Skip to content Skip to sidebar Skip to footer

Lingkaran 7. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Pada postingan ini kita akan mempelajari: Persamaan Garis Singgung Lingkaran, Persamaan Garis Polar Lingkaran dan Panjang Garis Singgung Lingkaran.

A. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik $(x_1,y_1)$ pada Lingkaran

Perhatikan gambar berikut!
Persamaan Garis Singgung Melalui Titik (x1,y1) Pada Lingkaran
Persamaan garis singgung melalui titik $(x_1,y_1)$ pada Lingkaran:
  1. Persamaan garis singgung melalui titik $(x_1,y_1)$ pada lingkaran $x^2+y^2=r^2$ adalah $x_1x+y_1y=r^2$.
  2. Persamaan garis singgung melalui titik $(x_1,y_1)$ pada lingkaran $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ adalah $(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$.
  3. Persamaan garis singgung melalui titik $(x_1,y_1)$ pada lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ adalah $x_1x+y_1y+\frac{A}{2}(x+x_1)+\frac{B}{2}(y+y_1)+C=0$.
Contoh 1.
Tentukan persamaan garis singgung melalui titik $(-2,1)$ pada lingkaran $x^2+y^2=5$.


Contoh 2.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $(x+2)^2+(y+3)^2=40$ melalui titik $(4,-1)$.


Contoh 3.
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2+6x-2y-10=0$ di titik $(1,3)$.


Contoh 4.
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x-6y-7=0$ di titik yang berabsis 2.


Contoh 5.
Diketahui lingkaran $x^2+y^2+2x-4y-5=0$ dan garis $y=x+1$. Garis dan lingkaran berpotongan di titik A dan B. Tentukan persamaan garis singgung di titik A dan B.


B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien $m$

Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien $m$:
  1. Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2=r^2$ dengan gradien $m$ adalah $y=mx\pm r\sqrt{m^2+1}$.
  2. Persamaan garis singgung lingkaran $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ dengan gradien $m$ adalah $y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^2+1}$.
  3. Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ dengan gradien $m$ adalah $y+\frac{B}{2}=m\left( x+\frac{A}{2} \right)\pm r\sqrt{m^2+1}$.
Contoh 6.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2=16$ dengan gradien $m=\frac{3}{4}$.


Contoh 7.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $(x+2)^2+(y-3)^2=25$ dan tegak lurus garis $x-2y+4=0$.


Contoh 8.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-2x+4y-4=0$ yang sejajar dengan garis $5x-12y+5=0$.


C. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran

Misalkan titik $P(x_1,y_1)$ terletak di luar lingkaran L.
Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik di Luar Lingkaran
Banyaknya garis singgung yang dapat ditarik dari titik $P(x_1,y_1)$ ada dua buah, yaitu garis singgung PQ dan garis singgung PR.
Langkah-langkah menentukan persamaan garis singgung melalui titik $(x_1,y_1)$ di luar lingkaran sebagai berikut:
  1. Misalkan persamaan garis singgung yang melalui titik $P(x_1,y_1)$ bergradien $m$ adalah $y=mx-mx_1+y_1$.
  2. Substitusi $y=mx-mx_1+y_1$ ke persamaan lingkaran L sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam $x$.
  3. Karena garis menyinggung lingkaran L, maka haruslah diskriminan D = 0 sehingga diperoleh nilai-nilai $m$.
  4. Substitusi nilai $m$ ke persamaan garis singgung $y=mx-mx_1+y_1$ sehingga diperoleh persamaan garis singgung yang diminta.
Contoh 9.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2=8$ yang melalui titik $(-3,1)$.


Contoh 10.
Tentukan persaman garis singgung lingkaran $(x+4)^2+(y-5)^2=40$ yang melalui titik $(3,6)$.


Contoh 11.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6x-2y+8=0$ yang melalui titik $O(0,0)$.


D. Persamaan Garis Polar pada Lingkaran

Misalkan titik $P(x_1,y_1)$ terletak di luar lingkaran L.
Garis Polar pada Lingkaran
  1. Jika titik $(x_1,y_1)$ di luar lingkaran $x^2+y^2=r^2$ maka persamaan garis polarnya adalah $x_1x+y_1y=r^2$.
  2. Jika titik $(x_1,y_1)$ di luar lingkaran $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ maka persamaan garis polarnya adalah $(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$.
  3. Jika titik $(x_1,y_1)$ di luar lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ maka persamaan garis polarnya adalah $x_1x+y_1y+\frac{A}{2}(x+x_1)+\frac{B}{2}(y+y_1)+C=0$.
Contoh 12.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2=25$ yang ditarik dari titik $(-7,-1)$.


E. Panjang Potongan Garis Singgung Lingkaran

Misalkan titik $P(x_1,y_1)$ terletak di luar lingkaran L.
Panjang Potongan Garis Singgung Lingkaran
  1. Jika titik $P(x_1,y_1)$ di luar lingkaran $x^2+y^2=r^2$ maka panjang potongan garis singgung dari titik P ke titik singgung Q adalah $PQ=\sqrt{x_1^2+y_1^2-r^2}$.
  2. Jika titik $P(x_1,y_1)$ di luar lingkaran $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ maka panjang potongan garis singgung dari titik P ke titik singgung Q adalah $PQ=\sqrt{(x_1-a)^2+(y_1-b)^2-r^2}$.
  3. Jika titik $P(x_1,y_1)$ di luar lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ maka panjang potongan garis singgung dari titik P ke titik singgung Q adalah $PQ=\sqrt{x_1^2+y_1^2+Ax_1+By_1+C}$.
Contoh 13.
Diketahui lingkaran $x^2+y^2+4x-2y-13=0$ dan titik $Q(3,2)$. Dari titik Q dibuat garis singgung pada lingkaran. Jika titik S adalah titik singgungnya, berapakah panjang garis singgung QS?


F. Soal Latihan

  1. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $(x-2)^2+(y+3)^2=5$ di titik $(3,-1)$.
  2. Diberikan persamaan lingkaran $x^2+y^2+2x-6y+5=0$. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut di titik $(1,2)$.
  3. Tentukan gradien dari persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-4x+10y+24=0$ yang melalui titik $(1,-7)$.
  4. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $(x+3)^2+(y-1)^2=16$ yang ditarik dari titik $A(1,-1)$.
  5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-4x+8y-5=0$ yang tegak lurus garis $3x-4y+9=0$.
By: Catatan Matematika
Semoga postingan: Lingkaran 7. Persamaan Garis Singgung Lingkaran ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Dapatkan Update terbaru, subscribe channel kami:
Youtube Facebook Instagram Twitter Telegram Pinterest

Post a Comment for "Lingkaran 7. Persamaan Garis Singgung Lingkaran"

Pantun Matematika: