Skip to content Skip to sidebar Skip to footer

Soal Jarak Titik ke Garis pada Dimensi Tiga dan Pembahasan

Pembahasan Bank Soal Jarak Titik ke Garis pada Dimensi Tiga
Berikut ini adalah Kumpulan Soal Jarak Titik ke Garis pada Dimensi Tiga dan Pembahasannya. Bagi adik-adik silahkan dipelajari dan jangan lupa share/bagikan ke media sosial kalian, agar manfaat postingan ini dapat dirasakan oleh siswa/i yang lain. Terima kasih.
Tata Cara Belajar:
Cobalah mengerjakan soal-soal yang tersedia secara mandiri. Setelah itu cocokkanlah jawaban kamu dengan pembahasan yang telah disediakan, dengan cara:
klik "LIHAT PEMBAHASAN:".
SELAMAT BELAJAR

Soal No. 1
Diketahui kubus ABCD.EFGH, rusuk-rusuknya 10 cm. Jarak titik F ke garis AC adalah … cm.
(A) $3\sqrt{5}$
(B) $5\sqrt{2}$
(C) $5\sqrt{6}$
(D) $10\sqrt{2}$
(E) $10\sqrt{6}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Jarak Titik F ke Garis AC
Dari gambar, jarak titik F ke garis AC adalah jarak titik F ke titik Q yaitu panjang ruas garis FQ.
Perhatikan segitiga ACF,
AC = CF = AF = $10\sqrt{2}$ (diagonal sisi kubus).
Karena AF = CF maka garis tinggi FQ membagi dua sama panjang garis AC, sehingga diperoleh:
$\begin{align}AQ &= \frac{1}{2}AC \\ &= \frac{1}{2}.10\sqrt{2} \\ AQ &= 5\sqrt{2} \end{align}$
Pada segitiga AQF siku-siku di Q maka:
$\begin{align}FQ &= \sqrt{AF^2-AQ^2} \\ &= \sqrt{(10\sqrt{2})^2-(5\sqrt{2})^2} \\ &= \sqrt{200-50} \\ &= \sqrt{150} \\ FQ &= 5\sqrt{6} \end{align}$
Jadi, jarak titik F ke garis AC adalah $5\sqrt{6}$ cm.
Jawaban: C

Soal No. 2
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik H ke garis DF adalah … cm.
(A) $3\sqrt{5}$
(B) $2\sqrt{6}$
(C) $\sqrt{6}$
(D) $2\sqrt{3}$
(E) $\sqrt{3}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Jarak Titik H ke Garis DF
Jarak titik H ke garis DF adalah panjang ruas garis HP.
HF adalah diagonal sisi kubus, maka:
$HF=s\sqrt{2}=6\sqrt{2}$
DF adalah diagonal ruang kubus, maka:
$DF=s\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
Perhatikan segitiga DHF, dengan menggunakan rumus luas segitiga maka:
$\begin{align}\frac{1}{2}.DF.HP &= \frac{1}{2}.HD.HF \\ HP &= \frac{HD.HF}{DF} \\ &= \frac{6\times 6\sqrt{2}}{6\sqrt{3}} \\ &= \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ HP &= 2\sqrt{6} \end{align}$
Cara alternatif:
Jarak titik sudut kubus (titik H) ke diagonal ruang kubus (garis DF) adalah $\frac{s}{3}\sqrt{6} = \frac{6}{3}\sqrt{6} = 2\sqrt{6}$.
Jawaban: B

Soal No. 3
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Titik M adalah titik tengah rusuk BC. Jarak titik M ke garis EG adalah … cm.
(A) 6
(B) $6\sqrt{2}$
(C) $6\sqrt{3}$
(D) $6\sqrt{6}$
(E) 12
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Jarak Titik M ke Garis EG
Jarak titik M ke garis EG adalah panjang ruas garis MP.
Perhatikan segitiga EBM.
BE adalah diagonal sisi kubus, maka:
$BE=s\sqrt{2}=8\sqrt{2}$
$\begin{align}EM &= \sqrt{BE^2+BM^2} \\ &= \sqrt{(8\sqrt{2})^2+4^2} \\ &= \sqrt{128+16} \\ &= \sqrt{144} \\ EM &= 12 \end{align}$
Perhatikan segitiga MCG.
$\begin{align}GM &= \sqrt{CM^2+CG^2} \\ &= \sqrt{4^2+8^2} \\ &= \sqrt{16+64} \\ &= \sqrt{80} \\ GM &= 4\sqrt{5} \end{align}$
Perhatikan segitiga MEG, dengan menggunakan aturan cosinus maka:
$\begin{align}\cos \angle MEG &= \frac{EG^2+EM^2-GM^2}{2.EG.EM} \\ &= \frac{(8\sqrt{2}^2+12^2-(4\sqrt{5})^2}{2.8\sqrt{2}.12} \\ &= \frac{128+144-80}{192\sqrt{2}} \\ &= \frac{192}{192\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ \cos \angle MEG &= \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \angle MEG &= 45^\circ \end{align}$
Perhatikan segitiga MEG, dengan menggunakan rumus luas segitiga maka:
$\begin{align}\frac{1}{2}.EG.MP &= \frac{1}{2}.EG.EM.\sin \angle MEG \\ MP &= EM.\sin 45^\circ \\ MP &= 12.\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ MP &= 6\sqrt{2} \end{align}$
Jawaban: B

Soal No. 4
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $\sqrt{3}$ cm dan titik T pada garis AD dengan panjang AT = 1 cm. Jarak titik A ke garis BT adalah … cm.
(A) $\frac{1}{2}$
(B) $\frac{1}{3}\sqrt{3}$
(C) $\frac{1}{2}\sqrt{3}$
(D) 1
(E) $\frac{2}{3}\sqrt{3}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Jarak Titik A ke Garis BT
Perhatikan segitiga TAB, siku-siku di A maka:
$\begin{align}BT &= \sqrt{AB^2+AT^2} \\ &= \sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2} \\ BT &= 2 \end{align}$
Jarak titik A ke garis BT adalah panjang AP.
$\begin{align}AP &= \frac{AB\times AT}{BT} \\ &= \frac{\sqrt{3}\times 1}{2} \\ AP &= \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{align}$
Jawaban: C

Soal No. 5
Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm, titik P terletak di tengah-tengah EH. Jarak titik P ke garis BG adalah ... cm.
(A) $2\sqrt{2}$
(B) $2\sqrt{3}$
(C) $3\sqrt{2}$
(D) $3\sqrt{3}$
(E) $2\sqrt{5}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Jarak Titik P ke Garis BG
Jarak titik P ke garis BG adalah panjang ruas garis PQ.
Perhatikan segitiga BEP, siku-siku di titik E.
BE adalah diagonal sisi kubus, maka:
$BE=s\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
$\begin{align}BP &= \sqrt{BE^2+EP^2} \\ &= \sqrt{(4\sqrt{2})^2+2^2} \\ &= \sqrt{32+4} \\ &= \sqrt{36} \\ BP &= 6 \end{align}$
Perhatikan segitiga PHG, siku-siku di titik H.
$\begin{align}PG &= \sqrt{HP^2+HG^2} \\ &= \sqrt{2^2+4^2} \\ &= \sqrt{20} \\ PG &= 2\sqrt{5} \end{align}$
BG adalah diagonal sisi kubus, maka:
$BG=s\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
Perhatikan segitiga BGP:
Arutan cosinus:
$\begin{align}\cos \angle BGP &= \frac{BG^2+GP^2-BP^2}{2.BG.GP} \\ &= \frac{(4\sqrt{2})^2+(2\sqrt{5})^2-6^2}{2.4\sqrt{2}.2\sqrt{5}} \\ &= \frac{32+20-36}{16\sqrt{10}} \\ &= \frac{16}{16\sqrt{10}} \\ \cos \angle BGP &= \frac{1}{\sqrt{10}} \end{align}$
$\sin \angle BGP = \frac{\sqrt{(\sqrt{10})^2-1^2}}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$
Dengan menggunakan luas segitiga BPG maka:
$\begin{align}\frac{1}{2}.BG.PQ &= \frac{1}{2}.GB.GP.\sin \angle BGP \\ PQ &= GP.\sin \angle BGP \\ &= 2\sqrt{5}.\frac{3}{\sqrt{10}} \\ &= \frac{6}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ PQ &= 3\sqrt{2} \end{align}$
Jawaban: C

Soal No. 6
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya 6 cm. Jika titik P berada pada perpanjangan garis HG sehingga HG = GP, maka jarak titik G ke garis AP adalah ... cm.
(A) $\sqrt{6}$
(B) $2\sqrt{3}$
(C) $2\sqrt{6}$
(D) $4\sqrt{3}$
(E) $4\sqrt{6}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Jarak Titik G ke Garis AP
Jarak titik G ke garis AP adalah panjang ruas garis GQ.
AH adalah diagonal sisi kubus, maka:
$AH=s\sqrt{2}=6\sqrt{2}$
$\begin{align}AP &= \sqrt{AH^2+HP^2} \\ &= \sqrt{\left( 6\sqrt{2} \right)^2+12^2} \\ &= \sqrt{72+144} \\ &= \sqrt{216} \\ AP &= 6\sqrt{6} \end{align}$
Segitiga AHP sebangun dengan segitiga GQP, maka perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah:
$\begin{align}\frac{GQ}{AH} &= \frac{GP}{AP} \\ \frac{GQ}{6\sqrt{2}} &= \frac{6}{6\sqrt{3}} \\ GQ &= \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ GQ &= 2\sqrt{6} \end{align}$
Jawaban: C

Soal No. 7
Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 5 cm. Jarak titik G ke diagonal HB adalah ... cm.
(A) $\frac{5}{3}\sqrt{6}$
(B) $\frac{4}{3}\sqrt{6}$
(C) $\sqrt{6}$
(D) $\frac{2}{3}\sqrt{6}$
(E) $\frac{1}{3}\sqrt{6}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Jarak Titik G ke diagonal HB
Jarak titik G ke garis HB adalah panjang ruas garis GP.
Perhatikan segitiga BCG siku-siku di titik C, maka:
$\begin{align}BG &= \sqrt{BC^2+CG^2} \\ &= \sqrt{5^2+5^2} \\ &= \sqrt{50} \\ BG &= 5\sqrt{2} \end{align}$
Perhatikan segitiga BGH siku-siku di titik G, maka:
$\begin{align}HB &= \sqrt{BG^2+GH^2} \\ &= \sqrt{\left( 5\sqrt{2} \right)^2+5^2} \\ &= \sqrt{50+25} \\ &= \sqrt{75} \\ HB &= 5\sqrt{3} \end{align}$
Luas segitiga BGH:
$\begin{align}\frac{1}{2}.HB.GP &= \frac{1}{2}.HG.BG \\ HB.GP &= HG.BG \\ 5\sqrt{3}.GP &= 5.5\sqrt{2} \\ GP &= \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ GP &= \frac{5}{3}\sqrt{6} \end{align}$
Jadi, jarak titik G ke garis HB adalah $\frac{5}{3}\sqrt{6}$ cm.
Jawaban: A

Soal No. 8
Kubus ABCD.EFGH dengan AB = 6, jarak titik B ke diagonal AG adalah ...
(A) $5\sqrt{6}$
(B) $4\sqrt{6}$
(C) $3\sqrt{6}$
(D) $2\sqrt{6}$
(E) $\sqrt{2}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Jarak titik B ke diagonal AG
Jarak titik B ke garis AG adalah panjang ruas garis BP.
Perhatikan segitiga BCG siku-siku di titik C, maka:
$\begin{align}BG^2 &= BC^2+CG^2 \\ &= 6^2+6^2 \\ BG^2=72 \end{align}$
Perhatikan segitiga ABG siku-siku di titik B, maka:
$\begin{align}AG &= \sqrt{AB^2+BG^2} \\ &= \sqrt{6^2+\left( 6\sqrt{2} \right)^2} \\ &= \sqrt{36+72} \\ &= \sqrt{108} \\ AG &= 6\sqrt{3} \end{align}$
Luas segitiga ABG:
$\begin{align}\frac{1}{2}.AG.BP &= \frac{1}{2}.AB.BG \\ AG.BP &= AB.BG \\ 6\sqrt{3}.BP &= 6.6\sqrt{2} \\ BP &= \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ BP &= 2\sqrt{6} \end{align}$
Jawaban: D

Soal No. 9
Limas beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk alas 12 cm dan panjang rusuk tegak $12\sqrt{2}$ cm. Jarak titik A ke garis TC adalah ... cm
(A) $6\sqrt{6}$
(B) $2\sqrt{10}$
(C) $2\sqrt{11}$
(D) $4\sqrt{3}$
(E) $2\sqrt{13}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Jarak Titik A ke Garis TC
Jarak titik A ke garis TC adalah panjang ruas garis AK.
perhatikan segitiga ABC siku-siku di titik C maka:
$\begin{align}AC &= \sqrt{AB^2+BC^2} \\ &= \sqrt{12^2+12^2} \\ &= \sqrt{{{2.12}^{2}}} \\ AC &= 12\sqrt{2} \end{align}$
Perhatikan segitiga TAC:
AT = $12\sqrt{2}$, $AC=12\sqrt{3}$
Karena AT = AC dan AK adalah garis tinggi terhadap TC, maka AK membagi dua sama panjang garis TC sehingga kita peroleh:
$\begin{align}CK &= \frac{1}{2}TC \\ &= \frac{1}{2}.12\sqrt{2} \\ CK &= 6\sqrt{2} \end{align}$
Perhatikan segitiga AKC siku-siku di titik K maka berlaku pythagoras:
$\begin{align}AK &= \sqrt{AC^2-CK^2} \\ &= \sqrt{\left( 12\sqrt{2} \right)^2-\left( 6\sqrt{2} \right)^2} \\ &= \sqrt{288-72} \\ &= \sqrt{216} \\ AK &= 6\sqrt{6} \end{align}$
Jadi, jarak titik A ke garis TC adalah $6\sqrt{6}$ cm.
Jawaban: A

Soal No. 10
Kubus ABCD.EFGH dengan AB = 6 cm, titik P berada di tengah-tengah FG, maka jarak titik A ke garis DP adalah ... cm.
(A) 6
(B) $6\sqrt{2}$
(C) $6\sqrt{3}$
(D) $6\sqrt{6}$
(E) $4\sqrt{2}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Jarak Titik A ke Garis DP
Jarak titik A ke garis DP adalah panjang ruas garis AQ.
AF adalah diagonal sisi kubus maka:
$AF=s\sqrt{2}=6\sqrt{2}$
Perhatikan segitiga PRD siku-siku di titik R maka:
$PR=AF=6\sqrt{2}$
$\begin{align}PD &= \sqrt{PR^2+RD^2} \\ &= \sqrt{\left( 6\sqrt{2} \right)^2+3^2} \\ &= \sqrt{72+9} \\ &= \sqrt{81} \\ PD &= 9 \end{align}$
Perhatikan segitiga APD, maka luas segitiga APD:
$\begin{align}\frac{1}{2}.PD.AQ &= \frac{1}{2}.AD.PR \\ PD.AQ &= AD.PR \\ 9.AD &= 6.9 \\ AD &= 6 \end{align}$
Jawaban: A

Soal No. 11
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jika T titik tengah HG, R titik tengah CG, maka jarak R ke BT adalah ... cm
(A) $\sqrt{10}$
(B) $3\sqrt{5}$
(C) $\frac{9}{5}$
(D) $3\sqrt{2}$
(E) 3
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Jarak Titik R ke BT
Jarak titik R ke garis BT adalah panjang ruas garis PR.
Segitiga BCR siku-siku di titik C, maka:
$\begin{align}BR &= \sqrt{BC^2+CR^2} \\ &= \sqrt{6^2+3^2} \\ &= \sqrt{36+9} \\ &= \sqrt{45} \\ BR &= 3\sqrt{5} \end{align}$
Segitiga RGT siku-siku di titik G, maka:
$\begin{align}RT &= \sqrt{RG^2+GT^2} \\ &= \sqrt{3^2+3^2} \\ &= \sqrt{18} \\ RT &= 3\sqrt{2} \end{align}$
BG diagonal sisi kubus, maka $BG=6\sqrt{2}$.
Segitiga BGT siku-siku di titik G, maka:
$\begin{align}BT &= \sqrt{BG^2+GT^2} \\ &= \sqrt{\left( 6\sqrt{2} \right)^2+3^2} \\ &= \sqrt{72+9} \\ &= \sqrt{81} \\ BT &= 9 \end{align}$
Pada segitiga BRT, berlaku aturan cosinus sebagai berikut:
$\begin{align}\cos \angle RBT &= \frac{BR^2+BT^2-RT^2}{2.BR.BT} \\ &= \frac{\left( 3\sqrt{5} \right)^2+9^2-\left( 3\sqrt{2} \right)^2}{2.3\sqrt{5}.9} \\ &= \frac{45+81-18}{54\sqrt{5}} \\ &= \frac{108}{54\sqrt{5}} \\ \cos \angle RBT &= \frac{2}{\sqrt{5}} \end{align}$
Dengan perbandingan trigonometri diperoleh:
$\sin \angle RBT = \frac{\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$
Luas segitiga RBT:
$\begin{align}\frac{1}{2}.BT.PR &= \frac{1}{2}.BT.BR.\sin \angle RBT \\ PR &= BR.\sin \angle RBT \\ PR &= 3\sqrt{5}.\frac{1}{\sqrt{5}} \\ PR &= 3 \end{align}$
Jadi, jarak titik R ke BT adalah 3 cm.
Jawaban: E

Soal No. 12
SIMAK UI 2009 Kode 934. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang sisi 5 cm. Jarak titik B ke diagonal EG adalah ... cm.
(A) $\frac{5}{2}\sqrt{3}$
(B) $\frac{5}{2}\sqrt{6}$
(C) $5\sqrt{3}$
(D) $128\sqrt{3}$
(E) $3\sqrt{2}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Jarak Titik B ke Diagonal EG
Jarak titik B ke diagonal EG adalah panjang ruas garis BP.
BE, BG, dan EG adalah diagonal sisi kubus maka:
BE = BG = EG = $s\sqrt{2}=5\sqrt{2}$
Karena BE = BG dan BP adalah garis tinggi terhadap sisi EG maka BP membagi dua sama panjang garis EG sehingga diperoleh:
$\begin{align}EP &= \frac{1}{2}EG \\ &= \frac{1}{2}.5\sqrt{2} \\ EP &= \frac{5\sqrt{2}}{2} \end{align}$
Perhatikan segitiga BPE siku-siku di titik P maka:
$\begin{align}BP &= \sqrt{BE^2-EP^2} \\ &= \sqrt{\left( 5\sqrt{2} \right)^2-\left( \frac{5\sqrt{2}}{2} \right)^2} \\ &= \sqrt{50-\frac{50}{4}} \\ &= \sqrt{\frac{150}{4}} \\ &= \sqrt{\frac{25\times 6}{4}} \\ BP &= \frac{5}{2}\sqrt{6} \end{align}$
Jadi, jarak titik B ke diagonal EG adalah $\frac{5}{2}\sqrt{6}$ cm.
Jawaban: B

Soal No. 13
SIMAK UI 2010 Kode 508. Diberikan prisma tegak segitiga siku-siku ABC.DEF dengan alas $\Delta ABC$ siku-siku di B. Panjang rusuk tegak prisma $2\sqrt{2}$ satuan, panjang AB = panjang BC = 4 satuan, maka jarak A ke EF adalah ... satuan.
(A) 4
(B) $4\sqrt{2}$
(C) $4\sqrt{3}$
(D) $2\sqrt{6}$
(E) $4\sqrt{6}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Jarak Titik A ke EF pada Prisma
Bidang ABED tegak lurus dengan bidang BCFE.
AE terletak pada bidang ABED dan EF terletak pada bidang BCFE maka $AE\bot EF$.
Perhatikan segitiga AEF siku-siku di titik E, maka jarak titik A ke garis EF adalah panjang ruas garis AE.
Untuk menghitung panjang AE perhatikan segitiga ABD siku-siku di titik B, maka:
$\begin{align}AE &= \sqrt{AB^2+BE^2} \\ &= \sqrt{4^2+\left( 2\sqrt{2} \right)^2} \\ &= \sqrt{16+8} \\ &= \sqrt{24} \\ AE &= 2\sqrt{6} \end{align}$
Jadi, jarak titik A ke EF adalah $2\sqrt{6}$ cm.
Jawaban: D

Soal No. 14
Diberikan bidang empat beraturan T.ABC dengan panjang rusuk 12 cm. Jika titik P adalah titik tengah rusuk BC, maka jarak titik P ke garis AT adalah ... cm.
(A) $3\sqrt{2}$
(B) $4\sqrt{2}$
(C) $6\sqrt{2}$
(D) $6\sqrt{3}$
(E) $4\sqrt{3}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Jarak Titik P ke Garis AT
Jarak titik P ke garis AT adalah panjang ruas garis PQ.
Perhatikan segitiga TBC, karena TA = TB dan titik P membagi dua sama panjang sisi BC, maka $TP\bot BC$.
Perhatikan segitiga TPC siku-siku di titik P maka:
$\begin{align}TP &= \sqrt{TC^2-PC^2} \\ &= \sqrt{12^2-6^2} \\ &= \sqrt{144-36} \\ &= \sqrt{108} \\ TP &= 6\sqrt{3} \end{align}$
Perhatikan segitiga ABC, karena AB = AC dan titik P membagi dua sama panjang sisi BC, maka $AP\bot BC$
Perhatikan segitiga BPA siku-siku di titik P maka:
$\begin{align}AP &= \sqrt{AB^2-BP^2} \\ &= \sqrt{12^2-6^2} \\ &= \sqrt{144-36} \\ &= \sqrt{108} \\ AP &= 6\sqrt{3} \end{align}$
Perhatikan segitiga TPA, karena AP = TP dan $PQ\bot AT$ maka TQ membagi dua sama panjang garis AT sehingga kita peroleh:
$AQ=\frac{1}{2}AT=\frac{1}{2}\times 12=6$
Segitiga AQP siku-siku di titik Q maka:
$\begin{align}PQ &= \sqrt{AP^2-AQ^2} \\ &= \sqrt{\left( 6\sqrt{3} \right)^2-6^2} \\ &= \sqrt{108-36} \\ &= \sqrt{72} \\ PQ &= 6\sqrt{2} \end{align}$
Jadi, jarak titik P ke garis AT adalah $6\sqrt{2}$ cm.
Jawaban: C

Soal No. 15
Diketahui balok ABCD.EFGH dengan AB = AD = 6 cm dan AE = $6\sqrt{2}$ cm. Jika K titik tengah EG maka jarak titik H ke garis DK adalah ... cm.
(A) $\sqrt{5}$
(B) $\frac{3}{5}\sqrt{5}$
(C) $\frac{6}{5}\sqrt{5}$
(D) $\frac{3}{5}\sqrt{10}$
(E) $\frac{6}{5}\sqrt{10}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Jarak Titik H ke Garis DK
Jarak titik H ke garis DK adalah panjang ruas garis HL.
Pada segitiga HEF siku-siku di titik E maka:
$\begin{align}HF &= \sqrt{HE^2+EF^2} \\ &= \sqrt{6^2+6^2} \\ &= \sqrt{72} \\ HF &= 6\sqrt{2} \end{align}$
Titik K di tengah EG maka K juga ditengah HF.
$HK=\frac{1}{2}HF=\frac{1}{2}.6\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
Segitiga DHK siku-siku di titik H, maka:
$\begin{align}DK &= \sqrt{HK^2+DH^2} \\ &= \sqrt{\left( 3\sqrt{2} \right)^2+\left( 6\sqrt{2} \right)^2} \\ &= \sqrt{18+72} \\ &= \sqrt{90} \\ DK &= 3\sqrt{10} \end{align}$
Luas segitiga DHK:
$\begin{align}\frac{1}{2}.DK.HL &= \frac{1}{2}.DH.HK \\ DK.HL &= DH.HK \\ 3\sqrt{10}.HL &= 6\sqrt{2}.3\sqrt{2} \\ HL &= \frac{12}{\sqrt{10}}\times \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} \\ HL &= \frac{12}{10}\sqrt{10} \\ HL &= \frac{6}{5}\sqrt{10} \end{align}$
Jadi, jarak titik H ke garis DK adalah $\frac{6}{5}\sqrt{10}$ cm.
Jawaban: E

Soal No. 16
Diketahui kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya 6 cm. Titik P, Q, dan R berturut-turut merupakan titik tengah rusuk EH, BF, dan CG. Jarak titik P ke garis QR adalah ... cm.
(A) $3\sqrt{7}$
(B) $3\sqrt{6}$
(C) $3\sqrt{5}$
(D) $3\sqrt{3}$
(E) $2\sqrt{3}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Jarak Titik P ke Garis QR
Jarak titik P ke garis QR adalah panjang ruas garis PS.
Karena PQ = PR dan $PS\bot QR$ maka PS membagi dua sama panjang garis QR.
Perhatikan, PS dan EQ terletak pada satu bidang.
EQ sejajar dengan PS, dan PS = EQ.
Perhatikan segitiga EFQ siku-siku di titik F maka:
$\begin{align}EQ &= \sqrt{EF^2+FQ^2} \\ &= \sqrt{6^2+3^2} \\ &= \sqrt{36+9} \\ &= \sqrt{45} \\ EQ &= 3\sqrt{5} \end{align}$
PS = EQ = $3\sqrt{5}$
Jadi, jarak titik P ke garis QR adalah $3\sqrt{5}$ cm.
Jawaban: C

Soal No. 17
Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan rusuk alas $a\sqrt{2}$ cm dan rusuk tegaknya $2a$ cm. Jika O adalah perpotongan diagonal AC dan BD, maka jarak O ke garis TC adalah ... cm.
(A) $\frac{1}{2}a\sqrt{3}$
(B) $\frac{1}{2}a\sqrt{2}$
(C) $\frac{1}{3}a\sqrt{3}$
(D) $\frac{1}{3}a\sqrt{2}$
(E) $\frac{1}{2}a\sqrt{6}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Jarak Titik O ke Garis TC
$\begin{align}AC &= \sqrt{AB^2+BC^2} \\ &= \sqrt{\left( a\sqrt{2} \right)^2+\left( a\sqrt{2} \right)^2} \\ &= \sqrt{4a^2} \\ AC &= 2a \end{align}$
$OC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.2a=a$
Perhatikan segitiga TOC siku-siku di titik O maka:
$\begin{align}OT &= \sqrt{TC^2-OC^2} \\ &= \sqrt{(2a)^2-a^2} \\ &= \sqrt{3a^2} \\ OT &= a\sqrt{3} \end{align}$
Luas segitiga TOC:
$\begin{align}\frac{1}{2}\times TC\times OP &= \frac{1}{2}\times OT\times OC \\ TC\times OP &= OT\times OC \\ 2a\times OP &= a\sqrt{3}\times a \\ OP &= \frac{1}{2}a\sqrt{3} \end{align}$
Jadi, jarak titik O ke garis TC adalah $\frac{1}{2}a\sqrt{3}$ cm.
Jawaban: A

Soal No. 18
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. M adalah titik tengah EH. Jarak titik M ke AG adalah ... cm.
(A) $4\sqrt{6}$
(B) $4\sqrt{5}$
(C) $4\sqrt{3}$
(D) $4\sqrt{2}$
(E) 4
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Jarak Titik M ke AG
Jarak titik M ke AG adalah panjang ruas garis MN.
Perhatikan segitiga AEM siku-siku di titik E maka:
$\begin{align}AM &= \sqrt{AE^2+EM^2} \\ &= \sqrt{8^2+4^2} \\ &= \sqrt{64+16} \\ &= \sqrt{80} \\ AM &= 4\sqrt{5} \end{align}$
MG = $AM=4\sqrt{5}$
AG adalah diagonal ruang kubus, maka $AG=s\sqrt{3}=8\sqrt{3}$.
Segitiga AMG segitiga sama kaki (AM=MG), maka MN adalah garis tinggi yang membagi dua AG di titik N, maka:
$\begin{align}AN &= \frac{1}{2}.AG \\ &= \frac{1}{2}.8\sqrt{3} \\ AN &= 4\sqrt{3} \end{align}$
Segitiga ANM siku-siku di titik N maka:
$\begin{align}MN &= \sqrt{AM^2-AN^2} \\ &= \sqrt{\left( 4\sqrt{5} \right)^2-\left( 4\sqrt{3} \right)^2} \\ &= \sqrt{80-48} \\ &= \sqrt{32} \\ MN &= 4\sqrt{2} \end{align}$
Jadi, jarak titik M ke AG adalah $4\sqrt{2}$ cm.
Jawaban: D

Soal No. 19
Limas T.ABC pada gambar di bawah.
Jarak Titik T ke AD
Merupakan limas segitiga beraturan, jarak titik T ke AD adalah ...
(A) $4\sqrt{3}$
(B) $6\sqrt{3}$
(C) 11
(D) $\sqrt{133}$
(E) 12
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Jarak Titik T ke AD pada Limas
Jarak titik T ke AD adalah panjang ruas garis TO.
Segitiga BDA siku-siku di titik D maka:
$\begin{align}AD &= \sqrt{AB^2-BD^2} \\ &= \sqrt{12^2-6^2} \\ &= \sqrt{144-36} \\ &= \sqrt{108} \\ AD &= 6\sqrt{3} \end{align}$
Segitiga TDC siku-siku di titik D maka:
$\begin{align}TD &= \sqrt{TC^2-DC^2} \\ &= \sqrt{13^2-6^2} \\ &= \sqrt{169-36} \\ TD &= \sqrt{133} \end{align}$
Dengan aturan cosinus pada segitiga TAD maka:
$\begin{align}\cos \angle TAD &= \frac{TA^2+AD^2-TD^2}{2.TA.AD} \\ &= \frac{13^2+\left( 6\sqrt{3} \right)^2-\left( \sqrt{133} \right)^2}{2.13.6\sqrt{3}} \\ &= \frac{169+108-133}{156\sqrt{3}} \\ &= \frac{144}{156\sqrt{3}} \\ \cos \angle TAD &= \frac{12}{13\sqrt{3}} \end{align}$
Dengan perbandingan trigonometri:
$\begin{align}\sin \angle TAD &= \frac{\sqrt{\left( 13\sqrt{3} \right)^2-12^2}}{13\sqrt{3}} \\ &= \frac{\sqrt{507-144}}{13\sqrt{3}} \\ &= \frac{\sqrt{363}}{13\sqrt{3}} \\ &= \frac{11\sqrt{3}}{13\sqrt{3}} \\ \sin \angle TAD &= \frac{11}{13} \end{align}$
Luas segitiga TAD:
$\begin{align}\frac{1}{2}.AD.TO &= \frac{1}{2}.AD.AT.\sin \angle TAD \\ TO &= AT.\sin \angle TAD \\ TO &= 13.\frac{11}{13} \\ TO &= 11 \end{align}$
Jadi, jarak titik T ke AD adalah 11 cm.
Jawaban: C

Soal No. 20
Prisma segi-4 beraturan ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm dan tinggi prisma 8 cm. Titik potong diagonal AC dan BD adalah T. Jarak titik D dan TH = ... cm.
(A) $\frac{12}{41}\sqrt{41}$
(B) $\frac{24}{41}\sqrt{41}$
(C) $\frac{30}{41}\sqrt{41}$
(D) $\frac{36}{41}\sqrt{41}$
(E) $2\sqrt{41}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Jarak Titik D dan TH
Jarak titik D dan TH adalah panjang ruas garis PD.
Segitiga BAD siku-siku di titik A maka:
$\begin{align}BD &= \sqrt{BA^2+AD^2} \\ &= \sqrt{6^2+6^2} \\ &= \sqrt{72} \\ BD &= 6\sqrt{2} \end{align}$
$\begin{align}TD &= \frac{1}{2}BD \\ &= \frac{1}{2}.6\sqrt{2} \\ TD &= 3\sqrt{2} \end{align}$
Segitiga TDH siku-siku di titik D maka:
$\begin{align}TH &= \sqrt{TD^2+DH^2} \\ &= \sqrt{\left( 3\sqrt{2} \right)^2+8^2} \\ &= \sqrt{18+64} \\ TH &= \sqrt{82} \end{align}$
Luas segitiga TDH:
$\begin{align}\frac{1}{2}\times TH\times PD &= \frac{1}{2}\times TD\times DH \\ TH\times PD &= TD\times DH \\ \sqrt{82}\times PD &= 3\sqrt{2}\times 8 \\ PD &= \frac{24}{\sqrt{41}}\times \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}} \\ PD &= \frac{24}{41}\sqrt{41} \end{align}$
Jadi, jarak titik D dan TH adalah $\frac{24}{41}\sqrt{41}$.
Jawaban: B
Semoga postingan: Soal Jarak Titik ke Garis pada Dimensi Tiga dan Pembahasan ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Dapatkan Update terbaru, subscribe channel kami:
Youtube Facebook Instagram Twitter Telegram Pinterest

Post a Comment for "Soal Jarak Titik ke Garis pada Dimensi Tiga dan Pembahasan"

Pantun Matematika: