Lingkaran 5. Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

A. Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Kedudukan garis terhadap lingkaran secara geometri dapat digambarkan sebagai berikut.
Berdasarkan gambar kedudukan garis terhadap lingkaran terbagi menjadi tiga kondisi yaitu:

1. Garis $g$ memotong lingkaran di dua titik, yaitu di titik A dan B.
2. Garis $k$ menyinggung lingkaran atau memotong lingkaran tepat di satu titik, yaitu titik C.
3. Garis $h$ tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran.

Misalkan persamaan garis $y=mx+n$ dan persamaan lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$, maka langkah-langkah untuk menentukan kedudukan garis terhadap lingkaran adalah sebagai berikut:

1. Substitusi $y=mx+n$ ke persamaan lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$, kemudian sederhanakan sehingga diperoleh persamaan kuadrat berbentuk $ax^2+bx+c=0$.
2. Tuliskan nilai-nilai koefisien dan konstanta ($a$, $b$ dan $c$) dari persamaan kuadrat pada langkah pertama.
3. Hitunglah nilai diskriminan (D) dengan rumus $D=b^2-4ac.$
4. Berdasarkan nilai D maka ada 3 kemungkinan kedudukan garis terhadap lingkaran, yaitu:
1. Jika D > 0 maka garis memotong lingkaran di dua titik.
2. Jika D = 0 maka garis menyinggung lingkaran.
3. Jika D < 0 maka garis tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran.

---

Contoh 1.
Tentukan kedudukan garis $y=2x+8$ terhadap lingkaran $x^2+y^2=9$.
Penyelesaian:
$y=2x+8$ substitusi ke persamaan lingkaran:
$\begin{align}x^2+y^2 &= 9 \\ x^2+\left( 2x+8 \right)^2 &= 9 \\ x^2+4x^2+32x+64 &= 9 \\ 5x^2+32x+55 &= 0 \end{align}$
$a=5$, $b=32$, $c=55$
$\begin{align}D &= b^2-4ac \\ &= 32^2-4.5.55 \\ &= 1024-1100 \\ D &= -76 \\ D & < 0 \end{align}$
Karena D < 0 maka garis $y=2x+8$ tidak memotong dan tidak menyinggung $x^2+y^2=9$.

---

Contoh 2.
Tentukan kedudukan garis $3x+y-5=0$ terhadap lingkaran $x^2+y^2+4x-2y-5=0$.
Penyelesaian:
$3x+y-5=0\Leftrightarrow y=-3x+5$ substitusi ke persamaan lingkaran:
$x^2+y^2+4x-2y-5=0$
$x^2+\left( -3x+5 \right)^2+4x-2\left( -3x+5 \right)-5=0$
$x^2+9x^2-30x+25+4x+6x-10-5=0$
$10x^2-20x+10=0$
$x^2-2x+1=0$
$a=1$, $b=-2$, $c=1$
$\begin{align}D &= b^2-4ac \\ &= (-2)^2-4.1.1 \\ D &= 0 \end{align}$
Karena D = 0 maka garis $3x+y-5=0$ menyinggung lingkaran $x^2+y^2+4x-2y-5=0$.

---

Contoh 3.
Tentukan titik potong lingkaran $x^2+y^2+6x+2y-15=0$ dengan garis $3x+y=5$.
Penyelesaian:
$3x+y=5\Leftrightarrow y=-3x+5$ substitusi ke persamaan lingkaran:
$x^2+y^2+6x+2y-15=0$
$x^2+(-3x+5)^2+6x+2(-3x+5)-15=0$
$x^2+9x^2-30x+25+6x-6x+10-15=0$
$10x^2-30x+20=0$
$x^2-3x+2=0$
$(x-1)(x-2)=0$
$x=1$ atau $x=2$
Substitusi ke persamaan garis $y=-3x+5$ diperoleh:
$x=1\Rightarrow y=-3.1+5=2$ diperoleh titik $(1,2)$
$x=2\Rightarrow y=-3.2+5=-1$ diperoleh titik $(2,-1)$
Jadi, titik potong lingkaran $x^2+y^2+6x+2y-15=0$ dengan garis $3x+y=5$ adalah $(1,2)$ dan $(2,-1)$.

---

Contoh 4.
Tentukan nilai $m$ agar garis $3x-4y+m=0$ menyinggung lingkaran $x^2+y^2=16$.
Penyelesaian:
$\begin{align}3x-4y+m &= 0 \\ -4y &= -3x-m \\ y &= \frac{3}{4}x+\frac{m}{4} \end{align}$
Substitusi $y=\frac{3}{4}x+\frac{m}{4}$ ke persamaan lingkaran:
$\begin{align}x^2+y^2 &= 16 \\ x^2+\left( \frac{3}{4}x+\frac{m}{4} \right)^2 &= 16 \\ x^2+\frac{9}{16}x^2+\frac{6}{16}mx+\frac{m^2}{16} &= 16 \\ 16x^2+9x^2+6mx+m^2 &= 256 \\ 25x^2+6mx+m^2-256 &= 0 \end{align}$
$a=25$, $b=6m$, $c=m^2-256$
Garis menyinggung lingkaran maka:
$\begin{align}D &= 0 \\ b^2-4ac &= 0 \\ (6m)^2-4.25.(m^2-256) &= 0 \\ 36m^2-100m^2+25600 &= 0 \\ -64m^2+25600 &= 0 \\ m^2-400 &= 0 \\ (m+20)(m-20) &= 0 \end{align}$
$m+20=0\Rightarrow m=-20$
$m-20=0\Rightarrow m=20$
Jadi, nilai $m$ agar garis $3x-4y+m=0$ menyinggung lingkaran $x^2+y^2=16$ adalah $-20$ atau 20.

---

Contoh 5.
Diketahui lingkaran $x^2+y^2+10x-2y+6=0$ dan garis $y=-2x+a$. Tentukan nilai $a$ agar garis memotong lingkaran.
Penyelesaian:
$y=-2x+a$ substitusi ke persamaan lingkaran:
$x^2+y^2+10x-2y+6=0$
$x^2+\left( -2x+a \right)^2+10x-2\left( -2x+a \right)+6=0$
$x^2+4x^2-4ax+a^2+10x+4x-2a+6=0$
$5x^2+(14-4a)x+a^2-2a+6=0$
$A=5$, $B=14-4a$, $C=a^2-2a+6$
Garis memotong lingkaran, maka:
$D > 0$
$B^2-4AC > 0$
$(14-4a)^2-4.5.a^2-2a+6) > 0$
$196-112a+16a^2-20a^2+40a-120 > 0$
$-4a^2-72a+76 > 0$
$a^2+18a-19 < 0$
$(a+19)(a-1) < 0$
Pembuat nol: $a=-19$ atau $a=1$
Garis bilangan:

$-19 < a < 1$
Jadi, nilai $a$ agar garis $y=-2x+a$ memotong lingkaran $x^2+y^2+10x-2y+6=0$ adalah $-19 < a < 1$.

---

Contoh 6.
Tentukan nilai $p$ yang memenuhi agar lingkaran $x^2+y^2-2px+p^2-4=0$ tidak memotong dan tidak menyinggung garis $y=x$.
Penyelesaian:
Substitusi $y=x$ ke persamaan lingkaran:
$\begin{align}x^2+y^2-2px+p^2-4 &= 0 \\ x^2+x^2-2px+p^2-4 &= 0 \\ 2x^2-2px+p^2-4 &= 0 \end{align}$
$a=2$, $b=-2p$, $c=p^2-4$
Garis tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran maka:
$\begin{align}D & < 0 \\ b^2-4ac & < 0 \\ (-2p)^2-4.2.(p^2-4) & < 0 \\ 4p^2-8p^2+32 & < 0 \\ -4p^2+32 & < 0 \\ p^2-8 & > 0 \\ (p+\sqrt{8})(p-\sqrt{8}) & > 0 \\ (p+2\sqrt{2})(p-2\sqrt{2}) & > 0 \end{align}$
Pembuat nol: $p=-2\sqrt{2}$ dan $p=2\sqrt{2}$
Garis bilangan:

$p < -2\sqrt{2}$ atau $p > 2\sqrt{2}$
Jadi, agar lingkaran $x^2+y^2-2px+p^2-4=0$ tidak memotong dan tidak menyinggung garis $y=x$, nilai $p$ adalah $p < -2\sqrt{2}$ atau $p > 2\sqrt{2}$.

---

B. Soal Latihan

1. Tentukan nilai $c$ agar garis $y=x+c$ menyinggung lingkaran $x^2+y^2=25$.
2. Jika garis $y=mx+5$ tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran $x^2+y^2=9$, maka batas-batas nilai $m$ yang memenuhi adalah ...
3. Tentukan nilai $p$, agar lingkaran $x^2+y^2-6x+8y-p=0$ menyinggung garis $3x+4y=0$.
4. Tentukan nilai $q$ agar lingkaran $x^2+y^2-qx-10y+4=0$ menyinggung sumbu X.
5. Tentukan batas-batas nilai $k$ agar garis $y=kx-2$ memotong lingkaran $x^2+y^2-4x-4=0$.

Semoga postingan: Lingkaran 5. Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :