Matriks 5. Persamaan Matriks dan Penerapan Matriks
A. Persamaan Matriks
Misalkan A, B dan X adalah matriks berordo $n\times n$ (ketiga matriks ordonya sama) dan A matriks non singular yang mempunyai invers $A^{-1}$.
1. Jika $AX=B$ maka $X=A^{-1}B$
2. Jika $XA=B$ maka $X=BA^{-1}$
Contoh 1.1. Jika $AX=B$ maka $X=A^{-1}B$
2. Jika $XA=B$ maka $X=BA^{-1}$
Tentukan matriks X berordo $2\times 2$ dari persamaan $X\left( \begin{matrix} 7 & 5 \\ 5 & 4 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 6 & -3 \\ 9 & 0 \\ \end{matrix} \right)$.
Penyelesaian:
$X\left( \begin{matrix} 7 & 5 \\ 5 & 4 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 6 & -3 \\ 9 & 0 \\ \end{matrix} \right)$ maka:
$\begin{align}X &= \left( \begin{matrix} 6 & -3 \\ 9 & 0 \\ \end{matrix} \right){{\left( \begin{matrix} 7 & 5 \\ 5 & 4 \\ \end{matrix} \right)}^{-1}} \\ &= \left( \begin{matrix} 6 & -3 \\ 9 & 0 \\ \end{matrix} \right).\frac{1}{7.4-5.5}\left( \begin{matrix} 4 & -5 \\ -5 & 7 \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} 6 & -3 \\ 9 & 0 \\ \end{matrix} \right).\frac{1}{3}\left( \begin{matrix} 4 & -5 \\ -5 & 7 \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} 6.\frac{1}{3} & -3.\frac{1}{3} \\ 9.\frac{1}{3} & 0.\frac{1}{3} \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 4 & -5 \\ -5 & 7 \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 4 & -5 \\ -5 & 7 \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} 2.4+(-1)(-5) & 2(-5)+(-1)7 \\ 3.4+0(-5) & 3(-5)+0.7 \\ \end{matrix} \right) \\ X &= \left( \begin{matrix} 13 & -27 \\ 12 & -15 \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
Contoh 2.
Tentukan matriks P berordo $2\times 2$ dari persamaan $\left( \begin{matrix} 13 & -3 \\ 8 & -2 \\ \end{matrix} \right)M=\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 0 & -6 \\ \end{matrix} \right)$.
Penyelesaian:
$\left( \begin{matrix} 13 & -3 \\ 8 & -2 \\ \end{matrix} \right)M = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 0 & -6 \\ \end{matrix} \right)$ maka:
$\begin{align}M &= {{\left( \begin{matrix} 13 & -3 \\ 8 & -2 \\ \end{matrix} \right)}^{-1}}\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 0 & -6 \\ \end{matrix} \right) \\ &= \frac{1}{-26+24}\left( \begin{matrix} -2 & 3 \\ -8 & 13 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 0 & -6 \\ \end{matrix} \right) \\ &= \frac{1}{-2}\left( \begin{matrix} -2.4+3.0 & -2.2+3(-6) \\ -8.4+13.0 & -8.2+13(-6) \\ \end{matrix} \right) \\ &= -\frac{1}{2}\left( \begin{matrix} -8 & -22 \\ -32 & -94 \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -\frac{1}{2}(-8) & -\frac{1}{2}(-22) \\ -\frac{1}{2}(-32) & -\frac{1}{2}(-94) \\ \end{matrix} \right) \\ M &= \left( \begin{matrix} 4 & 11 \\ 16 & 47 \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
B. Menyelesaikan SPLDV Menggunakan Invers Matriks
SPLDV $\left\{ \begin{align}ax+by &= p \\ cx+dy &= q \end{align} \right.$ dapat disajikan dalam bentuk persamaan matriks:
$\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} p \\ q \\ \end{matrix} \right)$ dan solusinya $\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)={{\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right)}^{-1}}\left( \begin{matrix} p \\ q \\ \end{matrix} \right)$.
Contoh:$\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} p \\ q \\ \end{matrix} \right)$ dan solusinya $\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)={{\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right)}^{-1}}\left( \begin{matrix} p \\ q \\ \end{matrix} \right)$.
Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV $\left\{ \begin{align}-x+2y &= -1 \\ 3x+2y &= 11 \end{align} \right.$.
Penyelesaian:
$\left( \begin{matrix} -1 & 2 \\ 3 & 2 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 \\ 11 \\ \end{matrix} \right)$ maka:
$\begin{align}\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right) &= {{\left( \begin{matrix} -1 & 2 \\ 3 & 2 \\ \end{matrix} \right)}^{-1}}\left( \begin{matrix} -1 \\ 11 \\ \end{matrix} \right) \\ &= \frac{1}{-1.2-2.3}\left( \begin{matrix} 2 & -2 \\ -3 & -1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} -1 \\ 11 \\ \end{matrix} \right) \\ &= \frac{1}{-8}\left( \begin{matrix} 2(-1)+(-2)11 \\ -3(-1)+(-1)11 \\ \end{matrix} \right) \\ &= -\frac{1}{8}\left( \begin{matrix} -24 \\ -8 \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -\frac{1}{8}(-24) \\ -\frac{1}{8}(-8) \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} 3 \\ 1 \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
Jadi, HP = {(3,1)}
C. Menyelesaikan SPLDV Menggunakan Determinan Matriks (Teorema Cramer)
SPLDV $\left\{ \begin{align}ax+by &= p \\ cx+dy &= q \end{align} \right.$ solusinya:
$x=\frac{D_x}{D}$ dan $y=\frac{D_y}{D}$ dengan:
$D=\left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right|$, $D_x=\left| \begin{matrix} p & b \\ q & d \\ \end{matrix} \right|$ dan $D_y=\left| \begin{matrix} a & p \\ c & q \\ \end{matrix} \right|$
Hubungan determinan dengan banyaknya penyelesaian SPLDV.
Contoh:$x=\frac{D_x}{D}$ dan $y=\frac{D_y}{D}$ dengan:
$D=\left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right|$, $D_x=\left| \begin{matrix} p & b \\ q & d \\ \end{matrix} \right|$ dan $D_y=\left| \begin{matrix} a & p \\ c & q \\ \end{matrix} \right|$
Hubungan determinan dengan banyaknya penyelesaian SPLDV.
- Jika $D\ne 0$, maka SPLDV memiliki satu penyelesaian. mempunyai tepat satu anggota.
- Jika $D=0$, $D_x\ne 0$ dan $D_y\ne 0$ maka SPLDV tidak memiliki penyelesaian.
- Jika $D=0$, $D_x=0$ dan $D_y=0$ maka SPLDV memiliki tak berhingga banyaknya penyelesaian.
Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV $\left\{ \begin{align}10x+3y &= 49 \\ 3x-5y &= -3 \end{align} \right.$.
Penyelesaian:
$D=\left| \begin{matrix} 10 & 3 \\ 3 & -5 \\ \end{matrix} \right|=10(-5)-3.3=-59$
$D_x=\left| \begin{matrix} 49 & 3 \\ -3 & -5 \\ \end{matrix} \right|=49(-5)-3(-3)=-236$ $D_y=\left| \begin{matrix} 10 & 49 \\ 3 & -3 \\ \end{matrix} \right|=10(-3)-49.3=-177$
$x=\frac{D_x}{D}=\frac{-236}{-59}=4$
$y=\frac{D_y}{D}=\frac{-177}{-59}=3$
Jadi, HP = {(4,3)}
D. Menyelesaikan SPLTV Menggunaan Determinan Matriks (Teorema Cramer)
SPLDV $\left\{ \begin{align}ax+by+cz &= \color{red}p \\ dx+ey+fz &= \color{red}q \\ gx+hy+iz &= \color{red}r \end{align} \right.$ solusinya:
$x=\frac{D_x}{D}$, $y=\frac{D_y}{D}$ dan $z=\frac{D_z}{D}$ dengan:
$D=\left| \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{matrix} \right|$
$D_x=\left| \begin{matrix} \color{red}p & \color{black}b & \color{black}c \\ \color{red}q & \color{black}e & \color{black}f \\ \color{red}r & \color{black}h & \color{black}i \\ \end{matrix} \right|$
$D_y=\left| \begin{matrix} a & \color{red}p & \color{black}c \\ d & \color{red}q & \color{black}f \\ g & \color{red}r & \color{black}i \\ \end{matrix} \right|$
$D_z=\left| \begin{matrix} a & b & \color{red}p \\ d & e & \color{red}q \\ g & h & \color{red}r \\ \end{matrix} \right|$
Contoh:$x=\frac{D_x}{D}$, $y=\frac{D_y}{D}$ dan $z=\frac{D_z}{D}$ dengan:
$D=\left| \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{matrix} \right|$
$D_x=\left| \begin{matrix} \color{red}p & \color{black}b & \color{black}c \\ \color{red}q & \color{black}e & \color{black}f \\ \color{red}r & \color{black}h & \color{black}i \\ \end{matrix} \right|$
$D_y=\left| \begin{matrix} a & \color{red}p & \color{black}c \\ d & \color{red}q & \color{black}f \\ g & \color{red}r & \color{black}i \\ \end{matrix} \right|$
$D_z=\left| \begin{matrix} a & b & \color{red}p \\ d & e & \color{red}q \\ g & h & \color{red}r \\ \end{matrix} \right|$
Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV $\left\{ \begin{align}x-y+z &= 3 \\ x+2y+3z &= 20 \\ 2x+3y-4z &= -3 \end{align} \right.$.
Penyelesaian:
Untuk menghitung determinan bisa menggunakan Aturan Sarrus. Namun, dalam pembahasan ini kita menggunakan Metode Kofaktor baris pertama.
$\begin{align}D &= \left| \begin{matrix} \color{red}1 & \color{red}-1 & \color{red}1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & -4 \\ \end{matrix} \right| \\ &= \color{red}1\color{black}\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & -4 \\ \end{matrix} \right|-\color{red}(-1)\color{black}\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & -4 \\ \end{matrix} \right|+\color{red}1\color{black}\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{matrix} \right| \\ &= (-8-9)+(-4-6)+(3-4) \\ &= -17-10-1 \\ D &= -28 \end{align}$
$\begin{align}D_x &= \left| \begin{matrix} \color{red}3 & \color{red}-1 & \color{red}1 \\ 20 & 2 & 3 \\ -3 & 3 & -4 \\ \end{matrix} \right| \\ &= \color{red}3\color{black}\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & -4 \\ \end{matrix} \right|-\color{red}(-1)\color{black}\left| \begin{matrix} 20 & 3 \\ -3 & 3 \\ \end{matrix} \right|+\color{red}1\color{black}\left| \begin{matrix} 20 & 2 \\ -3 & 3 \\ \end{matrix} \right| \\ &= 3(-8-9)+(60+9)+(60+6) \\ &= -51+69+66 \\ D_x &= 84 \end{align}$
$\begin{align}D_y &= \left| \begin{matrix}\color{red}1 & \color{red}3 & \color{red}1 \\ 1 & 20 & 3 \\ 2 & -3 & -4 \\ \end{matrix} \right| \\ &= \color{red}1\color{black}\left| \begin{matrix} 20 & 3 \\ -3 & -4 \\ \end{matrix} \right|-\color{red}3\color{black}\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & -4 \\ \end{matrix} \right|+\color{red}1\color{black}\left| \begin{matrix} 1 & 20 \\ 2 & -3 \\ \end{matrix} \right| \\ &= \color{red}1\color{black}(-80+9)-\color{red}3\color{black}(-4-6)+\color{red}1\color{black}(-3-40) \\ &= \color{red}1\color{black}(-71)-\color{red}3\color{black}(-10)+\color{red}1\color{black}(-43) \\ &= -71+30-43 \\ D_y &= -84 \end{align}$
$\begin{align}D_z &= \left| \begin{matrix} \color{red}1 & \color{red}-1 & \color{red}3 \\ 1 & 2 & 20 \\ 2 & 3 & -3 \\ \end{matrix} \right| \\ &= \color{red}1\color{black}\left| \begin{matrix} 2 & 20 \\ 3 & -3 \\ \end{matrix} \right|-\color{red}(-1)\color{black}\left| \begin{matrix} 1 & 20 \\ 2 & -3 \\ \end{matrix} \right|+\color{red}3\color{black}\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{matrix} \right| \\ &= \color{red}1\color{black}(-6-60)+\color{red}1\color{black}(-3-40)+\color{red}3\color{black}(3-4) \\ &= -66-43-3 \\ D_z &= -112 \end{align}$
$x=\frac{D_x}{D}=\frac{84}{-28}=-3$
$y=\frac{D_y}{D}=\frac{-84}{-28}=3$
$z=\frac{D_z}{D}=\frac{-112}{-28}=4$
Jadi, HP = {$(-3,3,4)$}
E. Menentukan Luas Segi Banyak
Diketahui titik-titik $A_1(x_1,y_1)$, $A_2(x_2,y_2)$, $A_3(x_3,y_3)$, …, $A_n(x_n,y_n)$ maka luas segi banyak $A_1A_2A_3A_n$ adalah:
= $\frac{1}{2}\left| \left| \begin{matrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \end{matrix} \right|+\left| \begin{matrix} x_2 & y_2 \\ x_3 & y_3 \\ \end{matrix} \right|+...+\left| \begin{matrix} x_n & y_n \\ x_2 & y_2 \\ \end{matrix} \right|\right|$
Contoh:= $\frac{1}{2}\left| \left| \begin{matrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \end{matrix} \right|+\left| \begin{matrix} x_2 & y_2 \\ x_3 & y_3 \\ \end{matrix} \right|+...+\left| \begin{matrix} x_n & y_n \\ x_2 & y_2 \\ \end{matrix} \right|\right|$
Diberikan titik-titik $A(-1,1)$, $B(5,-3)$, $C(8,8)$ dan $D(3,7)$. Tentukan luas ABCD.
Penyelesaian:
Luas ABCD adalah:
= $\frac{1}{2}\left| \left| \begin{matrix} -1 & 1 \\ 5 & -3 \\ \end{matrix} \right|+\left| \begin{matrix} 5 & -3 \\ 8 & 8 \\ \end{matrix} \right|+\left| \begin{matrix} 8 & 8 \\ 3 & 7 \\ \end{matrix} \right|+\left| \begin{matrix} 3 & 7 \\ -1 & 1 \\ \end{matrix} \right|\right|$
= $\frac{1}{2}\left| -2+64+32+10 \right|$
= $\frac{1}{2}.\left| 104 \right|$
= $\frac{1}{2}.104$
= 52 satuan luas.
F. Soal Latihan
- Tentukan matriks M berordo $2\times 2$ yang memenuhi persamaan $\left( \begin{matrix} 11 & -5 \\ -6 & 3 \\ \end{matrix} \right)P=\left( \begin{matrix} 1 & -3 \\ 5 & 7 \\ \end{matrix} \right)$.
- Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV $\left\{ \begin{align}2x-3y &= -3 \\ 3x-2y &= -7 \end{align} \right.$ menggunakan determinan matriks.
- Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV $\left\{ \begin{align}3p+7q &= 2 \\ 2p+5q &= -3 \end{align} \right.$ menggunakan invers matriks.
- Carilah himpunan penyelesaian dari SPLTV $\left\{ \begin{align}x+y-z &= 3 \\ -x+y+z &= 7 \\ x-y+z &= 1 \end{align} \right.$ menggunakan determinan matriks.
- Diberikan titik-titik $P(5,-3)$, $Q(8,8)$ dan $R(3,7)$. Tentukan luas segitiga PQR.
Semoga postingan: Matriks 5. Persamaan Matriks dan Penerapan Matriks ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.
Post a Comment for "Matriks 5. Persamaan Matriks dan Penerapan Matriks"
Pertanyaan melalui kolom komentar akan direspon secepatnya. Jika tidak direspon, berarti pertanyaan serupa telah ada.