \frac{1}{3.4-(-7).(-2)}\left( \begin{matrix} 4 & 7 \\ 2 & 3 \\ \end{matrix} \right) \\ &= \frac{1}{12-14}\left( \begin{matrix} 4 & 7 \\ 2 & 3 \\ \end{matrix} \right) \\ &= \frac{1}{-2}\left( \begin{matrix} 4 & 7 \\ 2 & 3 \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} \frac{4}{-2} & \frac{7}{-2} \\ \frac{2}{-2} & \frac{3}{-2} \\ \end{matrix} \right) \\ B^{-1} &= \left( \begin{matrix} -2 & -\frac{7}{2} \\ -1 & -\frac{3}{2} \\\end{matrix} \right) \end{align}$

D. Sifat-sifat Determinan dan Invers Matriks

Misalkan ada matriks $A_{m\times m}$, $B_{m\times m}$, dan $C_{m\times m}$ yang memiliki determinan. Berikut beberapa sifat-sifat determinan dan invers:

$\left| A^t \right|=\left| A \right|$
$\left| A.B \right|=\left| A \right|.\left| B \right|$
$\left| A^n \right|=\left| A \right|^n$
$\left| A^{-1} \right|=\frac{1}{\left| A \right|}$
$\left| k.A_{m\times m} \right|=k^m.\left| A \right|$
$(A^{-1})^{-1}=A$
$A^{-1}.A=A.A^{-1}=I$
Jika $AB=I$ maka $A=B^{-1}$ atau $B=A^{-1}$.
$(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}$
Jika $AB=C$ maka $A=C.B^{-1}$ atau $B=A^{-1}.C$.

Contoh 1.
Diketahui matriks ${{A}_{2\times 2}}$ dan ${{B}_{2\times 2}}$ dengan $\left| {{A}^{-1}} \right|=-4$ dan $\left| B \right|=5$. Tentukan nilai $\left| 8A \right|-20\left| {{B}^{-1}} \right|$.
Penyelesaian:
$\begin{align}\left| 8A \right|-20\left| B^{-1} \right| &= 8^2\left| A \right|-20\left| B^{-1} \right| \\ &= 64.\frac{1}{\left| A^{-1} \right|}-20.\frac{1}{\left| B \right|} \\ &= 64.\left( \frac{1}{-4} \right)-20.\frac{1}{5} \\ &= -16-4 \\ &= -20 \end{align}$

Contoh 2.
Jika matriks $A=\left( \begin{matrix} a & 1-b \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$ dan ${{A}^{-1}}=\left( \begin{matrix} 2 & b \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$, tentukan nilai $b$.
Penyelesaian:
$\begin{align}A.A^{-1} &= I \\ \left( \begin{matrix} a & 1-b \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 2 & b \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2a & ab+1-b \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
$2a=1\to a=\frac{1}{2}$
$\begin{align}ab+1-b &= 0 \\ \frac{1}{2}.b-b &= -1 \\ -\frac{1}{2}b &= -1 \\ b &= 2 \end{align}$

E. Soal Latihan

Tentukan determinan dari matriks $A=\left( \begin{matrix} 16 & -9 \\ -7 & 4 \\ \end{matrix} \right)$.
Tentukan invers dari matriks $B=\left( \begin{matrix} 12 & -5 \\ 7 & -3 \\ \end{matrix} \right)$.
Tentukan nilai $x$ agar matriks $\left( \begin{matrix} 2x & x \\ 4 & x+5 \\ \end{matrix} \right)$ merupakan matriks singular.
Diketahui matriks $A=\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 3 & -4 \\ \end{matrix} \right)$ dan $B=\left( \begin{matrix} 5 & -3 \\ 2 & 1 \\ \end{matrix} \right)$. Jika $AC=B$, tentukan $\det (3C)^{-1}$.
Diketahui $A=\left( \begin{matrix} 4a & 5 \\ 3 & 2 \\ \end{matrix} \right)$ dan ${{A}^{-1}}=\left( \begin{matrix} 2b & 4-a \\ -3 & 8 \\ \end{matrix} \right)$. Tentukan nilai $a+b+c$.

Semoga postingan: Matriks 3. Determinan dan Invers Matriks 2x2 ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

CATATAN MATEMATIKA