Skip to content Skip to sidebar Skip to footer

Materi: Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Istimewa

Materi Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Istimewa

A. Definisi Sudut Istimewa

Sudut istimewa adalah suatu sudut yang nilai perbandingan trigonometrinya dapat ditentukan secara langsung tanpa menggunakan kalkulator atau daftar trigonometri.

Sudut-sudut istimewa yang akan kita bahas adalah $0^\circ $, $30^\circ $, $45^\circ $, $60^\circ $ dan $90^\circ $.
Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:
  1. Lukislah lingkaran dengan pusat O(0,0) dan panjang jari-jari r satuan pada bidang kartesius.
  2. Lukis titik P(x,y) pada lingkaran, proyeksikan titik P(x,y) pada sumbu X diperoleh P’(x,0).
  3. Lukislah segitiga OP’P siku-siku di titik P’.
  4. $ \alpha $ = sudut yaang dibentuk oleh garis OP dan OP’.
Perhatikan gambar berikut!
Konsep-Dasar-Sudut-sudut-istimewa
Pada segitiga OP’P maka:
$\sin \alpha =\frac{PP'}{OP}\Leftrightarrow \sin \alpha =\frac{y}{r}$
$\cos \alpha =\frac{OP'}{OP}\Leftrightarrow \cos \alpha =\frac{x}{r}$
$\tan \alpha =\frac{PP'}{OP}\Leftrightarrow \tan \alpha =\frac{y}{x}$
Kesimpulan:
Jika titik $P(x,y)$ terletak pada lingkaran berjari-jari $r$ dan $\alpha $ adalah sudut yang dibentuk oleh garis OP dan sumbu X positif maka:
  • $\sin \alpha =\frac{y}{r}$
  • $\cos \alpha =\frac{x}{r}$
  • $\tan \alpha =\frac{y}{x}$
  • $\csc \alpha =\frac{r}{y}$
  • $\sec \alpha =\frac{r}{x}$
  • $\cot \alpha =\frac{x}{y}$
Konsep inilah yang akan kita gunakan untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa yaitu $0^\circ $, $30^\circ $, $45^\circ $, $60^\circ $ dan $90^\circ $.

B. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut $0^\circ $

Perhatikan gambar berikut!
Nilai-Perbandingan-Trigonometri-Sudut-0-Derajat
Untuk $\alpha =0{}^\circ $ diperoleh koordinat titik P(1,0) maka maka:
$x=1$, $y=0$ dan r = 1
$\sin \alpha =\sin 0^\circ =\frac{y}{r}=\frac{0}{1}=0$
$\cos \alpha =\cos 0^\circ =\frac{x}{r}=\frac{1}{1}=1$
$\tan \alpha =\tan 0^\circ =\frac{y}{x}=\frac{0}{1}=0$
$\csc \alpha =\csc 0^\circ =\frac{r}{y}=\frac{1}{0}=\sim $
$\sec \alpha =\sec 0^\circ =\frac{r}{x}=\frac{1}{1}=1$
$\cot \alpha =\cot 0^\circ =\frac{x}{y}=\frac{1}{0}=\sim $

C. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut $30^\circ $

Perhatikan gambar berikut!
Nilai-Perbandingan-Trigonometri-Sudut-30-Derajat
Segitiga POQ adalah segitiga sama sisi dengan OP = OQ = PQ = 1.
$\angle POQ=\angle OQP=\angle OPQ=60^\circ $.
$\begin{align} \angle POQ &= 60^\circ \\ 2\alpha &= 60^\circ \\ \alpha &= 30^\circ \end{align}$
Titik P’ adalah titik tengah PQ maka $PP'=\frac{1}{2}$ , diperoleh ordinat titik P adalah $\frac{1}{2}$.
Perhatikan segitiga OP’P siku-siku di P’:
$\begin{align} OP' &= \sqrt{OP^2-(PP')^2} \\ &= \sqrt{1^2-{\left( \frac{1}{2} \right)}^2} \\ &= \sqrt{1-\frac{1}{4}} \\ &= \sqrt{\frac{3}{4}} \\ OP' &=\frac{1}{2}\sqrt{3} \end{align}$
Jadi, untuk $\alpha =30^\circ $ diperoleh koordinat titik $P\left( \frac{1}{2}\sqrt{3},\frac{1}{2} \right)$.
$x=\frac{1}{2}\sqrt{3}$; $y=\frac{1}{2}$; dan r = 1
$\sin \alpha =\sin 30^\circ =\frac{y}{r}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}$
$\cos \alpha =\cos 30^\circ =\frac{x}{r}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{3}}{1}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$
$\tan \alpha =\tan 30^\circ =\frac{y}{x}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}$
$\csc \alpha =\csc 30^\circ =\frac{r}{y}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$
$\sec \alpha =\sec 30^\circ =\frac{r}{x}=\frac{1}{\frac{1}{2}\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{3}$
$\cot \alpha =\cot 30^\circ =\frac{x}{y}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$

D. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut $45^\circ $

Perhatikan gambar berikut!
Nilai-Perbandingan-Trigonometri-Sudut-45-Derajat
Segitiga POP’ adalah segitiga sama kaki dengan OP = PP’.
$\angle POP'=\angle OPP'=\alpha $
$\begin{align} \angle POP'+\angle POP'+\angle OP'P &= 180^\circ \\ \alpha + \alpha +90^\circ &= 180^\circ \\ 2\alpha &= 90^\circ \\ \alpha &= 45^\circ \end{align}$
Perhatikan segitiga OP’P siku-siku di P’:
$\begin{align}(OP')^2+(PP')^2 &= (OP)^2 \\ (OP')^2+(OP')^2 &= 1^2 \\ 2(OP')^2 &= 1 \\ (OP')^2 &= \frac{1}{2} \\ OP' &= \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ PP' &= \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{align}$
Jadi, untuk $\alpha =45^\circ $ diperoleh koordinat titik $P\left( \frac{1}{2}\sqrt{2},\frac{1}{2}\sqrt{2} \right)$.
$x=\frac{1}{2}\sqrt{2}$; $y=\frac{1}{2}\sqrt{2}$; dan r = 1
$\sin \alpha =\sin 45^\circ =\frac{y}{r}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}}{1}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$
$\cos \alpha =\cos 45^\circ =\frac{x}{r}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}}{1}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$
$\tan \alpha =\tan 45^\circ =\frac{y}{x}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}=1$
$\csc \alpha =\csc 45^\circ =\frac{r}{y}=\frac{1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
$\sec \alpha =\sec 45^\circ =\frac{r}{x}=\frac{1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
$\cot \alpha =\cot 45^\circ =\frac{x}{y}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}=1$

E. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut $60^\circ $

Perhatikan gambar berikut!
Nilai-Perbandingan-Trigonometri-Sudut-60-Derajat
Segitiga POQ adalah segitiga sama sisi dengan OP = PQ = OQ = 1 maka $\alpha =60^\circ $.
Garis PP’ adalah garis tinggi pada segitiga sama sisi POQ maka titik P’ membagi dua OQ, diperoleh $OP'=\frac{1}{2}$
Perhatikan segitiga OP’P siku-siku di P’:
$\begin{align}PP' &= \sqrt{(OP)^2-(OP')^2} \\ &= \sqrt{1^2-{\left( \frac{1}{2} \right)}^2} \\ &= \sqrt{1-\frac{1}{4}} \\ &= \sqrt{\frac{3}{4}} \\ PP' &=\frac{1}{2}\sqrt{3} \end{align}$
Jadi, untuk $\alpha =60^\circ $ diperoleh koordinat titik $P\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\sqrt{3} \right)$.
$x=\frac{1}{2}$; $y=\frac{1}{2}\sqrt{3}$; dan r = 1
$\sin \alpha =\sin 60^\circ =\frac{y}{r}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{3}}{1}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$
$\cos \alpha =\cos 60^\circ =\frac{x}{r}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}$
$\tan \alpha =\tan 60^\circ =\frac{y}{x}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$
$\csc \alpha =\csc 60^\circ =\frac{r}{y}=\frac{1}{\frac{1}{2}\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{3}$
$\sec \alpha =\sec 60^\circ =\frac{r}{x}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$
$\cot \alpha =\cot 60^\circ =\frac{x}{y}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}$

F. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut $90{}^\circ $

Perhatikan gambar berikut!
Nilai-Perbandingan-Trigonometri-Sudut-90-derajat
Untuk $\alpha =90^\circ $ diperoleh koordinat titik P(0,1) maka maka:
$x=0$, $y=1$ dan r = 1
$\sin \alpha =\sin 90^\circ =\frac{y}{r}=\frac{1}{1}=1$
$\cos \alpha =\cos 90^\circ =\frac{x}{r}=\frac{0}{1}=0$
$\tan \alpha =\tan 90^\circ =\frac{y}{x}=\frac{1}{0}=\tilde{\ }$
$\csc \alpha =\csc 90^\circ =\frac{r}{y}=\frac{1}{1}=1$
$\sec \alpha =\sec 90^\circ =\frac{r}{x}=\frac{1}{0}=\tilde{\ }$
$\cot \alpha =\cot 90^\circ =\frac{x}{y}=\frac{0}{1}=0$

G. Tabel Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Istimewa

Tabel-Nilai-Perbandingan-Trigonometri-Sudut-Sudut-Istimewa

H. Sudut Elevasi dan Sudut Depresi

Sudut Elevasi

Sudut Elevasi adalah sudut yang dibentuk oleh arah horizontal dengan arah pandangan pengamat ke arah atas.
Defini-Sudut-Elevasi

Sudut Depresi

Sudut Depresi adalah sudut yang dibentuk oleh arah horizontal dengan arah pandangan pengamat ke arah bawah.
Definisi-SUdut-Depresi


Contoh 1.
Hitunglah nilai $(\tan 45^\circ +\sin 60^\circ )\cos 30^\circ $!
Penyelesaian:
$\begin{align}(\tan 45^\circ +\sin 60^\circ )\cos 30^\circ &= \left( 1+\frac{1}{2}\sqrt{3} \right).\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ &= \frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{3}{4} \end{align}$

Contoh 2.
Hitunglah nilai $\frac{\tan \frac{\pi }{4}-\sin \frac{\pi }{6}.\cos \frac{\pi }{3}}{\left( \tan \frac{\pi }{6}+\cot \frac{\pi }{3} \right)\left( \cos \frac{\pi }{6}+\sin \frac{\pi }{3} \right)}$.
Penyelesaian:
$\frac{\tan \frac{\pi }{4}-\sin \frac{\pi }{6}.\cos \frac{\pi }{3}}{\left( \tan \frac{\pi }{6}+\cot \frac{\pi }{3} \right)\left( \cos \frac{\pi }{6}+\sin \frac{\pi }{3} \right)}$
= $\frac{\tan 45^\circ -\sin 30^\circ .\cos 60^\circ }{\left( \tan 30^\circ +\cot 60^\circ \right)\left( \cos 30^\circ +\sin 60^\circ \right)}$
= $\frac{1-\frac{1}{2}.\frac{1}{2}}{\left( \frac{1}{3}\sqrt{3}+\frac{1}{3}\sqrt{3} \right)\left( \frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt{3} \right)}$
= $\frac{1-\frac{1}{4}}{\frac{2}{3}\sqrt{3}.\sqrt{3}}$
= $\frac{\frac{3}{4}}{2}$
= $\frac{3}{8}$

Contoh 3.
Seorang ahli biologi berjarak 60 meter dari sebuah pohon dan melihat puncak pohon dengan sudut elevasi $30^\circ $. Jika tinggi ahli biologi 200 cm, maka tinggi pohon adalah ... meter.
Penyelesaian:
Perhatikan gambar berikut!
Menentukan-Tinggi-Pohon-dengan-Perbandingan-Trigonometri
$\begin{align} \tan 30^\circ &= \frac{DE}{CD} \\ \frac{1}{3}\sqrt{3} &= \frac{DE}{60} \\ DE &= 20\sqrt{3}\,\text{m} \end{align}$
AD = BC = 200 cm = 2 m
$\begin{align}\text{Tinggi}\,\text{Pohon}\, &=AD+DE \\ &= (2+20\sqrt{3}) \\ &= 36,64\,\text{m} \end{align}$
Jadi, tinggi pohon adalah 36,64 meter.

Contoh 4.
Dari atas gedung dengan tinggi 50 meter, b4ngrp melihat mobil bergerak ke arahnya. Pada mulanya mobil terlihat dengan sudut depresi $30{}^\circ $ dan sesaat kemudian dengan sudut $45{}^\circ $. Jika tinggi badan b4ngrp 200 cm, maka jarak yang ditempuh oleh mobil adalah ... meter.
Penyelesaian:
Perhatikan gambar berikut!
Contoh-Soal-Sudut-Depresi
Perhatikan segitiga ACD:
$\begin{align}\tan 30^\circ &= \frac{CD}{AC} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} &= \frac{52}{AC} \\ AC &= 52\sqrt{3} \end{align}$
Perhatikan segitiga BCD:
$\begin{align}\tan 45^\circ &= \frac{CD}{BC} \\ 1 &=\frac{52}{BC} \\ BC &=52 \end{align}$
$\begin{align}AB &= AC-BC \\ &= (52\sqrt{3}-52) \\ AB &= 38,07 \end{align}$
Jadi, jarak yang ditempuh mobil adalah 38,07 meter.

Semoga postingan: Materi: Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Istimewa ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Dapatkan Update terbaru, subscribe channel kami:
Channel Youtube b4ngrp
Fanspage FB Catatan Matematika
Channel Telegram Catatan Matematika

Post a Comment for "Materi: Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Istimewa"