Skip to content Skip to sidebar Skip to footer

Fungsi Komposisi (Definisi dan Contoh Soal)

Definisi Fungsi Komposisi dan Contoh Soal

A. Definisi Fungsi Komposisi

Perhatikan ilustrasi berikut ini!
Ilustrasi Fungsi Komposisi
Gelondongan kayu diproduksi oleh mesin f menjadi balok atau papan, kemudian oleh mesin g balok atau papan diolah menjadi meja dan kursi, maka proses gelondongan kayu menjadi meja atau kursi dapat dinyatakan dengan g komposisi f.
Untuk lebih jelasnya perhatikan diagram berikut ini!Untuk lebih jelasnya perhatikan diagram berikut ini!
Definisi Fungsi Komposisi
Dari diagram tersebut maka dapat kita deskripsikan definisi fungsi komposisi sebagai berikut:
Jika f dan g adalah dua fungsi sedemikian sehingga $f:A\to B$ dan $g:B\to C$, maka komposisi fungsi $(g\circ f):A\to C$.
$(g\circ f)(x)=g(f(x))$
$(f\circ g)(x)=f(g(x))$

B. Syarat agar Dua Fungsi Dapat Dikomposisikan

  • Fungsi f dan fungsi g dapat dikomposisikan $(g\circ f)$, jika $R_f \cap D_g \ne \varnothing $.
  • Fungsi f dan fungsi g dapat dikomposisikan $(f\circ g)$, jika $R_g \cap D_f \ne \varnothing $.

Contoh:
Diketahui fungsi $f=\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)\}$ dan fungsi $g=\{(2,5),(3,6),(6,7)\}$. Apakah dapat dikomposisikan menjadi:
a) $(g\circ f)$
b) $(f\circ g)$
Penyelesaian:
a) $(g\circ f)$
Cek syarat:
$R_f =\{2,3,45\}$ dan $D_g =\{2,3,6\}$
$R_f \cap D_g =\{2,3\}$
Karena $R_f \cap D_g \ne \varnothing $ maka $(g\circ f)$ dapat ditentukan, yaitu:
$(g\circ f)=\{(1,5),(2,6)\}$

b) $(f\circ g)$
Cek syarat:
$R_g = \{5,67\}$ dan $D_f = \{1,2,3,4\}$
$R_g \cap D_f =\varnothing $
Jadi, $(f\circ g)$ tidak dapat ditentukan.

C. Nilai Fungsi Komposisi

Jika f, g, dan h adalah fungsi, maka nilai dari fungsi-fungsi itu untuk x = c ditentukan sebagai berikut:
  • Nilai komposisi $(g\circ f)(x)$ untuk $x=c$ adalah $(g\circ f)(c)=g(f(c))$.
  • Nilai komposisi $(f\circ g)(x)$ untuk $x=c$ adalah $(f\circ g)(c)=f(g(c))$.
  • Nilai komposisi $(h\circ f\circ g)(x)$ untuk $x=c$ adalah $h(f(g(c)))$.

Contoh 1.
Diketahui fungsi $f:A\to B$ dan $g:B\to C$ dinyatakan dalam pasangan terurut:
$f=\{(0,1),(2,4),(3,-1),(4,5)\}$ dan $g=\{(2,0),(1,2),(5,3),(6,7)\}$.
Tentukan:
a) $(g\circ f)(4)$
b) $(f\circ g)(1)$
Penyelesain:
Dari $f=\{(0,1),(2,4),(3,-1),(4,5)\}$ diperoleh:
$f(0)=1$, $f(2)=4$, $f(3)=-1$ dan $f(4)=5$
Dari $g=\{(2,0),(1,2),(5,3),(6,7)\}$ diperoleh:
$g(2)=0$, $g(1)=2$, $g(5)=3$, dan $g(6)=7$
a) $(g\circ f)(4)=g(f(4))=g(5)=3$
b) $(f\circ g)(1)=f(g(1))=f(2)=4$

Contoh 2.
Diketahui $f(x)=3x+7$ dan $g(x)=\sqrt{x+15}$. Nilai $(f\circ g)(1)$ = ...
Penyelesaian:
$\begin{align}(f\circ g)(1) &=f(g(1)) \\ &=f(\sqrt{1+15}) \\ &=f(4) \\ &=3.4+7 \\ (f\circ g)(1)&=19 \end{align}$

Contoh 3.
Jika $f(x)=2-x$. $g(x)={{x}^{2}}+1$ dan $h(x)=3x$ maka $(h\circ g\circ f)(3)$ = ...
Penyelesaian:
$\begin{align}(h\circ g\circ f)(3) &=h(g(f(3))) \\ &=h(g(2-3)) \\ &=h(g(-1)) \\ &=h((-1)^2 +1) \\ &=h(2) \\ &=3.2 \\ (h\circ g\circ f)(3) &=6 \end{align}$

D. Menentukan Komposisi Dua Fungsi atau Lebih

Ingat!
  • $(g\circ f)(x)=g(f(x))$
  • $(f\circ g)(x)=f(g(x))$
  • $(f\circ g\circ h)(x)=f(g(h(x)))$
  • $f\circ g\circ h=(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$

Contoh 1.
Jika $f(x)=x^2+5x-7$ dan $g(x)=2x-3$.
Tentukan:
a) $(g\circ f)(x)$
b) $(f\circ g)(x)$
Penyelesaian:
a) $(g\circ f)(x)$
$\begin{align}(g\circ f)(x) &=g(f(x)) \\ &=g(x^2+5x-7) \\ &=2x^2+5x-7)-3 \\ &=2x^2+10x-14-3 \\ (g\circ f)(x) &=2x^2+10x-17 \end{align}$

b) $(f\circ g)(x)$
$\begin{align}(f\circ g)(x) &=f(g(x)) \\ &=f(2x-3) \\ &=(2x-3)^2+5(2x-3)-7 \\ &=4x^2-12x+9+10x-15-7 \\ (f\circ g)(x) &=4x^2-2x-13 \end{align}$

Contoh 2.
Jika $f(x)=5x-2$, $g(x)=x^2+6$ dan $h(x)=-x^2$, maka $(f\circ g\circ h)(x)$ = ...
Penyelesaian:
$\begin{align}(f\circ g\circ h)(x) &=f(g(h(x))) \\ &=f(g(-x^2)) \\ &=f((-x^2)^2+6) \\ &=f(x^4+6) \\ &=5(x^4+6)-2 \\ &=5x^4+30-2 \\ (f\circ g\circ h)(x) &=5x^4+28 \end{align}$

E. Menentukan Komponen Pembentuk Fungsi Komposisi Jika Aturan Komposisi dan Komponen Lainnya Diketahui

Contoh 1.
Jika $(f\circ g)(x)=6x^2-2x+3$ dan $f(x)=2x-7$ maka $g(x)$ = ...
Penyelesaian:
$\begin{align}(f\circ g)(x) &=6x^2-2x+3 \\ f(g(x)) &=6x^2-2x+3 \\ 2.g(x)-7 &=6x^2-2x+3 \\ 2.g(x) &=6x^2-2x+3+7 \\ 2.g(x) &=6x^2-2x+10 \\ g(x) &=3x^2-x+5 \end{align}$

Contoh 2.
Jika $(g\circ f)(x)=4x^2+4x$ dan $g(x)=x^2-1$ maka $f(x)$ = ...
Penyelesaian:
$\begin{align}(g\circ f)(x) &=4x^2+4x \\ g(f(x)) &=4x^2+4x \\ (f(x))^2-1 &=4x^2+4x \\ (f(x))^2 &=4x^2+4x+1 \\ (f(x))^2 &=(2x+1)^2 \\ f(x) &=2x+1 \end{align}$

Contoh 3.
Jika $(g\circ f)(x)=x^2-2x+3$ dan $f(x)=x-5$ maka $g(x)$ = ...
Penyelesaian:
$\begin{align}(g\circ f)(x) &=x^2-2x+3 \\ g(f(x)) &=x^2-2x+3 \\ g(x-5) &=x^2-2x+3 \end{align}$
Misal: $x-5=p\Leftrightarrow x=p+5$
Substitusi ke:
$\begin{align}g(x-5) &=x^2-2x+3 \\ g(p) &=(p+5)^2-2(p+5)+3 \\ g(p) &=p^2+10p+25-2p-10+3 \\ g(p) &=p^2+8p+18 \\ g(x) &=x^2+8x+18 \end{align}$

Contoh 4.
Jika $(f\circ g)(x)=4x^2-6x+5$ dan $g(x)=2x+1$ maka $f(x)$ = ...
Penyelesaian:
$\begin{align}(f\circ g)(x) &=4x^2-6x+5 \\ f(g(x)) &=4x^2-6x+5 \\ f(2x+1) &=4x^2-6x+5 \end{align}$
Misal:
$\begin{align}2x+1 &=p \\ 2x &=p-1 \\ x &=\frac{p-1}{2} \end{align}$
Substitusi ke:
$\begin{align} f(2x+1) &=4x^2-6x+5 \\ f(p) &=4{\left( \frac{p-1}{2} \right)}^2-6\left( \frac{p-1}{2} \right)+5 \\ &=4 \left( \frac{p^2-2p+1}{4} \right)-3(p-1)+5 \\ &=p^2-2p+1-3p+3+5 \\ f(p) &=p^2-5p+9 \\ f(x) &=x^2-5x+9 \end{align}$

SOAL LATIHAN


  1. Diketahui $f(x)=3x-2$ dan $g(x)=2x^2+x+7$ maka $(f\circ g)(x)$ = ...
  2. Diketahui $f(x)=x+2$ dan $g(x)=3x^2-5x+1$ maka $(g\circ f)(x)$ = ...
  3. Diketahui $f(x)=x^2+3x-5$, $g(x)=4-x$, dan $h(x)=\sqrt{x+7}$ maka $(f\circ g\circ h)(2)$ = ....
  4. Diketahui $(g\circ f)(x)=2x^2+6x+1$ dan $g(x)=2x-15$ maka $f(x)$ = ....
  5. Diketahui $(f\circ g)(x)=x^2-5x+7$ dan $g(x)=x+3$ maka $f(x)$ = ...
Semoga postingan: Fungsi Komposisi (Definisi dan Contoh Soal) ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Dapatkan Update terbaru, subscribe channel kami:
Youtube Facebook Instagram Twitter Telegram Pinterest

Post a Comment for "Fungsi Komposisi (Definisi dan Contoh Soal)"