Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa
A. Definisi Sudut Istimewa
Sudut istimewa adalah suatu sudut yang nilai perbandingan trigonometrinya dapat ditentukan secara langsung tanpa menggunakan kalkulator atau daftar trigonometri.
Sudut-sudut istimewa yang akan kita bahas adalah $0^\circ $, $30^\circ $, $45^\circ $, $60^\circ $ dan $90^\circ $.
Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:
- Lukislah lingkaran dengan pusat O(0,0) dan panjang jari-jari r satuan pada bidang kartesius.
- Lukis titik P(x,y) pada lingkaran, proyeksikan titik P(x,y) pada sumbu X diperoleh P’(x,0).
- Lukislah segitiga OP’P siku-siku di titik P’.
- $ \alpha $ = sudut yaang dibentuk oleh garis OP dan OP’.
![Konsep-Dasar-Sudut-sudut-istimewa Konsep-Dasar-Sudut-sudut-istimewa](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhJVcvJkp-vr9Llm7NiX-Y3N-0dW6sDjHsUguZnCUaErDN9hVluUQy38Ss6m_ZGUgJNRsQbdLey0T3rg0BorKBR6qCFrj-xYm7hSxwJGTqwsWZ9Zz2N8cx3cK5hFX4WCZoU9il3GWIMiEoG/s0-rw/Konsep+Dasar+Sudut-Sudut+Istimewa.png)
Pada segitiga OP’P maka:
$\sin \alpha =\frac{PP'}{OP}\Leftrightarrow \sin \alpha =\frac{y}{r}$
$\cos \alpha =\frac{OP'}{OP}\Leftrightarrow \cos \alpha =\frac{x}{r}$
$\tan \alpha =\frac{PP'}{OP}\Leftrightarrow \tan \alpha =\frac{y}{x}$
Kesimpulan:
Jika titik $P(x,y)$ terletak pada lingkaran berjari-jari $r$ dan $\alpha $ adalah sudut yang dibentuk oleh garis OP dan sumbu X positif maka:
Konsep inilah yang akan kita gunakan untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa yaitu $0^\circ $, $30^\circ $, $45^\circ $, $60^\circ $ dan $90^\circ $.Jika titik $P(x,y)$ terletak pada lingkaran berjari-jari $r$ dan $\alpha $ adalah sudut yang dibentuk oleh garis OP dan sumbu X positif maka:
- $\sin \alpha =\frac{y}{r}$
- $\cos \alpha =\frac{x}{r}$
- $\tan \alpha =\frac{y}{x}$
- $\csc \alpha =\frac{r}{y}$
- $\sec \alpha =\frac{r}{x}$
- $\cot \alpha =\frac{x}{y}$
B. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut $0^\circ $
Perhatikan gambar berikut!![Nilai-Perbandingan-Trigonometri-Sudut-0-Derajat Nilai-Perbandingan-Trigonometri-Sudut-0-Derajat](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiD-VepV8q9HsIQW6WqWHiqhZJ4Fq2Fi_r9neqlZvkz7n00IT5HtcZ7kD8N1QTXi4eXgmzLsN7MRbGoZN6QtXt2pd7hyphenhyphenM4LV_Hr1fhyA_1Toyk4VNUTOsOb31RMXAeFjJ4fySNIH610glRz/s0-rw/Nilai+Perbandingan+Trigonometri+Sudut+0+Derajat.png)
Untuk $\alpha =0{}^\circ $ diperoleh koordinat titik P(1,0) maka maka:
$x=1$, $y=0$ dan r = 1
$\sin \alpha =\sin 0^\circ =\frac{y}{r}=\frac{0}{1}=0$
$\cos \alpha =\cos 0^\circ =\frac{x}{r}=\frac{1}{1}=1$
$\tan \alpha =\tan 0^\circ =\frac{y}{x}=\frac{0}{1}=0$
$\csc \alpha =\csc 0^\circ =\frac{r}{y}=\frac{1}{0}=\sim $
$\sec \alpha =\sec 0^\circ =\frac{r}{x}=\frac{1}{1}=1$
$\cot \alpha =\cot 0^\circ =\frac{x}{y}=\frac{1}{0}=\sim $
C. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut $30^\circ $
Perhatikan gambar berikut!![Nilai-Perbandingan-Trigonometri-Sudut-30-Derajat Nilai-Perbandingan-Trigonometri-Sudut-30-Derajat](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhB9_U1L_vBX2-2-Nhnd4OvnXFIEmZ2bgiEoRw1MXJvIAWXwQP7s21FxgyhASa74wILKdPuwkXXIt9elQ_1ch-YpX9MtD10TfVCHVauXP_-VkTc3C_VsW5c4W-Lr6M8oK-m89AWAyG_N81V/s0-rw/Nilai+Perbandingan+Trigonometri+Sudut+30+Derajat.png)
Segitiga POQ adalah segitiga sama sisi dengan OP = OQ = PQ = 1.
$\angle POQ=\angle OQP=\angle OPQ=60^\circ $.
$\begin{align} \angle POQ &= 60^\circ \\ 2\alpha &= 60^\circ \\ \alpha &= 30^\circ \end{align}$
Titik P’ adalah titik tengah PQ maka $PP'=\frac{1}{2}$ , diperoleh ordinat titik P adalah $\frac{1}{2}$.
Perhatikan segitiga OP’P siku-siku di P’:
$\begin{align} OP' &= \sqrt{OP^2-(PP')^2} \\ &= \sqrt{1^2-{\left( \frac{1}{2} \right)}^2} \\ &= \sqrt{1-\frac{1}{4}} \\ &= \sqrt{\frac{3}{4}} \\ OP' &=\frac{1}{2}\sqrt{3} \end{align}$
Jadi, untuk $\alpha =30^\circ $ diperoleh koordinat titik $P\left( \frac{1}{2}\sqrt{3},\frac{1}{2} \right)$.
$x=\frac{1}{2}\sqrt{3}$; $y=\frac{1}{2}$; dan r = 1
$\sin \alpha =\sin 30^\circ =\frac{y}{r}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}$
$\cos \alpha =\cos 30^\circ =\frac{x}{r}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{3}}{1}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$
$\tan \alpha =\tan 30^\circ =\frac{y}{x}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}$
$\csc \alpha =\csc 30^\circ =\frac{r}{y}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$
$\sec \alpha =\sec 30^\circ =\frac{r}{x}=\frac{1}{\frac{1}{2}\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{3}$
$\cot \alpha =\cot 30^\circ =\frac{x}{y}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$
D. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut $45^\circ $
Perhatikan gambar berikut!![Nilai-Perbandingan-Trigonometri-Sudut-45-Derajat Nilai-Perbandingan-Trigonometri-Sudut-45-Derajat](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhEjU0imsXU8Ao3EKXBL3GCGzyvibuOMSSWGuKRAKTf5BCC-TwqAvEsLWcnd-IHPkaXaNhoi9c66J2AFI7a4-SR7E4wbIIGFtO7h-rXXxYX95AakxVr-8b1-G6ZluH5VdecaHagjnrjx9ko/s0-rw/Nilai+Perbandingan+Trigonometri+Sudut+45+Derajat.png)
Segitiga POP’ adalah segitiga sama kaki dengan OP = PP’.
$\angle POP'=\angle OPP'=\alpha $
$\begin{align} \angle POP'+\angle POP'+\angle OP'P &= 180^\circ \\ \alpha + \alpha +90^\circ &= 180^\circ \\ 2\alpha &= 90^\circ \\ \alpha &= 45^\circ \end{align}$
Perhatikan segitiga OP’P siku-siku di P’:
$\begin{align}(OP')^2+(PP')^2 &= (OP)^2 \\ (OP')^2+(OP')^2 &= 1^2 \\ 2(OP')^2 &= 1 \\ (OP')^2 &= \frac{1}{2} \\ OP' &= \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ PP' &= \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{align}$
Jadi, untuk $\alpha =45^\circ $ diperoleh koordinat titik $P\left( \frac{1}{2}\sqrt{2},\frac{1}{2}\sqrt{2} \right)$.
$x=\frac{1}{2}\sqrt{2}$; $y=\frac{1}{2}\sqrt{2}$; dan r = 1
$\sin \alpha =\sin 45^\circ =\frac{y}{r}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}}{1}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$
$\cos \alpha =\cos 45^\circ =\frac{x}{r}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}}{1}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$
$\tan \alpha =\tan 45^\circ =\frac{y}{x}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}=1$
$\csc \alpha =\csc 45^\circ =\frac{r}{y}=\frac{1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
$\sec \alpha =\sec 45^\circ =\frac{r}{x}=\frac{1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
$\cot \alpha =\cot 45^\circ =\frac{x}{y}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}=1$
E. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut $60^\circ $
Perhatikan gambar berikut!![Nilai-Perbandingan-Trigonometri-Sudut-60-Derajat Nilai-Perbandingan-Trigonometri-Sudut-60-Derajat](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEizM7thp-TcrN4xoDZJqG91Aq8qL9kY4d89_ss0SYi7ozoVbHps8L80hZw_y8oYFxvufrZvhpl38zSF6GwANPqbBoq63Vnw78g4RF8VfhlzxEG_OuArc6dGho1tN0bWiLLaQG8QT8o9poQU/s0-rw/Nilai+Perbandingan+Trigonometri+Sudut+60+Derajat.png)
Segitiga POQ adalah segitiga sama sisi dengan OP = PQ = OQ = 1 maka $\alpha =60^\circ $.
Garis PP’ adalah garis tinggi pada segitiga sama sisi POQ maka titik P’ membagi dua OQ, diperoleh $OP'=\frac{1}{2}$
Perhatikan segitiga OP’P siku-siku di P’:
$\begin{align}PP' &= \sqrt{(OP)^2-(OP')^2} \\ &= \sqrt{1^2-{\left( \frac{1}{2} \right)}^2} \\ &= \sqrt{1-\frac{1}{4}} \\ &= \sqrt{\frac{3}{4}} \\ PP' &=\frac{1}{2}\sqrt{3} \end{align}$
Jadi, untuk $\alpha =60^\circ $ diperoleh koordinat titik $P\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\sqrt{3} \right)$.
$x=\frac{1}{2}$; $y=\frac{1}{2}\sqrt{3}$; dan r = 1
$\sin \alpha =\sin 60^\circ =\frac{y}{r}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{3}}{1}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$
$\cos \alpha =\cos 60^\circ =\frac{x}{r}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}$
$\tan \alpha =\tan 60^\circ =\frac{y}{x}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$
$\csc \alpha =\csc 60^\circ =\frac{r}{y}=\frac{1}{\frac{1}{2}\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{3}$
$\sec \alpha =\sec 60^\circ =\frac{r}{x}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$
$\cot \alpha =\cot 60^\circ =\frac{x}{y}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}$
F. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut $90{}^\circ $
Perhatikan gambar berikut!![Nilai-Perbandingan-Trigonometri-Sudut-90-derajat Nilai-Perbandingan-Trigonometri-Sudut-90-derajat](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrJBVsHn46K4qy_6WQLQbNMjSF_o_4dSAjSvsXSSjbD_XcZU0KC1dhWJQSCJZjINzyGkUFeI9Y3KV1FjS9AhToVzdTEinjwsqlZ5Gbo8VM1K1nrYpwSfaZn0z9dqM6v70P9T7OEsfmpwSL/s0-rw/Nilai+Perbandingan+Trigonometri+Sudut+90+Derajat.png)
Untuk $\alpha =90^\circ $ diperoleh koordinat titik P(0,1) maka maka:
$x=0$, $y=1$ dan r = 1
$\sin \alpha =\sin 90^\circ =\frac{y}{r}=\frac{1}{1}=1$
$\cos \alpha =\cos 90^\circ =\frac{x}{r}=\frac{0}{1}=0$
$\tan \alpha =\tan 90^\circ =\frac{y}{x}=\frac{1}{0}=\tilde{\ }$
$\csc \alpha =\csc 90^\circ =\frac{r}{y}=\frac{1}{1}=1$
$\sec \alpha =\sec 90^\circ =\frac{r}{x}=\frac{1}{0}=\tilde{\ }$
$\cot \alpha =\cot 90^\circ =\frac{x}{y}=\frac{0}{1}=0$
G. Tabel Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Istimewa
![Tabel-Nilai-Perbandingan-Trigonometri-Sudut-Sudut-Istimewa Tabel-Nilai-Perbandingan-Trigonometri-Sudut-Sudut-Istimewa](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_2cUfnq3dLpue1crsKtj2pLonq8J0ix4EKfs6TekvKRMtoKcchE0t7BXSBaJvjJfqZIiwm6lpDohyzYc29pOjuGhig096XhSXbdsH2d6s-N0VbE05YYxCfdR9znN3-a_Sp_9kHO0Q1zf5/s0-rw/Tabel+Nilai+Perbandingan+Trigonometri+Sudut-sudut+Istimewa.png)
H. Sudut Elevasi dan Sudut Depresi
Sudut Elevasi
Sudut Elevasi adalah sudut yang dibentuk oleh arah horizontal dengan arah pandangan pengamat ke arah atas.
![Definisi-Sudut-Elevasi Defini-Sudut-Elevasi](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjboiV0IpB4dLhL47iOBlmX-YfqrglF7DVLs2Naasu_O0iDoCqfR2S7hijI5jTNrUH5KQj8w5MrZMn8NyD52h0DAKtVGhQC9xTPXC4cPWtzA2vW3w3ljV8UFLFC6RWvo3pxAwyJN2Sm5k7O/s0-rw/Definisi+Sudut+Elevasi.png)
Sudut Depresi
Sudut Depresi adalah sudut yang dibentuk oleh arah horizontal dengan arah pandangan pengamat ke arah bawah.
![Definisi-Sudut-Depresi Definisi-SUdut-Depresi](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhUMvkyXE9f21L9XJ4GC8BcuNcXZmUQYTvdJiVmon9-TZ1qd6Fjc5SsOiu5qxH2jGWmfUuUXBMKVDkf2d-6rwLq5n5RYghwOXE0gG-DXF9Zl008VdQeSLH_lq_B8RgFE9xW-f23dz6IYGZ6/s0-rw/Definisi+Sudut+Depresi.png)
Contoh 1.
Hitunglah nilai $(\tan 45^\circ +\sin 60^\circ )\cos 30^\circ $!Penyelesaian: Lihat/Tutup
$(\tan 45^\circ +\sin 60^\circ )\cos 30^\circ $= $\left( 1+\frac{1}{2}\sqrt{3} \right).\frac{1}{2}\sqrt{3}$
= $\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{3}{4}$
Contoh 2.
Hitunglah nilai $\frac{\tan \frac{\pi }{4}-\sin \frac{\pi }{6}.\cos \frac{\pi }{3}}{\left( \tan \frac{\pi }{6}+\cot \frac{\pi }{3} \right)\left( \cos \frac{\pi }{6}+\sin \frac{\pi }{3} \right)}$.Penyelesaian: Lihat/Tutup
$\frac{\tan \frac{\pi }{4}-\sin \frac{\pi }{6}.\cos \frac{\pi }{3}}{\left( \tan \frac{\pi }{6}+\cot \frac{\pi }{3} \right)\left( \cos \frac{\pi }{6}+\sin \frac{\pi }{3} \right)}$= $\frac{\tan 45^\circ -\sin 30^\circ .\cos 60^\circ }{\left( \tan 30^\circ +\cot 60^\circ \right)\left( \cos 30^\circ +\sin 60^\circ \right)}$
= $\frac{1-\frac{1}{2}.\frac{1}{2}}{\left( \frac{1}{3}\sqrt{3}+\frac{1}{3}\sqrt{3} \right)\left( \frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt{3} \right)}$
= $\frac{1-\frac{1}{4}}{\frac{2}{3}\sqrt{3}.\sqrt{3}}$
= $\frac{\frac{3}{4}}{2}$
= $\frac{3}{8}$
Contoh 3.
Seorang ahli biologi berjarak 60 meter dari sebuah pohon dan melihat puncak pohon dengan sudut elevasi $30^\circ $. Jika tinggi ahli biologi 200 cm, maka tinggi pohon adalah ... meter.Penyelesaian: Lihat/Tutup
Perhatikan gambar berikut!![Menentukan-Tinggi-Pohon-dengan-Perbandingan-Trigonometri Menentukan-Tinggi-Pohon-dengan-Perbandingan-Trigonometri](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgOs0kCHJfos__0uXwpw9mYzpOdA3jnEYRNlQzhiT1XxX1kt-IZFydkNzw59ZjVg09TqRvERw92iNdrnyAkFejhNH-RQ3BFxYAqfcDy3AM9EC4pUtWcGyOKN6rb1FPQmq8qN8gJ6phNldvA/s0-rw/Contoh+Soal+Sudut+Elevasi.png)
$\begin{align} \tan 30^\circ &= \frac{DE}{CD} \\ \frac{1}{3}\sqrt{3} &= \frac{DE}{60} \\ DE &= 20\sqrt{3}\,\text{m} \end{align}$
AD = BC = 200 cm = 2 m
$\begin{align}\text{Tinggi}\,\text{Pohon}\, &=AD+DE \\ &= (2+20\sqrt{3}) \\ &= 36,64\,\text{m} \end{align}$
Jadi, tinggi pohon adalah 36,64 meter.
Contoh 4.
Dari atas gedung dengan tinggi 50 meter, b4ngrp melihat mobil bergerak ke arahnya. Pada mulanya mobil terlihat dengan sudut depresi $30{}^\circ $ dan sesaat kemudian dengan sudut $45{}^\circ $. Jika tinggi badan b4ngrp 200 cm, maka jarak yang ditempuh oleh mobil adalah ... meter.Penyelesaian: Lihat/Tutup
Perhatikan gambar berikut!![Contoh-Soal-Sudut-Depresi Contoh-Soal-Sudut-Depresi](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSl3CqWi4zwfM4pLrYSuyH3xNl8wMvxgJFCSrk27uGsgbSWR5q8MrAOnkajjYynIpxC4laBNRWXeKSw4FqoBB_9M3ZOF7_By14tKKjTYfXcX5Y0Lwxnhnzsx7wBOlTIsU33Nl09oWHY8bi/s0-rw/Contoh+Soal+Sudut+Depresi.png)
Perhatikan segitiga ACD:
$\begin{align}\tan 30^\circ &= \frac{CD}{AC} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} &= \frac{52}{AC} \\ AC &= 52\sqrt{3} \end{align}$
Perhatikan segitiga BCD:
$\begin{align}\tan 45^\circ &= \frac{CD}{BC} \\ 1 &=\frac{52}{BC} \\ BC &=52 \end{align}$
$\begin{align}AB &= AC-BC \\ &= (52\sqrt{3}-52) \\ AB &= 38,07 \end{align}$
Jadi, jarak yang ditempuh mobil adalah 38,07 meter.
Semoga postingan: Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.
Post a Comment for "Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa"
Pertanyaan melalui kolom komentar akan direspon secepatnya. Jika tidak direspon, berarti pertanyaan serupa telah ada.