Lingkaran 7. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Pada postingan ini kita akan mempelajari: Persamaan Garis Singgung Lingkaran, Persamaan Garis Polar Lingkaran dan Panjang Garis Singgung Lingkaran.

A. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik $(x_1,y_1)$ pada Lingkaran

Perhatikan gambar berikut!

Persamaan garis singgung melalui titik $(x_1,y_1)$ pada Lingkaran:

1. Persamaan garis singgung melalui titik $(x_1,y_1)$ pada lingkaran $x^2+y^2=r^2$ adalah $x_1x+y_1y=r^2$.
2. Persamaan garis singgung melalui titik $(x_1,y_1)$ pada lingkaran $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ adalah $(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$.
3. Persamaan garis singgung melalui titik $(x_1,y_1)$ pada lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ adalah $x_1x+y_1y+\frac{A}{2}(x+x_1)+\frac{B}{2}(y+y_1)+C=0$.

Contoh 1.
Tentukan persamaan garis singgung melalui titik $(-2,1)$ pada lingkaran $x^2+y^2=5$.

Penyelesaian:
$x^2+y^2=5 \Rightarrow r^2=5$
Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2=5$ di titik $(-2,1)=(x_1,y_1)$ adalah:
$\begin{align}x_1x+y_1y &= r^2 \\ -2x+1.y &= 5 \\ y &= 2x+5 \end{align}$

Contoh 2.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $(x+2)^2+(y+3)^2=40$ melalui titik $(4,-1)$.

Penyelesaian:
$\begin{align}(x+2)^2+(y+3)^2 &= 40 \\ (x-a)^2+(y-b)^2 &= r^2 \\ \end{align}$
Persamaan garis singgung lingkaran $(x+2)^2+(y+3)^2=40$ di titik $(4,-1)=(x_1,y_1)$ adalah:
$(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$
$(x_1+2)(x+2)+(y_1+3)(y+3)=40$
$(4+2)(x+2)+(-1+3)(y+3)=40$
$6(x+2)+2(y+3)=40$
$6x+12+2y+6=40$
$6x+2y-22=0$

Contoh 3.
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2+6x-2y-10=0$ di titik $(1,3)$.

Penyelesaian:
$x^2+y^2+6x-2y-10=0$
$A=6$, $B=-2$, $C=-10$
Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+6x-2y-10=0$ di titik $(1,3)=(x_1,y_1)$ adalah:
$x_1x+y_1y+\frac{A}{2}(x+x_1)+\frac{B}{2}(y+y_1)+C=0$
$x_1x+y_1y+\frac{6}{2}(x+x_1)-\frac{2}{2}(y+y_1)-10=0$
$1.x+3.y+3(x+1)-(y+3)-10=0$
$x+3y+3x+3-y-3-10=0$
$4x+2y-10=0$
$2x+y-5=0$

Contoh 4.
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x-6y-7=0$ di titik yang berabsis 2.

Penyelesaian:
$x=2$ maka:
$\begin{align}x^2+y^2+4x-6y-7 &= 0 \\ 2^2+y^2+4.2-6y-7 &= 0 \\ 4+y^2+8-6y-7 &= 0 \\ y^2-6y+5 &= 0 \\ (y-1)(y-5) &= 0 \end{align}$
$y=1$ atau $y=5$
Jadi, titik singgungnya ada dua yaitu $(2,1)$ dan $(2,5)$.
Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+4x-6y-7=0$ di titik $(2,1)$ adalah:
$x_1x+y_1y+\frac{4}{2}(x+x_1)-\frac{6}{2}(y+y_1)-7=0$
$2.x+1.y+2(x+2)-3(y+1)-7=0$
$2x+y+2x+4-3y-3-7=0$
$4x-2y-6=0$
$2x-y-3=0$
Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+4x-6y-7=0$ di titik $(2,5)$ adalah:
$x_1x+y_1y+\frac{4}{2}(x+x_1)-\frac{6}{2}(y+y_1)-7=0$
$2.x+5.y+2(x+2)-3(y+5)-7=0$
$2x+5y+2x+4-3y-15-7=0$
$4x+2y-18=0$
$2x+y-9=0$

Contoh 5.
Diketahui lingkaran $x^2+y^2+2x-4y-5=0$ dan garis $y=x+1$. Garis dan lingkaran berpotongan di titik A dan B. Tentukan persamaan garis singgung di titik A dan B.

Penyelesaian:
$y=x+1$ substitusi ke persamaan lingkaran $x^2+y^2+2x-4y-5=0$ maka:
$\begin{align}x^2+(x+1)^2+2x-4(x+1)-5 &= 0 \\ x^2+x^2+2x+1+2x-4x-4-5 &= 0 \\ 2x^2-8 &= 0 \\ x^2-4 &= 0 \\ (x+2)(x-2) &= 0 \end{align}$
$x=-2$ atau $x=2$
Substitusi ke $y=x+1$, diperoleh:
$x=-2\Rightarrow y=-2+1=-1\Rightarrow A(-2,-1)$
$x=2\Rightarrow y=2+1=3\Rightarrow B(2,3)$
Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+2x-4y-5=0$ di titik $A(-2,-1)$ adalah:
$x_1x+y_1y+\frac{2}{2}(x+x_1)-\frac{4}{2}(y+y_1)-5=0$
$-2.x+(-1)y+1.(x-2)-2.(y-1)-5=0$
$-2x-y+x-2-2y+2-5=0$
$-x-3y-5=0$
$x+3y+5=0$
Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+2x-4y-5=0$ di titik $B(2,3)$ adalah:
$x_1x+y_1y+\frac{2}{2}(x+x_1)-\frac{4}{2}(y+y_1)-5=0$
$2x+3y+1.(x+2)-2.(y+3)-5=0$
$2x+3y+x+2-2y-6-5=0$
$3x+y-9=0$

B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien $m$

Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien $m$:

1. Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2=r^2$ dengan gradien $m$ adalah $y=mx\pm r\sqrt{m^2+1}$.
2. Persamaan garis singgung lingkaran $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ dengan gradien $m$ adalah $y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^2+1}$.
3. Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ dengan gradien $m$ adalah $y+\frac{B}{2}=m\left( x+\frac{A}{2} \right)\pm r\sqrt{m^2+1}$.

Contoh 6.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2=16$ dengan gradien $m=\frac{3}{4}$.

Penyelesaian:
$x^2+y^2=16\Rightarrow r=\sqrt{16}=4$
Persamaan garis singgung lingkaran adalah:
$\begin{align}y &= mx\pm r\sqrt{m^2+1} \\ &= \frac{3}{4}x\pm 4\sqrt{{{\left( \frac{3}{4} \right)}^2}+1} \\ &= \frac{3}{4}x\pm 4\sqrt{\frac{9}{16}+1} \\ &= \frac{3}{4}x\pm 4\sqrt{\frac{25}{16}} \\ &= \frac{3}{4}x\pm 4.\frac{5}{4} \\ y &= \frac{3}{4}x\pm 5 \end{align}$
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran adalah $y=\frac{3}{4}x-5$ atau $y=\frac{3}{4}x+5$.

Contoh 7.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $(x+2)^2+(y-3)^2=25$ dan tegak lurus garis $x-2y+4=0$.

Penyelesaian:
$(x+2)^2+(y-3)^2=25$
$(x+2)^2+(y-3)^2=5^2$
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
$x-2y+4=0$
$\begin{align}m_1 &= -\frac{\text{koefisien}\,x}{\text{koefisien}\,y} \\ &= -\frac{1}{-2} \\ m_1 &= \frac{1}{2} \end{align}$
Garis singgung tegak lurus garis $x-2y+4=0$ maka gradien garis singgung lingkaran adalah:
$\begin{align}m &= \frac{-1}{m_1} \\ &= \frac{-1}{\frac{1}{2}} \\ m &= -2 \end{align}$

Persamaan garis singgung ligkaran $(x+2)^2+(y-3)^2=25$ dengan gradien $m=-2$ adalah:
$\begin{align}y-b &= m(x-a)\pm r\sqrt{m^2+1} \\ y-3 &= -2(x+2)\pm 5\sqrt{(-2)^2+1} \\ y-3 &= -2x-4\pm 5\sqrt{5} \\ y &= -2x-4+3\pm 5\sqrt{5} \\ y &= -2x-1\pm 5\sqrt{5} \end{align}$
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran adalah $y=-2x-1-5\sqrt{5}$ atau $y=-2x-1+5\sqrt{5}$.

Contoh 8.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-2x+4y-4=0$ yang sejajar dengan garis $5x-12y+5=0$.

Penyelesaian:
$x^2+y^2-2x+4y-4=0$
$A=-2$, $B=4$, $C=-4$
$\begin{align}r &= \sqrt{\frac{A^2}{4}+\frac{B^2}{4}-C} \\ &= \sqrt{\frac{(-2)^2}{4}+\frac{4^2}{4}-(-4)} \\ &= \sqrt{1+4+4} \\ r &= 3 \end{align}$
$5x-12y+5=0$
$\begin{align}m_1 &= -\frac{\text{koefisien}\,x}{\text{koefisien}\,y} \\ &= -\frac{5}{-12} \\ m_1 &= \frac{5}{12} \end{align}$
Garis singgung lingkaran sejajar dengan $5x-12y+5=0$ maka gradien garis singgung lingkaran adalah $m=m_1=\frac{5}{12}$.
Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-2x+4y-4=0$ dengan gradien $m=\frac{5}{12}$ adalah:
$\begin{align}y+\frac{B}{2} &= m\left( x+\frac{A}{2} \right)\pm r\sqrt{m^2+1} \\ y+\frac{4}{2} &= \frac{5}{12}\left( x+\frac{-2}{2} \right)\pm 3\sqrt{{{\left( \frac{5}{12} \right)}^2}+1} \\ y+2 &= \frac{5}{12}\left( x-1 \right)\pm 3\sqrt{\frac{25}{144}+1} \\ y+2 &= \frac{5}{12}\left( x-1 \right)\pm 3\sqrt{\frac{169}{144}} \\ y+2 &= \frac{5}{12}\left( x-1 \right)\pm \frac{39}{12} \\ 12y+24 &= 5x-5\pm 39 \end{align}$
$-5x+12y+29\pm 39=0$
$5x-12y-29\pm 39=0$
$5x-12y-68=0$ atau $5x-12y+10=0$
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran adalah $5x-12y-68=0$ atau $5x-12y+10=0$.

C. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran

Misalkan titik $P(x_1,y_1)$ terletak di luar lingkaran L.

Banyaknya garis singgung yang dapat ditarik dari titik $P(x_1,y_1)$ ada dua buah, yaitu garis singgung PQ dan garis singgung PR.

Langkah-langkah menentukan persamaan garis singgung melalui titik $(x_1,y_1)$ di luar lingkaran sebagai berikut:

1. Misalkan persamaan garis singgung yang melalui titik $P(x_1,y_1)$ bergradien $m$ adalah $y=mx-mx_1+y_1$.
2. Substitusi $y=mx-mx_1+y_1$ ke persamaan lingkaran L sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam $x$.
3. Karena garis menyinggung lingkaran L, maka haruslah diskriminan D = 0 sehingga diperoleh nilai-nilai $m$.
4. Substitusi nilai $m$ ke persamaan garis singgung $y=mx-mx_1+y_1$ sehingga diperoleh persamaan garis singgung yang diminta.

Contoh 9.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2=8$ yang melalui titik $(-3,1)$.

Penyelesaian:
Garis singgung melalui titik $(-3,1)$ dan bergradien $m$ adalah:
$y=mx-mx_1+y_1 \Leftrightarrow y=mx+3m+1$
Substitusi ke persamaan lingkaran $x^2+y^2=8$ maka:
$x^2+(mx+3m+1)^2=8$
$x^2+m^2x^2+9m^2+1+6m^2x+2mx+6m=8$
$(1+m^2)x^2+(6m^2+2m)x+9m^2+6m-7=0$
Garis menyinggung lingkaran, maka:
D = 0
$b^2-4ac=0$
$(6m^2+2m)^2-4(1+m^2)(9m^2+6m-7)=0$
$36m^4+24m^3+4m^2-4(2m^2+6m-7+9m^4+6m^3)=0$
$36m^4+24m^3+4m^2-36m^4-24m^3-8m^2-24m+28=0$
$-2m^2-24m+28=0$
$m^2+12m-24=0$
$\begin{align}m &= \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &= \frac{-12\pm \sqrt{12^2-4.1.(-24)}}{2.1} \\ &= \frac{-12\pm \sqrt{144+96}}{2} \\ &= \frac{-12\pm \sqrt{240}}{2} \\ &= \frac{-12\pm \sqrt{16\times 15}}{2} \\ &= \frac{-12\pm 4\sqrt{15}}{2} \\ m &= -6\pm 2\sqrt{15} \end{align}$
Untuk $m=-6-2\sqrt{15}$ maka persamaan garis singgung lingkaran adalah:
$\begin{align}y &= mx+3m+1 \\ &= (-6-2\sqrt{15})x+3(-6-2\sqrt{15})+1 \\ &= (-6-2\sqrt{15})x-18-6\sqrt{15}+1 \\ y &= (-6-2\sqrt{15})x-17-6\sqrt{15} \end{align}$
Untuk $m=-6+2\sqrt{15}$ maka persamaan garis singgung lingkaran adalah:
$\begin{align}y &= mx+3m+1 \\ &= (-6+2\sqrt{15})x+3(-6+2\sqrt{15})+1 \\ &= (-6+2\sqrt{15})x-18+6\sqrt{15}+1 \\ y &= (-6+2\sqrt{15})x-17+6\sqrt{15} \end{align}$

Contoh 10.
Tentukan persaman garis singgung lingkaran $(x+4)^2+(y-5)^2=40$ yang melalui titik $(3,6)$.

Penyelesaian:
Garis singgung melalui titik $(3,6)$ dan bergradien $m$ adalah:
$y=mx-mx_1+y_1 \Leftrightarrow y=mx-3m+6$
Substitusi ke persamaan lingkaran $(x+4)^2+(y-5)^2=40$ maka:
$(x+4)^2+(mx-3m+6-5)^2=40$
$(x+4)^2+(mx-3m+1)^2=40$
$x^2+8x+16+m^2x^2+9m^2+1-6m^2x+2mx-6m=40$
$(1+m^2)x^2+(8-6m^2+2m)x+9m^2-6m-23=0$
Karena garis menyinggung lingkaran maka:
D = 0
$b^2-4ac=0$
$(8-6m^2+2m)^2-4(1+m^2)(9m^2-6m-23)=0$
$64+36m^4+4m^2-96m^2+32m-24m^3-4(-14m^2-6m-23+9m^4-6m^3)=0$
$36m^4-24m^3-92m^2+32m+64-36m^4+24m^3+56m^2+24m+92=0$
$-36m^2+56m+156=0$
$-36m^2+56m+156=0$
$9m^2-14m-39=0$
$(9m+13)(m-3)=0$
$m=-\frac{13}{9}$ atau $m=3$
Untuk $m=-\frac{13}{9}$ maka persamaan garis singgung lingkaran adalah:
$\begin{align}y &= mx-3m+6 \\ &= -\frac{13}{9}x-3\left( -\frac{13}{9} \right)+6 \\ &= -\frac{13}{9}x+\frac{13}{3}+6 \\ y &= -\frac{13}{9}x+\frac{31}{3} \end{align}$
atau
$y=-\frac{13}{9}x+\frac{93}{9}$
$9y=-13x+93$
$13x+9y-93=0$

Untuk $m=3$ maka persamaan garis singgung lingkaran adalah:
$\begin{align}y &= mx-3m+6 \\ &= 3x-3.3+6 \\ y &= 3x-3 \end{align}$

Contoh 11.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6x-2y+8=0$ yang melalui titik $O(0,0)$.

Penyelesaian:
Garis singgung melalui titik $O(0,0)$ dan bergradien $m$ adalah:
$y=mx-mx_1+y_1 \Leftrightarrow y=mx$
Substitusi ke persamaan lingkaran $x^2+y^2+6x-2y+8=0$ maka:
$x^2+(mx)^2+6x-2.mx+8=0$
$(1+m^2)x^2+(6-2m)x+8=0$
Karena garis menyinggung lingkaran, maka:
D = 0
$b^2-4ac=0$
$(6-2m)^2-4(1+m^2).8=0$
$36-24m+4m^2-32-32m^2=0$
$-28m^2-24m+4=0$
$7m^2+6m-1=0$
$(7m-1)(m+1)=0$
$m=\frac{1}{7}$ atau $m=-1$
Untuk $m=\frac{1}{7}$ maka persamaan garis singgung lingkaran adalah $y=mx\Leftrightarrow y=\frac{1}{7}x$.
Untuk $m=-1$ maka persamaan garis singgung lingkaran adalah $y=mx\Leftrightarrow y=-x$.

D. Persamaan Garis Polar pada Lingkaran

Misalkan titik $P(x_1,y_1)$ terletak di luar lingkaran L.

1. Jika titik $(x_1,y_1)$ di luar lingkaran $x^2+y^2=r^2$ maka persamaan garis polarnya adalah $x_1x+y_1y=r^2$.
2. Jika titik $(x_1,y_1)$ di luar lingkaran $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ maka persamaan garis polarnya adalah $(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$.
3. Jika titik $(x_1,y_1)$ di luar lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ maka persamaan garis polarnya adalah $x_1x+y_1y+\frac{A}{2}(x+x_1)+\frac{B}{2}(y+y_1)+C=0$.

Contoh 12.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2=25$ yang ditarik dari titik $(-7,-1)$.

Penyelesaian:
Persamaan garis polar lingkaran $x^2+y^2=25$ yang dibangun oleh titik $(-7,-1)$ adalah:
$\begin{align}x_1x+y_1y &= 25 \\ -7x-y &= 25 \\ -y &= 7x+25 \\ y &= -7x-25 \end{align}$
Substitusi ke persamaan lingkaran $x^2+y^2=25$ maka:
$\begin{align}x^2+y^2 &= 25 \\ x^2+(-7x-25)^2 &= 25 \\ x^2+49x^2+350x+625 &= 25 \\ 50x^2+350x+600 &= 0 \\ x^2+7x+12 &= 0 \\ (x+4)(x+3) &= 0 \end{align}$
$x+4=0\Rightarrow x=-4$
$x+3=0\Rightarrow x=-3$
Untuk $x=-4$ maka:
$y=-7x-25=-7(-4)-25=3$ diperoleh titik singgung $(-4,3)$.
Untuk $x=-3$ maka:
$y=-7x-25=-7(-3)-25=-4$ diperoleh titik singgung $(-3,-4)$.
Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2=25$ di titik $(-4,3)$ adalah:
$\begin{align}x_1x+y_1y &= 25 \\ -4x+3y &= 25 \\ 4x-3y+25 &= 0 \end{align}$
Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2=25$ di titik $(-3,-4)$ adalah:
$\begin{align}x_1x+y_1y &= 25 \\ -3x-4y &= 25 \\ 3x+4y+25 &= 0 \end{align}$

E. Panjang Potongan Garis Singgung Lingkaran

Misalkan titik $P(x_1,y_1)$ terletak di luar lingkaran L.

1. Jika titik $P(x_1,y_1)$ di luar lingkaran $x^2+y^2=r^2$ maka panjang potongan garis singgung dari titik P ke titik singgung Q adalah $PQ=\sqrt{x_1^2+y_1^2-r^2}$.
2. Jika titik $P(x_1,y_1)$ di luar lingkaran $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ maka panjang potongan garis singgung dari titik P ke titik singgung Q adalah $PQ=\sqrt{(x_1-a)^2+(y_1-b)^2-r^2}$.
3. Jika titik $P(x_1,y_1)$ di luar lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ maka panjang potongan garis singgung dari titik P ke titik singgung Q adalah $PQ=\sqrt{x_1^2+y_1^2+Ax_1+By_1+C}$.

Contoh 13.
Diketahui lingkaran $x^2+y^2+4x-2y-13=0$ dan titik $Q(3,2)$. Dari titik Q dibuat garis singgung pada lingkaran. Jika titik S adalah titik singgungnya, berapakah panjang garis singgung QS?

Penyelesaian:
Panjang garis singgung lingkaran $x^2+y^2+4x-2y-13=0$ melalui titik $Q(3,2)=(x_1,y_1)$ adalah:
$\begin{align}QS &= \sqrt{x_1^2+y_1^2+4x_1-2y_1-13} \\ &= \sqrt{3^2+2^2+4.3-2.2-13} \\ &= \sqrt{9+4+12-4-13} \\ &= \sqrt{8} \\ QS &= 2\sqrt{2} \end{align}$

F. Soal Latihan

1. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $(x-2)^2+(y+3)^2=5$ di titik $(3,-1)$.
2. Diberikan persamaan lingkaran $x^2+y^2+2x-6y+5=0$. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut di titik $(1,2)$.
3. Tentukan gradien dari persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-4x+10y+24=0$ yang melalui titik $(1,-7)$.
4. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $(x+3)^2+(y-1)^2=16$ yang ditarik dari titik $A(1,-1)$.
5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-4x+8y-5=0$ yang tegak lurus garis $3x-4y+9=0$.

By: Catatan Matematika

Semoga postingan: Lingkaran 7. Persamaan Garis Singgung Lingkaran ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :