Skip to content Skip to sidebar Skip to footer
Subscribe and Follow Our Channel:
Youtube Catatan Matematika Tiktok Catatan Matematika Instagram Catatan Matematika Facebook Catatan Matematika

Rumus Trigonometri Perkalian, Jumlah dan Selisih pada Sinus dan Cosinus

A. Rumus Trigonometri Perkalian Sinus dan Cosinus

Berikut ini rumus perkalian fungsi trigonometri:
1. $2\sin \alpha \cos \beta =\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )$
2. $2\cos \alpha \sin \beta =\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )$
3. $2\cos \alpha \cos \beta =\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )$
4. $-2\sin \alpha \sin \beta =\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )$
Rumus Trigonometri Perkalian pada Sinus dan Cosinus

PENTING: Jika layar perangkat (HP) anda kecil, kemungkinan tulisan akan terpotong. Untuk mengatasinya, silahkan rotate (putar) HP ada pada posisi Landscape (memanjang ke samping). Terima kasih.
Contoh 1.
Tentukan nilai dari $6\cos 75^\circ \sin 5^\circ $.
Penyelesaian:
Ingat:
$2\cos \alpha \sin \beta =\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )$ maka:
$6\cos 75^\circ \sin 5^\circ $
$=3.2\cos 75^\circ \sin 5^\circ $
$=3.[\sin (75^\circ +15^\circ )-\sin (75^\circ -15^\circ )]$
$=3.(\sin 90^\circ -\sin 60^\circ )$
$=3.\left( 1-\frac{1}{2}\sqrt{3} \right)$
$=3-\frac{3}{2}\sqrt{3}$
Contoh 2.
Tentukan nilai dari $4\cos 37,5^\circ \cos 7,5^\circ $
Penyelesaian:
Ingat:
$2\cos \alpha \cos \beta =\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )$ maka:
$4\cos 37,5^\circ \cos 7,5^\circ $
$=2.2\cos 37,5^\circ \cos 7,5^\circ $
$=2.[\cos (37,5^\circ +7,5^\circ )+\cos (37,5^\circ -7,5^\circ )]$
$=2.(\cos 45^\circ +\cos 30^\circ )$
$=2.\left( \frac{1}{2}\sqrt{2}+\frac{1}{2}\sqrt{3} \right)$
$=\sqrt{2}+\sqrt{3}$
Contoh 3.
Hitunglah nilai dari $\sin 10^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ $
Penyelesaian:
Ingat:
$-2\sin \alpha \sin \beta =\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )$ dan
$2\sin \alpha \cos \beta =\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )$ maka:
$\sin 10^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ $
$=\sin 10^\circ (\sin 50^\circ \sin 70^\circ )$
$=\sin 10^\circ \left( -\frac{1}{2}.(-2\sin 50^\circ \sin 70^\circ ) \right)$
$=\sin 10^\circ \left( -\frac{1}{2}.(\cos (50^\circ +70^\circ )-\cos (50^\circ -70^\circ )) \right)$
$=\sin 10^\circ \left( -\frac{1}{2}.(\cos 120^\circ -\cos (-20^\circ )) \right)$
$=\sin 10^\circ \left( -\frac{1}{2}.(\cos 120^\circ -\cos 20^\circ ) \right)$
$=\sin 10^\circ \left( -\frac{1}{2}.\left( -\frac{1}{2}-\cos 20^\circ \right) \right)$
$=\sin 10^\circ \left( \frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cos 20^\circ \right)$
$=\frac{1}{4}\sin 10^\circ +\frac{1}{2}\sin 10^\circ \cos 20^\circ $
$=\frac{1}{4}\sin 10^\circ +\frac{1}{4}.2\sin 10^\circ \cos 20^\circ $
$=\frac{1}{4}\sin 10^\circ +\frac{1}{4}(\sin (10^\circ +20^\circ )+\sin (10^\circ -20^\circ ))$
$=\frac{1}{4}\sin 10^\circ +\frac{1}{4}(\sin 30^\circ +\sin (-10^\circ ))$
$=\frac{1}{4}\sin 10^\circ +\frac{1}{4}\left( \frac{1}{2}-\sin 10^\circ \right)$
$=\frac{1}{4}\sin 10^\circ +\frac{1}{8}-\frac{1}{4}\sin 10^\circ $
$=\frac{1}{8}$
Contoh 4.
Tentukan nilai dari $-8\sin 142\frac{1}{2}^\circ \cos 97\frac{1}{2}^\circ $.
Penyelesaian:
Ingat:
$2\sin \alpha \cos \beta =\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )$ maka:
$-8\sin 142\frac{1}{2}^\circ \cos 97\frac{1}{2}^\circ $
$=-4.2\sin 142\frac{1}{2}^\circ \cos 97\frac{1}{2}^\circ $
$=-4.\left( \sin \left( 142\frac{1}{2}^\circ +97\frac{1}{2}^\circ \right)+\sin \left( 142\frac{1}{2}^\circ -97\frac{1}{2}^\circ \right) \right)$
$=-4.\left( \sin 240^\circ +\sin 45^\circ \right)$
$=-4.\left( -\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt{2} \right)$
$=\left( 2\sqrt{3}-2\sqrt{2} \right)$
Contoh 5.
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\sin \left( x+45^\circ \right)\cos x=\frac{1}{4}\sqrt{2}$ untuk $0^\circ \le x\le 360^\circ $.
Penyelesaian:
Ingat:
$2\sin \alpha \cos \beta =\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )$ maka:
$\begin{align}\sin \left( x+45^\circ \right)\cos x &= \frac{1}{4}\sqrt{2} \\ 2\sin \left( x+45^\circ \right)\cos x &= \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \sin (x+45^\circ +x)+\sin (x+45^\circ -x) &= \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \sin (2x+45^\circ )+\sin 45^\circ &= \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \sin (2x+45^\circ )+\frac{1}{2}\sqrt{2} &= \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \sin (2x+45^\circ ) &= 0 \\ \sin (2x+45^\circ ) &= \sin 0^\circ \end{align}$
Bentuk terakhir ini adalah persamaan trigonometri dasar $\sin f(x)=\sin g(x)$ maka:
1) $f(x)=g(x)+k.360^\circ $
$\begin{align}2x+45^\circ &= 0^\circ +k.360^\circ \\ 2x &= -45^\circ +k.360^\circ \\ x &= -22,5^\circ +k.180^\circ \end{align}$
$k=1\to x=157,5^\circ $
$k=2\to x=337,5^\circ $
2) $f(x)=(180^\circ -g(x))+k.360^\circ $
$\begin{align}2x+45^\circ &= (180^\circ -0^\circ )+k.360^\circ \\ 2x &= 180^\circ -45^\circ +k.360^\circ \\ 2x &= 135^\circ +k.360^\circ \\ x &= 67,5^\circ +k.180^\circ \end{align}$
$k=0\to x=67,5^\circ $
$k=1\to x=247,5^\circ $
HP = $\{67,5^\circ ;\,157,5^\circ ;\,247,5^\circ ;\,337,5^\circ \}$

B. Rumus Trigonometri Jumlah/Selisih Sinus dan Cosinus

Berikut ini rumus penjumlahan/pengurangan fungsi trigonometri:
1. $\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{1}{2}(\alpha +\beta )\cos \frac{1}{2}(\alpha -\beta )$
2. $\sin \alpha -\sin \beta =2\cos \frac{1}{2}(\alpha +\beta )\sin \frac{1}{2}(\alpha -\beta )$
3. $\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{1}{2}(\alpha +\beta )\cos \frac{1}{2}(\alpha -\beta )$
4. $\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{1}{2}(\alpha +\beta )\sin \frac{1}{2}(\alpha -\beta )$
Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih pada Sinus dan Cosinus

Contoh 1.
Tentukan nilai dari $\sin 75^\circ -\sin 165^\circ $.
Penyelesaian:
Ingat:
$\sin \alpha -\sin \beta =2\cos \frac{1}{2}(\alpha +\beta )\sin \frac{1}{2}(\alpha -\beta )$ maka:
$\sin 75^\circ -\sin 165^\circ $
$=2\cos \frac{1}{2}(75^\circ +165^\circ )\sin \frac{1}{2}(75^\circ -165^\circ )$
$=2\cos 120^\circ \sin (-45^\circ )$
$=2\times \left( -\frac{1}{2} \right).\left( -\frac{1}{2}\sqrt{2} \right)$
$=\frac{1}{2}\sqrt{2}$
Contoh 2.
Tentukan nilai dari $\cos 25^\circ +\cos 95^\circ +\cos 145^\circ $.
Penyelesaian:
Ingat:
$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{1}{2}(\alpha +\beta )\cos \frac{1}{2}(\alpha -\beta )$ maka:
$\cos 25^\circ +\cos 95^\circ +\cos 145^\circ $
$=\cos 25^\circ +(\cos 95^\circ +\cos 145^\circ )$
$=\cos 25^\circ +2\cos \frac{1}{2}(95^\circ +145^\circ )\cos \frac{1}{2}(95^\circ -145^\circ )$
$=\cos 25^\circ +2\cos 120^\circ \cos (-25^\circ )$
$=\cos 25^\circ +2\times \left( -\frac{1}{2} \right)\cos 25^\circ $
$=\cos 25^\circ -\cos 25^\circ $
= 0
Contoh 3.
Tentukan nilai dari $\frac{\sin 81^\circ +\sin 21^\circ }{\sin 69^\circ -\sin 171^\circ }$.
Penyelesaian:
$\frac{\sin 81^\circ +\sin 21^\circ }{\sin 69^\circ -\sin 171^\circ }$
$=\frac{2\sin \frac{1}{2}(81^\circ +21^\circ )\cos \frac{1}{2}(81^\circ -21^\circ )}{2\cos \frac{1}{2}(69^\circ +171^\circ )\sin \frac{1}{2}(69^\circ -171^\circ )}$
$=\frac{2\sin 51^\circ \cos 30^\circ }{2\cos 120^\circ \sin (-51^\circ )}$
$=\frac{\sin 51^\circ \cos 30^\circ }{-\sin 51^\circ \cos 120^\circ }$
$=-\frac{\cos 30^\circ }{\cos 120^\circ }$
$=-\frac{\frac{1}{2}\sqrt{3}}{-\frac{1}{2}}$
$=\sqrt{3}$
Contoh 4.
Tentukan nilai dari $\frac{\cos 140^\circ -\cos 100^\circ }{\sin 140^\circ -\sin 100^\circ }$.
Penyelesaian:
$\frac{\cos 140^\circ -\cos 100^\circ }{\sin 140^\circ -\sin 100^\circ }$
$=\frac{-2\sin \frac{1}{2}(140^\circ +100^\circ )\sin \frac{1}{2}(140^\circ -100^\circ )}{2\cos \frac{1}{2}(140^\circ +100^\circ )\sin \frac{1}{2}(140^\circ -100^\circ )}$
$=-\frac{\sin 120^\circ \sin 20^\circ }{\cos 120^\circ \sin 20^\circ }$
$=-\frac{\sin 120^\circ }{\cos 120^\circ }$
$=-\frac{\frac{1}{2}\sqrt{3}}{-\frac{1}{2}}$
$=\sqrt{3}$
Contoh 5.
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\cos (2x+150^\circ )+\cos (2x-90^\circ )=\frac{1}{2}\sqrt{3}$ untuk $0^\circ \le x\le 360^\circ $.
Penyelesaian:
Ingat:
$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{1}{2}(\alpha +\beta )\cos \frac{1}{2}(\alpha -\beta )$ maka:
$\begin{align}\cos (2x+150^\circ )+\cos (2x-90^\circ ) &= \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ 2\cos \frac{1}{2}(4x+60^\circ )\cos (\frac{1}{2}.240^\circ ) &= \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ 2\cos (2x+30^\circ )\cos 120^\circ &= \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ 2\cos (2x+30^\circ )\times \left( -\frac{1}{2} \right) &= \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ -\cos (2x+30^\circ ) &= \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \cos (2x+30^\circ ) &= -\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \cos (2x+30^\circ ) &= \cos 150^\circ \end{align}$
Bentuk terakhir ini adalah persamaan trigonometri dasar $\cos f(x)=\cos g(x)$ maka:
1) $f(x)=g(x)+k.360^\circ $
$\begin{align}2x+30^\circ &= 150^\circ +k.360^\circ \\ 2x &= 150^\circ -30^\circ +k.360^\circ \\ 2x &= 120^\circ +k.360^\circ \\ x &= 60^\circ +k.180^\circ \end{align}$
$k=0\to x=60^\circ $
$k=1\to x=240^\circ $
2) $f(x)=(180^\circ -g(x))+k.360^\circ $
$\begin{align}2x+30^\circ &= (180^\circ -150^\circ )+k.360^\circ \\ 2x+30^\circ &= 30^\circ +k.360^\circ \\ 2x &= 30^\circ -30^\circ +k.360^\circ \\ 2x &= k.360^\circ \\ x &= k.180^\circ \end{align}$
$k=0\to x=0^\circ $
$k=1\to x=180^\circ $
$k=2\to x=360^\circ $
HP = $\{0^\circ ,60^\circ ,180^\circ ,240^\circ ,360^\circ \}$

C. Soal Latihan

  1. Tentukanlah nilai dari $\cos 97\frac{1}{2}^\circ \sin 67\frac{1}{2}^\circ $.
  2. Tentukanlah nilai dari $-12\tan 20^\circ .\tan 40^\circ .\tan 80^\circ $.
  3. Tentukan nilai dari $\sin 50^\circ -\sin 70^\circ +\sin 10^\circ $.
  4. Tentukan hasil dari $\frac{\sin 27^\circ +\sin 63^\circ }{\cos 138^\circ +\cos 102^\circ }$.
  5. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\sin (3x-150^\circ )-\sin (3x-30^\circ )=-\sqrt{3}$ untuk $0^\circ \le x\le 360^\circ $.
Semoga postingan: Rumus Trigonometri Perkalian, Jumlah dan Selisih pada Sinus dan Cosinus ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Post a Comment for "Rumus Trigonometri Perkalian, Jumlah dan Selisih pada Sinus dan Cosinus"