Fungsi Invers (Definisi dan Contoh Soal)

A. Definisi Fungsi Invers

Jika fungsi $f:A\to B$ maka inversnya adalah ${{f}^{-1}}:B\to A$.
$y=f(x)\Leftrightarrow x={{f}^{-1}}(y)$

Contoh:

Jika diketahui fungsi $f$ dalam himpunan pasangan terurut: $f=\{(1,2),(2,3),(4,5),(6,7)\}$. Tentukan:
a) $f^{-1}(2)$
b) Invers fungsi $f$ dalam himpunan pasangan terurut.
Penyelesaian:
a) $f(1)=2\Leftrightarrow f^{-1}(2)=1$
b) $f^{-1} = \{(2,1),(3,2),(5,4),(7,6)\}$

B. Menentukan Invers Suatu Fungsi

Cara menentukan fungsi invers:

1. Ubah $y=f(x)$ ke dalam bentuk $x=f(y)$.
2. Gantikan $x$ dengan $f^{-1}(y)$.
3. Gantikan $y$ dengan $x$ sehingga diperoleh rumus fungsi invers $f^{-1}(x)$.

Contoh 1.

Jika $f(x)=x+5$ maka $f^{-1}(x)$ = ...
Penyelesaian:
Konsep Dasar:
$\begin{align}f(x) &=x+5 \\ y &=x+5 \\ x+5 &=y \\ x &=y-5 \\ f^{-1}(y) &=y-5 \\ f^{-1}(x) &=x-5 \end{align}$
Cara Cepat:
$f(x)=x+k\Leftrightarrow f^{-1}(x)=x-k$
$f(x)=x+5\Leftrightarrow f^{-1}(x)=x-5$

Contoh 2.

Jika $f(x)=3x+4$ maka $f^{-1}(x)$ = ...
Penyelesaian:
Konsep Dasar:
$\begin{align} f(x) &=3x+4 \\ y &=3x+4 \\ 3x+4 &=y \\ 3x &=y-4 \\ x &=\frac{y-4}{3} \\ f^{-1}(y) &=\frac{y-4}{3} \\ f^{-1}(x) &=\frac{x-4}{3} \end{align}$
Cara Cepat:
$f(x)=ax+b\Leftrightarrow f^{-1}(x)=\frac{x-b}{a}$
$f(x)=3x+4\Leftrightarrow f^{-1}(x)=\frac{x-4}{3}$

Contoh 3.

Jika $f(x)=\frac{2x-5}{4x-3}$ maka $f^{-1}(x)$ = ...
Penyelesaian:
Konsep Dasar:
$\begin{align} f(x) &=\frac{2x-5}{4x-3} \\ y &=\frac{2x-5}{4x-3} \\ 4xy-3y &=2x-5 \\ 4xy-2x &=3y-5 \\ x(4y-2) &=3y-5 \\ x &=\frac{3y-5}{4y-2} \\ f^{-1}(y) &=\frac{3y-5}{4y-2} \\ f^{-1}(x) &=\frac{3x-5}{4x-2} \end{align}$
Cara Cepat:
$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\Leftrightarrow f^{-1}(x)=\frac{-dx+b}{cx-a}$
$f(x)=\frac{2x-5}{4x-3}\Leftrightarrow f^{-1}(x)=\frac{3x-5}{4x-2}$

Contoh 4.

Jika $f(x)=\sqrt{7x-4}$ maka $f^{-1}(x)$ = ...
Penyelesaian:
$\begin{align}f(x) &=\sqrt{7x-4} \\ y &=\sqrt{7x-4} \\ \sqrt{7x-4} &=y \\ 7x-4 &=y^2 \\ 7x &=y^2+4 \\ x &=\frac{y^2+4}{7} \\ f^{-1}(y) &=\frac{y^2+4}{7} \\ f^{-1}(x) &=\frac{x^2+4}{7} \\ f^{-1}(x) &=\frac{1}{7}x^2+\frac{4}{7} \end{align}$

Contoh 5.

Jika $f(x)={{3}^{x}}+5$ maka ${{f}^{-1}}(x)$ = ...
Penyelesaian:
$\begin{align}f(x) &=3^x+5 \\ y &=3^x+5 \\ 3^x + 5 &=y \\ 3^x &=y-5 \\ \log 3^x &=\log (y-5) \\ x.\log 3 &=\log (y-5) \\ x &=\frac{\log (y-5)}{\log 3} \\ x &=^3 \log (y-5) \\ f^{-1}(y) &= ^3 \log (y-5) \\ f^{-1}(x) &= ^3 \log (x-5) \end{align}$

Contoh 6.

Jika $f(x) =^3 \log (2x-7)$ maka $f^{-1}(x)$ = ...
Penyelesaian:
$\begin{align} f(x)&= ^3 \log (2x-7) \\ y &=^3 \log (2x-7) \\ ^3 \log (2x-7) &=y \\ 2x-7 &=3^y \\ 2x &=3^y+7 \\ x &=\frac{3^y+7}{2} \\ f^{-1}(y) &=\frac{3^y+7}{2} \\ f^{-1}(x) &=\frac{3^x+7}{2} \end{align}$

C. Soal Latihan

1. Jika $f(x)=4-5x$ maka $f^{-1}(x)$ = ...
2. Jika $f(x)=\frac{3-2x}{5x+2}$; untuk $x\ne -\frac{2}{5}$ maka $f^{-1}(x)$ = ...
3. Jika $f(x)=x^2-5$ maka $f^{-1}(x)$ = ...
4. Jika $f(x)=2^x$ maka $f^{-1}(x)$ = ...
5. Jika $f(x) =^2 \log (3x+4)$ maka $f^{-1}(x)$ = ...

Share :