Fungsi Komposisi (Definisi dan Contoh Soal)
A. Definisi Fungsi Komposisi
Perhatikan ilustrasi berikut ini!
Gelondongan kayu diproduksi oleh mesin f menjadi balok atau papan, kemudian oleh mesin g balok atau papan diolah menjadi meja dan kursi, maka proses gelondongan kayu menjadi meja atau kursi dapat dinyatakan dengan g komposisi f.
Untuk lebih jelasnya perhatikan diagram berikut ini!Untuk lebih jelasnya perhatikan diagram berikut ini!
Dari diagram tersebut maka dapat kita deskripsikan definisi fungsi komposisi sebagai berikut:
Jika f dan g adalah dua fungsi sedemikian sehingga $f:A\to B$ dan $g:B\to C$, maka komposisi fungsi $(g\circ f):A\to C$.
$(g\circ f)(x)=g(f(x))$
$(f\circ g)(x)=f(g(x))$
$(g\circ f)(x)=g(f(x))$
$(f\circ g)(x)=f(g(x))$
B. Syarat agar Dua Fungsi dapat Dikomposisikan
- Fungsi f dan fungsi g dapat dikomposisikan $(g\circ f)$, jika $R_f \cap D_g \ne \varnothing $.
- Fungsi f dan fungsi g dapat dikomposisikan $(f\circ g)$, jika $R_g \cap D_f \ne \varnothing $.
Contoh:
Diketahui fungsi $f=\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)\}$ dan fungsi $g=\{(2,5),(3,6),(6,7)\}$. Apakah dapat dikomposisikan menjadi:a) $(g\circ f)$
b) $(f\circ g)$
Penyelesaian:
a) $(g\circ f)$
Cek syarat:
$R_f =\{2,3,45\}$ dan $D_g =\{2,3,6\}$
$R_f \cap D_g =\{2,3\}$
Karena $R_f \cap D_g \ne \varnothing $ maka $(g\circ f)$ dapat ditentukan, yaitu:
$(g\circ f)=\{(1,5),(2,6)\}$
b) $(f\circ g)$
Cek syarat:
$R_g = \{5,67\}$ dan $D_f = \{1,2,3,4\}$
$R_g \cap D_f =\varnothing $
Jadi, $(f\circ g)$ tidak dapat ditentukan.
C. Nilai Komposisi Fungsi
Jika f, g, dan h adalah fungsi, maka nilai dari fungsi-fungsi itu untuk x = c ditentukan sebagai berikut:
- Nilai komposisi $(g\circ f)(x)$ untuk $x=c$ adalah $(g\circ f)(c)=g(f(c))$.
- Nilai komposisi $(f\circ g)(x)$ untuk $x=c$ adalah $(f\circ g)(c)=f(g(c))$.
- Nilai komposisi $(h\circ f\circ g)(x)$ untuk $x=c$ adalah $h(f(g(c)))$.
Contoh 1.
Diketahui fungsi $f:A\to B$ dan $g:B\to C$ dinyatakan dalam pasangan terurut:$f=\{(0,1),(2,4),(3,-1),(4,5)\}$ dan $g=\{(2,0),(1,2),(5,3),(6,7)\}$.
Tentukan:
a) $(g\circ f)(4)$
b) $(f\circ g)(1)$
Penyelesain:
Dari $f=\{(0,1),(2,4),(3,-1),(4,5)\}$ diperoleh:
$f(0)=1$, $f(2)=4$, $f(3)=-1$ dan $f(4)=5$
Dari $g=\{(2,0),(1,2),(5,3),(6,7)\}$ diperoleh:
$g(2)=0$, $g(1)=2$, $g(5)=3$, dan $g(6)=7$
a) $(g\circ f)(4)=g(f(4))=g(5)=3$
b) $(f\circ g)(1)=f(g(1))=f(2)=4$
Contoh 2.
Diketahui $f(x)=3x+7$ dan $g(x)=\sqrt{x+15}$. Nilai $(f\circ g)(1)$ = ...Penyelesaian:
$\begin{align}(f\circ g)(1) &=f(g(1)) \\ &=f(\sqrt{1+15}) \\ &=f(4) \\ &=3.4+7 \\ (f\circ g)(1)&=19 \end{align}$
Contoh 3.
Jika $f(x)=2-x$. $g(x)={{x}^{2}}+1$ dan $h(x)=3x$ maka $(h\circ g\circ f)(3)$ = ...Penyelesaian:
$\begin{align}(h\circ g\circ f)(3) &=h(g(f(3))) \\ &=h(g(2-3)) \\ &=h(g(-1)) \\ &=h((-1)^2 +1) \\ &=h(2) \\ &=3.2 \\ (h\circ g\circ f)(3) &=6 \end{align}$
D. Menentukan Komposisi Dua Fungsi atau Lebih
Ingat!
- $(g\circ f)(x)=g(f(x))$
- $(f\circ g)(x)=f(g(x))$
- $(f\circ g\circ h)(x)=f(g(h(x)))$
- $f\circ g\circ h=(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$
Contoh 1.
Jika $f(x)=x^2+5x-7$ dan $g(x)=2x-3$.Tentukan:
a) $(g\circ f)(x)$
b) $(f\circ g)(x)$
Penyelesaian:
a) $(g\circ f)(x)$
$\begin{align}(g\circ f)(x) &=g(f(x)) \\ &=g(x^2+5x-7) \\ &=2x^2+5x-7)-3 \\ &=2x^2+10x-14-3 \\ (g\circ f)(x) &=2x^2+10x-17 \end{align}$
b) $(f\circ g)(x)$
$\begin{align}(f\circ g)(x) &=f(g(x)) \\ &=f(2x-3) \\ &=(2x-3)^2+5(2x-3)-7 \\ &=4x^2-12x+9+10x-15-7 \\ (f\circ g)(x) &=4x^2-2x-13 \end{align}$
Contoh 2.
Jika $f(x)=5x-2$, $g(x)=x^2+6$ dan $h(x)=-x^2$, maka $(f\circ g\circ h)(x)$ = ...Penyelesaian:
$\begin{align}(f\circ g\circ h)(x) &=f(g(h(x))) \\ &=f(g(-x^2)) \\ &=f((-x^2)^2+6) \\ &=f(x^4+6) \\ &=5(x^4+6)-2 \\ &=5x^4+30-2 \\ (f\circ g\circ h)(x) &=5x^4+28 \end{align}$
E. Menentukan Komponen Pembentuk Fungsi Komposisi Jika Aturan Komposisi dan Komponen Lainnya Diketahui
Contoh 1.
Jika $(f\circ g)(x)=6x^2-2x+3$ dan $f(x)=2x-7$ maka $g(x)$ = ...Penyelesaian:
$\begin{align}(f\circ g)(x) &=6x^2-2x+3 \\ f(g(x)) &=6x^2-2x+3 \\ 2.g(x)-7 &=6x^2-2x+3 \\ 2.g(x) &=6x^2-2x+3+7 \\ 2.g(x) &=6x^2-2x+10 \\ g(x) &=3x^2-x+5 \end{align}$
Contoh 2.
Jika $(g\circ f)(x)=4x^2+4x$ dan $g(x)=x^2-1$ maka $f(x)$ = ...Penyelesaian:
$\begin{align}(g\circ f)(x) &=4x^2+4x \\ g(f(x)) &=4x^2+4x \\ (f(x))^2-1 &=4x^2+4x \\ (f(x))^2 &=4x^2+4x+1 \\ (f(x))^2 &=(2x+1)^2 \\ f(x) &=2x+1 \end{align}$
Contoh 3.
Jika $(g\circ f)(x)=x^2-2x+3$ dan $f(x)=x-5$ maka $g(x)$ = ...Penyelesaian:
$\begin{align}(g\circ f)(x) &=x^2-2x+3 \\ g(f(x)) &=x^2-2x+3 \\ g(x-5) &=x^2-2x+3 \end{align}$
Misal: $x-5=p\Leftrightarrow x=p+5$
Substitusi ke:
$\begin{align}g(x-5) &=x^2-2x+3 \\ g(p) &=(p+5)^2-2(p+5)+3 \\ g(p) &=p^2+10p+25-2p-10+3 \\ g(p) &=p^2+8p+18 \\ g(x) &=x^2+8x+18 \end{align}$
Contoh 4.
Jika $(f\circ g)(x)=4x^2-6x+5$ dan $g(x)=2x+1$ maka $f(x)$ = ...Penyelesaian:
$\begin{align}(f\circ g)(x) &=4x^2-6x+5 \\ f(g(x)) &=4x^2-6x+5 \\ f(2x+1) &=4x^2-6x+5 \end{align}$
Misal:
$\begin{align}2x+1 &=p \\ 2x &=p-1 \\ x &=\frac{p-1}{2} \end{align}$
Substitusi ke:
$\begin{align} f(2x+1) &=4x^2-6x+5 \\ f(p) &=4{\left( \frac{p-1}{2} \right)}^2-6\left( \frac{p-1}{2} \right)+5 \\ &=4 \left( \frac{p^2-2p+1}{4} \right)-3(p-1)+5 \\ &=p^2-2p+1-3p+3+5 \\ f(p) &=p^2-5p+9 \\ f(x) &=x^2-5x+9 \end{align}$
F. Soal Latihan
- Diketahui $f(x)=3x-2$ dan $g(x)=2x^2+x+7$ maka $(f\circ g)(x)$ = ...
- Diketahui $f(x)=x+2$ dan $g(x)=3x^2-5x+1$ maka $(g\circ f)(x)$ = ...
- Diketahui $f(x)=x^2+3x-5$, $g(x)=4-x$, dan $h(x)=\sqrt{x+7}$ maka $(f\circ g\circ h)(2)$ = ....
- Diketahui $(g\circ f)(x)=2x^2+6x+1$ dan $g(x)=2x-15$ maka $f(x)$ = ....
- Diketahui $(f\circ g)(x)=x^2-5x+7$ dan $g(x)=x+3$ maka $f(x)$ = ...
Post a Comment for "Fungsi Komposisi (Definisi dan Contoh Soal)"
Pertanyaan melalui kolom komentar akan direspon secepatnya. Jika tidak direspon, berarti pertanyaan serupa telah ada.