Notasi Sigma
A. Notasi Sigma
Notasi sigma adalah “$\sum$”, lambang ini berasal dari huruf Yunani yang artinya “penjumlahan”. Lengkapnya notasi sigma ini adalah:
$\sum\limits_{Bb}^{Ba}{Rumus}$; dengan Bb adalah batas bawah dan Ba adalah batas atas.
Notasi sigma digunakan untuk menyatakan penjumlahan suku-suku suatu barisan bilangan yang disebut deret bilangan.
Aturan suku-suku barisan bilangan dinyatakan dengan rumus notasi sigma. Suku awal dimulai dari batas bawah dan suku terakhir dari batas atas pada notasi sigma.
Domain dari batas bawah sampai dengan batas atas adalah bilangan bulat yang berurutan.
$\sum\limits_{Bb}^{Ba}{Rumus}$; dengan Bb adalah batas bawah dan Ba adalah batas atas.
Notasi sigma digunakan untuk menyatakan penjumlahan suku-suku suatu barisan bilangan yang disebut deret bilangan.
Aturan suku-suku barisan bilangan dinyatakan dengan rumus notasi sigma. Suku awal dimulai dari batas bawah dan suku terakhir dari batas atas pada notasi sigma.
Domain dari batas bawah sampai dengan batas atas adalah bilangan bulat yang berurutan.
Contoh 1.
Uraikan dan tentukan nilai dari $\sum\limits_{i=1}^{4}{(i^2+3)}$
Penyelesaian:
$\sum\limits_{i=1}^{4}{(i^2+3)}$
= $(1^2+3)$ + $(2^2+3)$ + $(3^2+3)$ + $(4^2+3)$
= 4 + 7 + 12 + 19
= 42
Contoh 2.
Uraikan dan tentukan nilai dari $\sum\limits_{n=4}^{7}{(2n-3)}$
Penyelesaian:
$\sum\limits_{n=4}^{7}{(2n-3)}$
= $(2.4-3)$ + $(2.5-3)$ + $(2.6-3)$ + $(2.7-3)$
= 5 + 7 + 9 + 11
= 32
Contoh 3.
Uraikan dan tentukan nilai dari $\sum\limits_{k=2}^{4}{\left( \frac{1}{k+1}-\frac{1}{k} \right)}$
Penyelesaian:
$\sum\limits_{k=2}^{4}{\left( \frac{1}{k+1}-\frac{1}{k} \right)}$
= $\left( \frac{1}{2+1}-\frac{1}{2} \right)$ + $\left( \frac{1}{3+1}-\frac{1}{3} \right)$ + $\left( \frac{1}{4+1}-\frac{1}{4} \right)$
= $\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{2} \right)$ + $\left( \frac{1}{4}-\frac{1}{3} \right)$ + $\left( \frac{1}{5}-\frac{1}{4} \right)$
= $-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$
= $-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}$
= $-\frac{5}{10}+\frac{2}{10}$
= $-\frac{3}{10}$
Contoh 4.
Tuliskan penjumlahan berikut ini dengan menggunakan notasi sigma:
1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22
Penyelesaian:
1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22
= (3.1 – 2) + (3.2 – 2) + (3.3 – 2) + (3.4 – 2) + (3.5 – 2) + (3.6 – 2) + (3.7 – 2) + (3.8 – 2)
= $\sum\limits_{n=1}^{8}{(3n-2)}$
B. Sifat-sifat Notasi Sigma
- $\sum\limits_{i=1}^{n}{u_i}$=$\sum\limits_{j=1}^{j}{u_j}$
- $\sum\limits_{i=1}^{n}{k.u_i}$=$k.\sum\limits_{i=1}^{n}{u_i}$; $k$ = konstanta
- $\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( u_i\pm {{v}_{i}} \right)}$=$\sum\limits_{i=1}^{n}{u_i}\pm \sum\limits_{i=1}^{n}{{{v}_{i}}}$
- $\sum\limits_{i=1}^{m}{u_i}+\sum\limits_{i=m+1}^{n}{u_i}$=$\sum\limits_{i=1}^{n}{u_i}$
- $\sum\limits_{i=a}^{b}{u_i}$=$\sum\limits_{i=a+k}^{b+k}{u_{(i-k)}}$
- $\sum\limits_{i=a}^{b}{u_i}$=$\sum\limits_{i=a-k}^{b-k}{u_{(i+k)}}$
Dengan menggunakan notasi sigma sederhanakan $9\sum\limits_{p=1}^{15}{p^2}-6\sum\limits_{p=1}^{15}{p}+15$.
Penyelesaian:
$9\sum\limits_{p=1}^{15}{p^2}-6\sum\limits_{p=1}^{15}{p}+15$
= $\sum\limits_{p=1}^{15}{9p^2}-\sum\limits_{p=1}^{15}{6p}+\sum\limits_{p=1}^{15}{1}$
= $\sum\limits_{p=1}^{15}{(9p^2-6p+1)}$
= $\sum\limits_{p=1}^{15}{{{(3p-1)}^{2}}}$
Contoh 2.
Diketahui $\sum\limits_{i=1}^{3}{U_i}=-4$ dan $\sum\limits_{j=1}^{10}{4U_j}=96$. Tentukan nilai $\sum\limits_{i=4}^{10}{2U_i}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}\sum\limits_{j=1}^{10}{4U_j} &= 96 \\ \sum\limits_{i=1}^{10}{4U_i} &= 96 \\ 4\sum\limits_{i=1}^{10}{U_i} &= 96 \\ \sum\limits_{i=1}^{10}{U_i} &= 24 \\ \sum\limits_{i=1}^{3}{U_i}+\sum\limits_{i=4}^{10}{U_i} &= 24 \\ -4+\sum\limits_{i=4}^{10}{U_i} &= 24 \\ \sum\limits_{i=4}^{10}{U_i} &= 28 \end{align}$
$\begin{align}\sum\limits_{i=4}^{10}{2U_i} &= 2\sum\limits_{i=4}^{10}{U_i} \\ &= 2\times 28 \\ &= 56 \end{align}$
Jadi, nilai $\sum\limits_{i=4}^{10}{2U_i}=56$.
Contoh 3.
Diketahui notasi $\sum\limits_{i=4}^{8}{(6i+5)}$, ubahlah batas bawahnya menjadi satu.
Penyelesaian:
$\begin{align}\sum\limits_{i=4}^{8}{(6i+5)} &= \sum\limits_{i=4-3}^{8-3}{(6(i+3)+5)} \\ &= \sum\limits_{i=1}^{5}{(6i+18+5)} \\ &= \sum\limits_{i=1}^{5}{(6i+23)} \end{align}$
Contoh 4.
Diketahui notasi $\sum\limits_{n=3}^{15}{(2n^2+3n)}$, ubahlah batas bawahnya menjadi lima.
Penyelesaian:
$\sum\limits_{n=3}^{15}{(2n^2+3n)}$
= $\sum\limits_{n=3+2}^{15+2}{(2(n-2)^2+3(n-2))}$
= $\sum\limits_{n=5}^{17}{(2(n^2-4n+4)+3n-6)}$
= $\sum\limits_{n=5}^{17}{(2n^2-8n+8+3n-6)}$
= $\sum\limits_{n=5}^{17}{(2n^2-5n+2)}$
Contoh 5.
Tuliskan bentuk sederhana dari $\sum\limits_{n=1}^{10}{(p-1)^2}-\sum\limits_{n=1}^{10}{(6p+5)}$.
Penyelesaian:
$\sum\limits_{n=1}^{10}{(p-1)^2}-\sum\limits_{n=1}^{10}{(6p+5)}$
= $\sum\limits_{n=1}^{10}{((p-1)^2-(6p+5)})$
= $\sum\limits_{n=1}^{10}{(p^2-2p+1-6p-5})$
= $\sum\limits_{n=1}^{10}{(p^2-8p-4})$
C. Rumus-rumus Jumlah Khusus
- $\sum\limits_{i=1}^{n}{c}=n.c$
- $\sum\limits_{i=1}^{n}{i}$ = $1 + 2 + 3 + … + n$ = $\frac{n(n+1)}{2}$
- $\sum\limits_{i=1}^{n}{i^2}$ = $1^2$ + $2^2$ + $3^2$ + … + $n^2$ = $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
- $\sum\limits_{i=1}^{n}{i^3}$ = $1^3$ + $2^3$ + $3^3$ + … + $n^3$ = ${{\left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]}^{2}}$
- $\sum\limits_{i=1}^{n}{i^4}$ = $1^4$ + $2^4$ + $3^4$ + … + $n^4$ = $\frac{n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)}{30}$
Contoh 1.
Diketahui $\sum\limits_{i=1}^{10}{a_i}=40$ dan $\sum\limits_{i=1}^{10}{b_i}=50$, tentukan nilai $\sum\limits_{i=1}^{10}{(4a_i-b_i+2)}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}\sum\limits_{i=1}^{10}{(4a_i-b_i+2)} &= \sum\limits_{i=1}^{10}{4a_i}-\sum\limits_{i=1}^{10}{b_i}+\sum\limits_{i=1}^{10}{2} \\ &= 4.\sum\limits_{i=1}^{10}{a_i}-\sum\limits_{i=1}^{10}{b_i}+\sum\limits_{i=1}^{10}{2} \\ &= 4.40-50+10.2 \\ &= 160-50+20 \\ &= 130 \end{align}$
Contoh 2.
Tentukan nilai dari $\sum\limits_{i=3}^{22}{(2i^2-3i+5)}$.
Penyelesaian:
$\sum\limits_{i=3}^{22}{(2i^2-3i+5)}$
= $\sum\limits_{i=3}^{22}{2i^2}-\sum\limits_{i=3}^{22}{3i}+\sum\limits_{i=3}^{22}{5}$
= $2.\sum\limits_{i=3}^{22}{i^2}-3.\sum\limits_{i=3}^{22}{i}+\sum\limits_{i=3}^{22}{5}$
= $2.\frac{22(22+1)(2.22+1)}{6}-3.\frac{22(22+1)}{2}+22.5$
= $2.\frac{22\times 23\times 45}{6}-3.\frac{22\times 23}{2}+22.5$
= $2\times 11\times 7\times 45-3.11\times 23+110$
= 6.930 – 759 + 110
= 6.281
Contoh 3.
Tentukan nilai dari $\sum\limits_{k=1}^{40}{5k}-\sum\limits_{k=1}^{40}{(k+5)}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}\sum\limits_{k=1}^{40}{5k}-\sum\limits_{k=1}^{40}{(k+5)} &= \sum\limits_{k=1}^{40}{(5k-k-5)} \\ &= \sum\limits_{k=1}^{40}{(4k-5)} \\ &= 4\sum\limits_{k=1}^{40}{k}-\sum\limits_{k=1}^{40}{5} \\ &= 4.\frac{40(40+1)}{2}-40.5 \\ &= 4.20\times 41-200 \\ &= \text{3}\text{.080} \end{align}$
Contoh 4.
Tentukan nilai dari $\sum\limits_{p=1}^{10}{(5i^3-7)}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}\sum\limits_{p=1}^{10}{(5i^3-7)} &= \sum\limits_{p=1}^{10}{5i^3}-\sum\limits_{p=1}^{10}{7} \\ &= 5.\sum\limits_{p=1}^{10}{i^3}-\sum\limits_{p=1}^{10}{7} \\ &= 5.\left[ \frac{10(10+1)}{2} \right]^2-10.7 \\ &= 5.\left[ 5\times 11 \right]^2-70 \\ &= 5\times 55^2-70 \\ &= 5\times \text{3025}-70 \\ &= \text{15}\text{.055} \end{align}$
D. Soal Latihan
- Diketahui $\sum\limits_{p=4}^{20}{(3-5p)}$ ubah menjadi notasi sigma lain yang nilainya sama dengan batas bawah sepuluh.
- Tentukan nilai dari $\sum\limits_{k=8}^{1945}{(3k-8)}$.
- Tentukan nilai dari $\sum\limits_{k=9}^{15}{(7k+3)}+\sum\limits_{k=1}^{8}{(7k+3)}$.
- Diketahui $\sum\limits_{i=1}^{10}{(2+ak)}=0$, tentukan nilai $a$.
- Tentukan nilai dari $\sum\limits_{i=1945}^{2023}{\left( \frac{1}{i+1}-\frac{1}{i} \right)}$.
Semoga postingan: Notasi Sigma ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.
Post a Comment for "Notasi Sigma"
Pertanyaan melalui kolom komentar akan direspon secepatnya. Jika tidak direspon, berarti pertanyaan serupa telah ada.