Kaidah Pencacahan 4. Kombinasi (Definisi dan Contoh Soal)

A. Definisi Kombinasi

Kombinasi adalah suatu pilihan dari unsur-unsur yang ada tanpa memperhatikan urutannya (AB = BA).

---

B. Kombinasi k Unsur dari n Unsur

Banyak kombinasi k unsur dari n unsur dinyatakan:
$_n{C}_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$; $k\le n$
Penulisan kombinasi:
$_n{C}_k = C(n,k) = C_k^n = \left( \begin{matrix} n \\ k \\ \end{matrix} \right)$

---

Contoh 1.
Hitunglah nilai dari $_{10}C_3$.

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{align} _{10}C_3 &= \frac{10!}{3!(10-3)!} \\ &= \frac{10!}{3!.7!} \\ &= \frac{10.\overset{3}{\mathop{\cancel{9}}}\,.\overset{4}{\mathop{\cancel{8}}}\,.\cancel{7!}}{\cancel{3}.\cancel{2}.1.\cancel{7!}} \\ &= 10.3.4 \\ _{10}C_3 &=120 \end{align}$

---

Contoh 2.
Tentukan nilai n yang memenuhi persamaan $C(n,4)=C(n,3)$.

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{align} C(n,4) &=C(n,3) \\ \frac{\overset{1}{\mathop{\cancel{n!}}}\,}{4!.(n-4)!} &= \frac{\overset{1}{\mathop{\cancel{n!}}}\,}{3!.(n-3)!} \\ \frac{1}{4.\cancel{3!}.\cancel{(n-4)!}} &= \frac{1}{\cancel{3!}.(n-3)\cancel{(n-4)!}} \\ n-3 &= 4 \\ n &= 4+3 \\ n &= 7 \end{align}$

---

Contoh 3.
Jumlah siswa di suatu kelas adalah 30 anak. Akan dipilih 3 orang sebagai pengurus kelas. Ada berapa cara memilih kepengurusan kelas tersebut?

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Misalkan, 3 orang terpilih sebagai pengurusa adalah A, B, dan C maka kita cek ternyata ABC = ACB. Jadi, banyak cara pemilihan kepengurusan tersebut adalah kombinasi 3 orang dari 30 orang.
$\begin{align} _{30}C_3 &=\frac{30!}{3!(30-3)!} \\ &= \frac{30!}{3!.27!} \\ &= \frac{\overset{5}{\mathop{\cancel{30}}}\,.29.28.\cancel{27!}}{\cancel{3}.\cancel{2}.1.\cancel{27!}} \\ &= 5.29.28 \\ _{30}C_3 &=4060 \end{align}$
Banyak cara pemilihan adalah 4060 cara.

---

Contoh 4.
Suatu pertemuan dihadiri oleh 10 orang. Pada saat bertemu, mereka saling berjabat tangan satu sama lain. Ada berapa jabat tangan yang terjadi?

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Misalkan, 2 orang yang berjabat tangan A dan B, ternyata AB = BA.
Jadi, banyak jabat tangan yang terjadi adalah kombinasi 2 orang dari 10 orang.
$\begin{align} _{10}C_2 &= \frac{10!}{2!.(10-2)!} \\ &= \frac{10!}{2!.8!} \\ &= \frac{\overset{5}{\mathop{\cancel{10}}}\,.9.\cancel{8!}}{\cancel{2}.1.\cancel{8!}} \\ &= 5.9 \\ _{10}C_2 &=45 \end{align}$
Jadi, banyak jabat tangan yang terjadi adalah 45 jabat tangan.

---

Contoh 5.
Seorang siswa diminta mengerjakan 8 soal dari 10 soal, tetapi soal nomor 3 dan 6 harus dikerjakan. Banyak pilihan yang dapat diambil oleh siswa itu adalah ...

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Semula siswa akan memilih 8 soal dari 10 soal.
Karena soal nomor 3 dan 6 harus dikerjakan, artinya 2 soal telah terpilih. Sehingga siswa hanya memilih 6 soal lagi dari 8 soal.
$\begin{align} _8C_6 &= \frac{8!}{6!.(8-6)!} \\ &= \frac{8!}{6!.2!} \\ &= \frac{\overset{4}{\mathop{\cancel{8}}}\,.7.\cancel{6!}}{\cancel{6!}.\cancel{2}.1} \\ &= 4.7 \\ _{8}C_6 &= 28 \end{align}$
Jadi, banyak pilihan soal yang dapat diambil adalah 28 pilihan.

---

Contoh 6.
Dalam sebuah kotak terdapat 8 bola merah dan 5 bola kuning. Tentukan banyak cara mengambil 6 bola merah dan 2 bola kuning sekaligus dari kotak tersebut.

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Mengambil 6 bola merah dari 8 bola merah dan 2 kuning dari 5 kuning.
Banyak cara pengambilan bola adalah:
$\begin{align} _8C_6 \times _5C_2 &= \frac{8!}{6!.(8-6)!}\times \frac{5!}{2!.(5-2)!} \\ &= \frac{8!}{6!.2!}\times \frac{5!}{2!.3!} \\ &= \frac{\overset{4}{\mathop{\cancel{8}}}\,.7.\cancel{6!}}{\cancel{6!}.\cancel{2}.1}\times \frac{5.\overset{2}{\mathop{\cancel{4}}}\,.\cancel{3!}}{\cancel{2}.1.\cancel{3!}} \\ &= 4.7.5.2 \\ _8C_6 \times _5C_2 &=280 \end{align}$
Jadi, banyak cara pengambilan bola adalah 280 cara.

---

Contoh 7.
Dari 6 orang pria dan 4 wanita akan dipilih 5 orang pengurus. Berapa banyak cara memilih paling sedikit 3 wanita.

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Kemungkinan-kemungkinannya:
*) Terpilih 3 wanita dan 2 pria
*) Terpilih 4 wanita dan 1 pria
Dalam hal ini berlaku juga aturan penjumlahan.
Banyak cara memilih:
= $_4C_3 \times _6C_2 + _4C_4 \times _6C_1$
= $\frac{4!}{3!(4-3)!}.\frac{6!}{2!(6-2)!}+\frac{4!}{4!(4-4)!}.\frac{6!}{1!(6-1)!}$
= $\frac{4!}{3!.1!}.\frac{6!}{2!.4!}+\frac{4!}{4!.0!}.\frac{6!}{1!.5!}$
= $\frac{4.\cancel{3!}}{\cancel{3!}.1}.\frac{\overset{3}{\mathop{\cancel{6}}}\,.5.\cancel{4!}}{\cancel{2}.1.\cancel{4!}}+\frac{\cancel{4!}}{\cancel{4!}.1}.\frac{6.\cancel{5!}}{1.\cancel{5!}}$
= 4.3.5 + 6
= 66 cara

---

C. Soal Latihan

1. Hitunglah nilai dari $\frac{_5C_3}{_{10}C_3}$.
2. Pada suatu perlombaan diperoleh 15 orang finalis, tim juri akan memilih 3 pemenang. Ada berapa cara juri memilih 3 orang pemenang tersebut?
3. Suatu kotak berisi 6 kelereng merah dan 5 kelereng putih. Ada berapa cara untuk mengambil 5 kelereng sekaligus yang terdiri dari 3 kelereng merah dan 2 kelereng putih?
4. Seorang peternak memiliki 6 bahan baku makanan ternak. Jika setiap makanan ternak yang akan dibuat oleh peternak tersebut paling sedikit menggunakan campuran dari 4 bahan makanan ternak, ada berapa macam makanan ternak yang dapat dibuat oleh peternak tersebut?
5. Dari 10 orang siswa yang terdiri dari 7 orang putra dan 3 orang putri akan dibentuk tim yang beranggotakan 5 orang. Jika disyaratkan anggota tim tersebut paling banyak 2 orang putri, tentukan banyaknya tim yang dapat dibentuk!

Share :