Soal Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat dan Pembahasan

Hallo...! Pengunjung setia Catatan Matematika, kali ini Bang RP (Reikson Panjaitan, S.Pd) berbagi kumpulan soal Persamaan Trigonometri Berbentuk Persamaan Kuadrat berserta pembahasannya. Ayo... manfaatkan website Catatan Matematika ini untuk belajar matematika secara online.

Tata Cara Belajar:
Cobalah mengerjakan soal-soal yang tersedia secara mandiri. Setelah itu cek jawaban kamu dengan pembahasan yang telah disediakan, dengan cara:
klik "LIHAT/TUTUP:".

---

Soal Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat No. 1

Himpunan penyelesaian persamaan $\cos 2x+7\sin x+3=0$ untuk $0^\circ < x < 360^\circ $ adalah ….
A. $\{0^\circ ,90^\circ \}$
B. $\{90^\circ ,270^\circ \}$
C. $\{30^\circ ,130^\circ \}$
D. $\{210^\circ ,330^\circ \}$
E. $\{180^\circ ,360^\circ \}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{align}\cos 2x+7\sin x+3 &= 0 \\ 1-2{{\sin }^2}x+7\sin x+3 &= 0 \\ -2{{\sin }^2}x+7\sin x+4 &= 0 \\ 2{{\sin }^2}x-7\sin x-4 &= 0 \end{align}$
Misal $\sin x=p$ maka:
$\begin{align}2{{\sin }^2}x-7\sin x-4 &= 0 \\ 2p^2-7p-4 &= 0 \\ (p-4)(2p+1) &= 0 \end{align}$
Kasus 1.
$\begin{align}p-4 &= 0 \\ p &= 4 \\ \sin x &= 4 \end{align}$
(ditolak, karena nilai maksimum $\sin x$ adalah 1).
Kasus 2.
$\begin{align}2p+1 &= 0 \\ 2p &= -1 \\ p &= -\frac{1}{2} \\ \sin x &= -\frac{1}{2} \end{align}$
diperoleh $x=210^\circ $ atau $x=330^\circ $
HP = $\{210^\circ ,330^\circ \}$
Jawaban: D

Soal Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat No. 2

Himpunan penyelesaian persamaan $\cos 2x+3\sin x=2$ untuk $0^\circ \le x\le 360^\circ $ adalah ….
A. $\{30^\circ ,90^\circ \}$
B. $\{30^\circ ,150^\circ \}$
C. $\{0^\circ ,30^\circ ,90^\circ \}$
D. $\{30^\circ ,90^\circ ,150^\circ \}$
E. $\{30^\circ ,90^\circ ,150^\circ ,180^\circ \}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Baca: Rumus Trigonometri Sudut Ganda, $\cos 2\alpha =1-2{{\sin }^2}\alpha $.
$\begin{align}\cos 2x+3\sin x &= 2 \\ 1-2{{\sin }^2}x+3\sin x &= 2 \\ -2{{\sin }^2}x+3\sin x-1 &= 0 \\ 2{{\sin }^2}x-3\sin x+1 &= 0 \end{align}$
Misal $\sin x=p$ maka:
$\begin{align}2{{\sin }^2}x-3\sin x+1 &= 0 \\ 2p^2-3p+1 &= 0 \\ (2p-1)(p-1) &= 0 \end{align}$
Kasus 1.
$\begin{align}2p-1 &= 0 \\ 2p &= 1 \\ p &= \frac{1}{2} \\ \sin x &= \frac{1}{2} \end{align}$
diperoleh $x=30^\circ $ atau $x=150^\circ $
Kasus 2.
$\begin{align}p-1 &= 0 \\ p &= 1 \\ \sin x &= 1 \end{align}$
$x=90^\circ $
Dari kasus 1 dan kasus 2 diperoleh:
HP = $\{30^\circ ,90^\circ ,150^\circ \}$
Jawaban: D

Soal Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat No. 3

Himpunan penyelesaian persamaan $\cos 2x-2\sin x=1$ untuk $0\le x < 2\pi $ adalah ….
A. $\left\{ 0,\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi \right\}$
B. $\left\{ 0,\pi ,\frac{1}{2}\pi ,2\pi \right\}$
C. $\left\{ 0,\pi ,\frac{2}{3}\pi ,2\pi \right\}$
D. $\left\{ 0,\pi ,2\pi \right\}$
E. $\left\{ 0,\pi ,\frac{3\pi }{2} \right\}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Baca: Rumus Trigonometri Sudut Ganda, $\cos 2\alpha =1-2{{\sin }^2}\alpha $.
$\begin{align}\cos 2x-2\sin x &= 1 \\ (1-2{{\sin }^2}x)-2\sin x &= 1 \\ -2{{\sin }^2}x-2\sin x &= 0 \\ {{\sin }^2}x+\sin x &= 0 \\ \sin x(\sin x+1) &= 0 \end{align}$
Kasus 1.
$\sin x=0$ maka $x=0^\circ $, \[x=180^\circ \] atau $x=360^\circ $
Kasus 2.
$\sin x+1=0\Leftrightarrow \sin x=-1$ maka $x=270^\circ $
Dari kasus 1 dan kasus 2 diperoleh:
HP = $\left\{ 0^\circ ,180^\circ ,270^\circ ,360^\circ \right\}$ atau
HP = $\left\{ \frac{0^\circ }{180^\circ }\pi ,\frac{180^\circ }{180^\circ }\pi ,\frac{270^\circ }{180^\circ }\pi ,\frac{360^\circ }{180^\circ }\pi \right\}$ = $\left\{ 0,\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi \right\}$
Jawaban: A

Soal Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat No. 4

Himpunan penyelesaian dari persamaan $\cos 4x+3\sin 2x=-1$ untuk $0^\circ \le x\le 180^\circ $ adalah ….
A. $\{120^\circ ,150^\circ \}$
B. $\{105^\circ ,165^\circ \}$
C. $\{30^\circ ,150^\circ \}$
D. $\{30^\circ ,165^\circ \}$
E. $\{15^\circ ,105^\circ \}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Baca: Rumus Trigonometri Sudut Ganda, $\cos 2\alpha =1-2{{\sin }^2}\alpha $.
$\begin{align}\cos 4x+3\sin 2x &= -1 \\ (1-2{{\sin }^2}2x)+3\sin 2x &= -1 \\ -2{{\sin }^2}2x+3\sin 2x+2 &= 0 \\ 2{{\sin }^2}2x-3\sin 2x-2 &= 0 \end{align}$
Misal $\sin 2x=p$ maka:
$\begin{align}2{{\sin }^2}2x-3\sin 2x-2 &= 0 \\ 2p^2-3p-2 &= 0 \\ (p-2)(2p+1) &= 0 \end{align}$
Kasus 1.
$\begin{align}p-2 &= 0 \\ p &= 2 \\ \sin 2x &= 2 \end{align}$
(ditolak karena nilai $\sin 2x$ maksimum 1)
Kasus 2.
$\begin{align}2p+1 &= 0 \\ 2p &= -1 \\ p &= -\frac{1}{2} \\ \sin 2x &= -\frac{1}{2} \\ \sin 2x &= \sin 210^\circ \end{align}$
1) $f(x)=g(x)+k.360^\circ $
$\begin{align}2x &= 210^\circ +k.360^\circ \\ x &= 105^\circ +k.180^\circ \end{align}$
$k=0\to x=105^\circ $
2) $f(x)=(180^\circ -g(x))+k.360^\circ $
$\begin{align}2x &= (180^\circ -210^\circ )+k.360^\circ \\ 2x &= -30^\circ +k.360^\circ \\ x &= -15^\circ +k.180^\circ \end{align}$
$k=1\to x=165^\circ $
HP = $\{105^\circ ,165^\circ \}$
Jawaban: B

Soal Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat No. 5

Himpunan penyelesaian persamaan $\cos 2x-3\cos x+2=0$ untuk $0^\circ \le x\le 360^\circ $ adalah ….
A. $\{60^\circ ,300^\circ \}$
B. $\{0^\circ ,60^\circ ,300^\circ \}$
C. $\{0^\circ ,60^\circ ,180^\circ ,360^\circ \}$
D. $\{0^\circ ,60^\circ ,300^\circ ,360^\circ \}$
E. $\{0^\circ ,60^\circ ,120^\circ ,360^\circ \}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Baca: Rumus Trigonometri Sudut Ganda, $\cos 2\alpha =2{{\cos }^2}\alpha -1$.
$\begin{align}\cos 2x-3\cos x+2 &= 0 \\ (2{{\cos }^2}x-1)-3\cos x+2 &= 0 \\ 2{{\cos }^2}x-3\cos x+1 &= 0 \end{align}$
Misal $\cos x=p$ maka:
$\begin{align}2{{\cos }^2}x-3\cos x+1 &= 0 \\ 2p^2-3p+1 &= 0 \\ (2p-1)(p-1) &= 0 \end{align}$
Kasus 1.
$\begin{align}2p-1 &= 0 \\ 2p &= 1 \\ p &= \frac{1}{2} \\ \cos x &= \frac{1}{2} \end{align}$
diperoleh $x=60^\circ $ atau $x=300^\circ $
Kasus 2.
$\begin{align}p-1 &= 0 \\ p &= 1 \\ \cos x &= 1 \end{align}$
diperoleh $x=0^\circ $ atau $x=360^\circ $
Dari kasus 1 dan kasus 2 diperoleh:
HP = $\{0^\circ ,60^\circ ,300^\circ ,360^\circ \}$
Jawaban: D

Soal Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat No. 6

Himpunan penyelesaian persamaan $\cos 2x-2\cos x=-1$ untuk $0 < x < 2\pi $ adalah ….
A. $\left\{ 0,\frac{1}{2}\pi ,\frac{3}{2}\pi ,2\pi \right\}$
B. $\left\{ 0,\frac{1}{2}\pi ,\frac{2}{3}\pi ,2\pi \right\}$
C. $\left\{ 0,\frac{1}{2}\pi ,\pi ,\frac{3}{2}\pi \right\}$
D. $\left\{ 0,\frac{1}{2}\pi ,\frac{2}{3}\pi \right\}$
E. $\left\{ 0,\frac{1}{2}\pi ,\pi \right\}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Baca: Rumus Trigonometri Sudut Ganda, $\cos 2\alpha =2{{\cos }^2}\alpha -1$.
$\begin{align}\cos 2x-2\cos x &= -1 \\ (2{{\cos }^2}x-1)-2\cos x &= -1 \\ 2{{\cos }^2}x-2\cos x &= 0 \\ {{\cos }^2}x-\cos x &= 0 \\ \cos x(\cos x-1) &= 0 \end{align}$
Kasus 1.
$\cos x=0$ maka $x=90^\circ $ atau $x=270^\circ $
Kasus 2.
$\cos x-1=0\Leftrightarrow \cos x=1$ maka $x=0^\circ $ atau $x=360^\circ $
Dari kasus 1 dan kasus 2 diperoleh:
HP = $\{0^\circ ,90^\circ ,270^\circ ,360^\circ \}$ atau
HP = $\left\{ 0,\frac{1}{2}\pi ,\frac{3}{2}\pi ,2\pi \right\}$
Jawaban: A

Soal Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat No. 7

Himpunan penyelesaian dari persamaan $2(\cos 2x-{{\cos }^2}x)+\cos x+1=0$ untuk $0^\circ \le x\le 360^\circ $ adalah ….
A. $\{30^\circ ,150^\circ ,270^\circ \}$
B. $\{30^\circ ,150^\circ ,300^\circ \}$
C. $\{60^\circ ,180^\circ ,300^\circ \}$
D. $\{60^\circ ,270^\circ ,300^\circ \}$
E. $\{60^\circ ,180^\circ ,360^\circ \}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Baca: Rumus Trigonometri Sudut Ganda, $\cos 2\alpha =2{{\cos }^2}\alpha -1$.
$\begin{align}2(\cos 2x-{{\cos }^2}x)+\cos x+1 &= 0 \\ 2(2{{\cos }^2}x-1-{{\cos }^2}x)+\cos x+1 &= 0 \\ 2({{\cos }^2}x-1)+\cos x+1 &= 0 \\ 2{{\cos }^2}x+\cos x-1 &= 0 \end{align}$
Misal $\cos x=p$ maka:
$\begin{align}2{{\cos }^2}x+\cos x-1 &= 0 \\ 2p^2+p-1 &= 0 \\ (2p-1)(p+1) &= 0 \end{align}$
Kasus 1.
$\begin{align}2p-1 &= 0 \\ 2p &= 1 \\ p &= \frac{1}{2} \\ \cos x &= \frac{1}{2} \end{align}$
diperoleh $x=60^\circ $ atau $x=300^\circ $
Kasus 2.
$\begin{align}p+1 &= 0 \\ p &= -1 \\ \cos x &= -1 \end{align}$
diperoleh $x=180^\circ $
Dari kasus 1 dan kasus 2 diperoleh:
HP = $\{60^\circ ,180^\circ ,300^\circ \}$
Jawaban: C

Soal Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat No. 8

Himpunan penyelesaian dari persamaan $2{{\cos }^2}x+5\sin x-4=0$ untuk $0^\circ \le x\le 360^\circ $ adalah ….
A. $\{30^\circ ,150^\circ \}$
B. $\{30^\circ ,300^\circ \}$
C. $\{60^\circ ,150^\circ \}$
D. $\{60^\circ ,300^\circ \}$
E. $\{150^\circ ,300^\circ \}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{align}2{{\cos }^2}x+5\sin x-4 &= 0 \\ 2(1-{{\sin }^2}x)+5\sin x-4 &= 0 \\ 2-2{{\sin }^2}x+5\sin x-4 &= 0 \\ -2{{\sin }^2}x+5\sin x-2 &= 0 \\ 2{{\sin }^2}x-5\sin x+2 &= 0 \end{align}$
Misal $\sin x=p$ maka:
$\begin{align}2{{\sin }^2}x-5\sin x+2 &= 0 \\ 2p^2-5p+2 &= 0 \\ (p-2)(2p-1) &= 0 \end{align}$
Kasus 1.
$\begin{align}p-2 &= 0 \\ p &= 2 \\ \sin x &= 2 \end{align}$
(ditolak karena nilai maksimum $\sin x$ adalah 1).
Kasus 2.
$\begin{align}2p-1 &= 0 \\ 2p &= 1 \\ p &= \frac{1}{2} \\ \sin x &= \frac{1}{2} \end{align}$
$x=30^\circ $ atau $x=150^\circ $
HP = $\{30^\circ ,150^\circ \}$
Jawaban: A

Soal Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat No. 9

Nilai $x$ yang memenuhi persamaan ${{\sin }^2}2x+\sin 2x=0$ untuk $0^\circ < x < 360^\circ $ adalah ….
A. $\{90^\circ ,180^\circ ,150^\circ \}$
B. $\{90^\circ ,135^\circ ,270^\circ \}$
C. $\{90^\circ ,135^\circ ,150^\circ ,180^\circ \}$
D. $\{90^\circ ,120^\circ ,180^\circ ,300^\circ \}$
E. $\{90^\circ ,135^\circ ,180^\circ ,270^\circ ,315^\circ \}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{align}{{\sin }^2}2x+\sin 2x &= 0 \\ \sin 2x(\sin 2x+1) &= 0 \end{align}$
Kasus 1.
$\begin{align}\sin 2x &= 0 \\ \sin 2x &= \sin 0^\circ \end{align}$
Persamaan trigonometri dasar, $\sin f(x)=\sin g(x)$ maka $f(x)=2x$ dan $g(x)=0^\circ $ maka:
1) $f(x)=g(x)+k.360^\circ $
$\begin{align}2x &= 0^\circ +k.360^\circ \\ x &= k.180^\circ \end{align}$
$k=1\to x=180^\circ $
2) $f(x)=(180^\circ -g(x))+k.360^\circ $
$\begin{align}2x &= (180^\circ -0^\circ )+k.360^\circ \\ 2x &= 180^\circ +k.360^\circ \\ x &= 90^\circ +k.180^\circ \end{align}$
$k=0\to x=90^\circ $
$k=1\to x=270^\circ $
HP1 = $\{90^\circ ,180^\circ ,270^\circ \}$
Kasus 2.
$\begin{align}\sin 2x+1 &= 0 \\ \sin 2x &= -1 \\ \sin 2x &= \sin 270^\circ \end{align}$
Persamaan trigonometri dasar, $\sin f(x)=\sin g(x)$ maka $f(x)=2x$ dan $g(x)=270^\circ $ maka:
1) $f(x)=g(x)+k.360^\circ $
$\begin{align}2x &= 270^\circ +k.360^\circ \\ x &= 135^\circ +k.180^\circ \end{align}$
$k=0\to x=135^\circ $
$k=1\to x=315^\circ $
2) $f(x)=(180^\circ -g(x))+k.360^\circ $
$\begin{align}2x &= (180^\circ -270^\circ )+k.360^\circ \\ 2x &= -90^\circ +k.360^\circ \\ x &= -45^\circ +k.180^\circ \end{align}$
$k=1\to x=135^\circ $
$k=2\to x=315^\circ $
HP2 = $\{135^\circ ,315^\circ \}$
Dari kasus 1 dan kasus 2 maka:
HP = $\{90^\circ ,135^\circ ,180^\circ ,270^\circ ,315^\circ \}$
Jawaban: E

Soal Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat No. 10

Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\cos 2x+7\sin x-4=0$ untuk $0^\circ \le x\le 360^\circ $ adalah ….
A. $\{30^\circ ,150^\circ \}$
B. $\{60^\circ ,120^\circ \}$
C. $\{240^\circ ,300^\circ \}$
D. $\{120^\circ ,240^\circ \}$
E. $\{210^\circ ,330^\circ \}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{align}\cos 2x+7\sin x-4 &= 0 \\ 1-2{{\sin }^2}x+7\sin x-4 &= 0 \\ -2{{\sin }^2}x+7\sin x-3 &= 0 \\ 2{{\sin }^2}x-7\sin x+3 &= 0 \end{align}$
Misal $\sin x=p$ maka:
$\begin{align}2{{\sin }^2}x-7\sin x+3 &= 0 \\ 2p^2-7p+3 &= 0 \\ (p-3)(2p-1) &= 0 \end{align}$
Kasus 1.
$\begin{align}p-3 &= 0 \\ p &= 3 \\ \sin x &= 3 \end{align}$
(ditolak karena nilai maksimum $\sin x$ adalah 1).
Kasus 2.
$\begin{align}2p-1 &= 0 \\ 2p &= 1 \\ p &= \frac{1}{2} \\ \sin x &= \frac{1}{2} \end{align}$
$x=30^\circ $ atau $x=150^\circ $
HP = $\{30^\circ ,150^\circ \}$
Jawaban: A

Soal Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat No. 11

Himpunan penyelesaian persamaan trigonometri ${{\sin }^2}x-3\sin x+2=0$ untuk $0^\circ \le x\le 180^\circ $ adalah ….
A. $\{90^\circ \}$
B. $\{0^\circ \}$
C. $\{45^\circ \}$
D. $\{30^\circ \}$
E. $\{60^\circ \}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Misal $\sin x=p$ maka:
$\begin{align}{{\sin }^2}x-3\sin x+2 &= 0 \\ p^2-3p+2 &= 0 \\ (p-2)(p-1) &= 0 \end{align}$
Kasus 1.
$\begin{align}p-2 &= 0 \\ p &= 2 \\ \sin x &= 2 \end{align}$
(ditolak karena nilai maksimum $\sin x$ adalah 1).
Kasus 2.
$\begin{align}p-1 &= 0 \\ p &= 1 \\ \sin x &= 1 \\ x &= 90^\circ \end{align}$
HP = $\{90^\circ \}$
Jawaban: A

Soal Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat No. 12

Himpunan penyelesaian persamaan $2{{\cos }^2}x-5\cos x+2=0$ pada $0^\circ \le x\le 360^\circ $ adalah ….
A. $\{0^\circ \}$
B. $\{45^\circ \}$
C. $\{60^\circ \}$
D. $\{30^\circ \}$
E. $\{90^\circ \}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Misal $\cos x=p$ maka:
$\begin{align}2{{\cos }^2}x-5\cos x+2 &= 0 \\ 2p^2-5p+2 &= 0 \\ (p-2)(2p-1) &= 0 \end{align}$
Kasus 1.
$\begin{align}p-2 &= 0 \\ p &= 2 \\ \cos x &= 2 \end{align}$
(ditolak karena nilai maksimum $\cos x$ adalah 1).
Kasus 2.
$\begin{align}2p-1 &= 0 \\ 2p &= 1 \\ p &= \frac{1}{2} \\ \cos x &= \frac{1}{2} \end{align}$
$x=60^\circ $ atau $x=300^\circ $
HP = $\{60^\circ ,300^\circ \}$
Jawaban: C

Soal Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat No. 13

Himpunan penyelesaian persamaan $2{{\cos }^2}x-3\cos x+1=0$ untuk $0 < x < 2\pi $ adalah ….
A. $\left\{ \frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6} \right\}$
B. $\left\{ \frac{\pi }{6},\frac{11\pi }{6} \right\}$
C. $\left\{ \frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3} \right\}$
D. $\left\{ \frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3} \right\}$
E. $\left\{ \frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3} \right\}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Misal $\cos x=p$ maka:
$\begin{align}2{{\cos }^2}x-3\cos x+1 &= 0 \\ 2p^2-3p+1 &= 0 \\ (2p-1)(p-1) &= 0 \end{align}$
Kasus 1.
$\begin{align}2p-1 &= 0 \\ 2p &= 1 \\ p &= \frac{1}{2} \\ \cos x &= \frac{1}{2} \end{align}$
$x=60^\circ $ atau $x=300^\circ $
Kasus 2.
$\begin{align}p-1 &= 0 \\ p &= 1 \\ \cos x &= 1 \end{align}$
$x=0^\circ $ (tidak memenuhi)
$x=360^\circ $ (tidak memenuhi)
Dari kasus 1 dan kasus 2 diperoleh:
HP = $\{60^\circ ,300^\circ \}$ atau HP = $\left\{ \frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3} \right\}$
Jawaban: D

Soal Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat No. 14

Himpunan penyelesaian $2{{\sin }^2}x-7\sin x+3=0$ untuk $0^\circ \le x\le 90^\circ $ maka $\cos x$ adalah ….
A. $-1$
B. 0
C. $\frac{1}{2}\sqrt{2}$
D. $\frac{1}{2}\sqrt{3}$
E. 1

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Misal $\sin x=p$ maka:
$\begin{align}2{{\sin }^2}x-7\sin x+3 &= 0 \\ 2p^2-7p+3 &= 0 \\ (p-3)(2p-1) &= 0 \end{align}$
Kasus 1.
$\begin{align}p-3 &= 0 \\ p &= 3 \\ \sin x &= 3 \end{align}$
(ditolak karena nilai maksimum $\sin x$ adalah 1).
Kasus 2.
$\begin{align}2p-1 &= 0 \\ 2p &= 1 \\ p &= \frac{1}{2} \\ \sin x &= \frac{1}{2} \\ x &= 30^\circ \end{align}$
$\cos x=\cos 30^\circ =\frac{1}{2}\sqrt{3}$
Jawaban: D

Soal Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat No. 15

Jika ${{\tan }^2}x-\tan x-6=0$ untuk $0 < x < \pi $ maka nilai $\sin x$ adalah ….
A. $\left\{ \frac{3\sqrt{10}}{10},\frac{2\sqrt{5}}{5} \right\}$
B. $\left\{ \frac{3\sqrt{10}}{10},-\frac{2\sqrt{5}}{5} \right\}$
C. $\left\{ -\frac{3\sqrt{10}}{10},\frac{2\sqrt{5}}{5} \right\}$
D. $\left\{ \frac{\sqrt{10}}{10},\frac{\sqrt{5}}{5} \right\}$
E. $\left\{ \frac{\sqrt{10}}{10},\frac{2\sqrt{5}}{5} \right\}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Misalkan $\tan x=p$
$\begin{align}{{\tan }^2}x-\tan x-6 &= 0 \\ p^2-p-6 &= 0 \end{align}$
diperoleh persamaan kuadrat dengan $a=1$, $b=-1$ dan $c=-6$.
Dengan rumus abc maka:
$\begin{align}p &= \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &= \frac{-(-1)\pm \sqrt{{{(-1)}^2}-4.1.(-6)}}{2.1} \\ &= \frac{1\pm \sqrt{1+24}}{2} \\ \tan x &= \frac{1\pm 5}{2} \end{align}$
Kasus 1.
$\tan x=\frac{1+5}{2}=\frac{3}{1}=\frac{de}{sa}$
$\begin{align}\sin x &= \frac{de}{mi} \\ &= \frac{de}{\sqrt{de^2+sa^2}} \\ &= \frac{3}{\sqrt{3^2+1^2}} \\ &= \frac{3}{\sqrt{10}} \\ \sin x &= \frac{3}{10}\sqrt{10} \end{align}$
Kasus 2.
$\tan x=\frac{1-5}{2}=-\frac{2}{1}=\frac{de}{sa}$
$\begin{align}\sin x=\frac{de}{mi} \\ &= \frac{de}{\sqrt{de^2+sa^2}} \\ &= \frac{2}{\sqrt{{{2}^2}+{{1}^2}}} \\ &= \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \sin x &= \frac{2}{5}\sqrt{5} \end{align}$
Berdasarkan kasus 1 dan kasus 2 maka nilai $\sin x$ adalah $\left\{ \frac{\sqrt{10}}{10},\frac{2\sqrt{5}}{5} \right\}$.
Jawaban: E

Soal Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat No. 16

Nilai $\sin x$ dari $2{{\sin }^2}x+5\sin x-3=0$ yang memenuhi untuk $-\frac{\pi }{2} < x < \frac{\pi }{2}$ adalah ….
A. $-\frac{1}{2}\sqrt{3}$
B. $-\frac{1}{2}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{2}\sqrt{2}$
E. $\frac{1}{2}\sqrt{3}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Misal $\sin x=p$ maka:
$\begin{align}2{{\sin }^2}x+5\sin x-3 &= 0 \\ 2p^2+5p-3 &= 0 \\ (p+3)(2p-1) &= 0 \end{align}$
Kasus 1.
$\begin{align}p+3 &= 0 \\ p &= -3 \\ \sin x &= -3 \end{align}$
(ditolak karena nilai minimum $\sin x$ adalah -1).
Kasus 2.
$\begin{align}2p-1 &= 0 \\ 2p &= 1 \\ p &= \frac{1}{2} \\ \sin x &= \frac{1}{2} \end{align}$
Jawaban: C

Soal Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat No. 17

Berikut ini adalah himpunan penyelesaian persamaan kuadrat trigonometri $2{{\sin }^2}2x-7\sin 2x+3=0$, $0\le x\le 2\pi $, kecuali ….
A. $\frac{\pi }{12}$
B. $\frac{5\pi }{12}$
C. $\frac{8\pi }{12}$
D. $\frac{13\pi }{12}$
E. $\frac{17\pi }{12}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Misal $\sin 2x=p$ maka:
$\begin{align}2{{\sin }^2}2x-7\sin 2x+3 &= 0 \\ 2p^2-7p+3 &= 0 \\ (p-3)(2p-1) &= 0 \end{align}$
Kasus 1.
$\begin{align}p-3 &= 0 \\ p &= 3 \\ \sin 2x &= 3 \end{align}$
(ditolak karena nilai maksimum $\sin 2x$ adalah 1).
Kasus 2.
$\begin{align}2p-1 &= 0 \\ 2p &= 1 \\ p &= \frac{1}{2} \\ \sin 2x &= \frac{1}{2} \\ \sin 2x &= \sin 30^\circ \end{align}$
Persamaan trigonometri dasar, $\sin f(x)=\sin g(x)$ dengan $f(x)=2x$ dan $g(x)=30^\circ $ maka:
1) $f(x)=g(x)+k.360^\circ $
$\begin{align}2x &= 30^\circ +k.360^\circ \\ x &= 15^\circ +k.180^\circ \end{align}$
$k=0\to x=15^\circ $
$k=1\to x=195^\circ $
2) $f(x)=(180^\circ -g(x))+k.360^\circ $
$\begin{align}2x &= (180^\circ -30^\circ )+k.360^\circ \\ 2x &= 150^\circ +k.360^\circ \\ x &= 75^\circ +k.180^\circ \end{align}$
$k=0\to x=75^\circ $
$k=1\to x=255^\circ $
HP = $\{15^\circ ,75^\circ ,195^\circ ,255^\circ \}$ atau
HP = $\left\{ \frac{15^\circ }{180^\circ }\pi ,\frac{75^\circ }{180^\circ }\pi ,\frac{195^\circ }{180^\circ }\pi ,\frac{255^\circ }{180^\circ }\pi \right\}$ = $\left\{ \frac{\pi }{12},\frac{5\pi }{12},\frac{13\pi }{12},\frac{17\pi }{12} \right\}$
Jadi, opsi yang tidak sesuai adalah C.
Jawaban: C

Soal Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat No. 18

Himpunan penyelesaian dari persamaan $2{{\sin }^2}x-9\cos x+3=0$ untuk $0^\circ \le x\le 360^\circ $ adalah ….
A. $\{30^\circ ,60^\circ \}$
B. $\{30^\circ ,300^\circ \}$
C. $\{30^\circ ,330^\circ \}$
D. $\{60^\circ ,300^\circ \}$
E. $\{60^\circ ,330^\circ \}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{align}2{{\sin }^2}x-9\cos x+3 &= 0 \\ 2(1-{{\cos }^2}x)-9\cos x+3 &= 0 \\ 2-2{{\cos }^2}x-9\cos x+3 &= 0 \\ -2{{\cos }^2}x-9\cos x+5 &= 0 \\ 2{{\cos }^2}x+9\cos x-5 &= 0 \end{align}$
Misal $\cos x=p$ maka:
$\begin{align}2{{\cos }^2}x+9\cos x-5 &= 0 \\ 2p^2+9p-5 &= 0 \\ (p+5)(2p-1) &= 0 \end{align}$
Kasus 1.
$\begin{align}p+5 &= 0 \\ p &= -5 \\ \cos x &= -5 \end{align}$
(ditolak karena nilai minimum $\cos x$ adalah -1).
Kasus 2.
$\begin{align}2p-1 &= 0 \\ 2p &= 1 \\ p &= \frac{1}{2} \\ \cos x &= \frac{1}{2} \end{align}$
$x=60^\circ $ atau $x=300^\circ $
HP = $\{60^\circ ,300^\circ \}$
Jawaban: D

Soal Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat No. 19

Himpunan penyelesaian dari persamaan $2{{\sin }^2}x+3\cos x=0$ untuk $0^\circ \le x\le 360^\circ $ adalah ….
A. $\{60^\circ ,120^\circ \}$
B. $\{30^\circ ,150^\circ \}$
C. $\{120^\circ ,240^\circ \}$
D. $\{150^\circ ,210^\circ \}$
E. $\{240^\circ ,300^\circ \}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{align}2{{\sin }^2}x+3\cos x &= 0 \\ 2(1-{{\cos }^2}x)+3\cos x &= 0 \\ 2-2{{\cos }^2}x+3\cos x &= 0 \\ 2{{\cos }^2}x-3\cos x-2 &= 0 \end{align}$
Misal $\cos x=p$ maka:
$\begin{align}2{{\cos }^2}x-3\cos x-2 &= 0 \\ 2p^2-3p-2 &= 0 \\ (p-2)(2p+1) &= 0 \end{align}$
Kasus 1.
$\begin{align}p-2 &= 0 \\ p &= 2 \\ \cos x &= 2 \end{align}$
(ditolak karena nilai maksimum $\cos x$ adalah 1).
Kasus 2.
$\begin{align}2p+1 &= 0 \\ 2p &= -1 \\ p &= -\frac{1}{2} \\ \cos x &= -\frac{1}{2} \end{align}$
$x=120^\circ $ atau $x=240^\circ $
HP = $\{120^\circ ,240^\circ \}$
Jawaban: C

Soal Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat No. 20

Himpunan penyelesaian dari persamaan $4{{\sin }^2}x-5\sin x-2=2{{\cos }^2}x$ untuk $0\le x\le 2\pi $ adalah ….
A. $\left\{ \frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6} \right\}$
B. $\left\{ \frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6} \right\}$
C. $\left\{ \frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{6} \right\}$
D. $\left\{ \frac{5\pi }{6},\frac{11\pi }{6} \right\}$
E. $\left\{ \frac{\pi }{6},\frac{7\pi }{6} \right\}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{align}4{{\sin }^2}x-5\sin x-2 &= 2{{\cos }^2}x \\ 4{{\sin }^2}x-5\sin x-2 &= 2(1-{{\sin }^2}x) \\ 4{{\sin }^2}x-5\sin x-2 &= 2-2{{\sin }^2}x \\ 6{{\sin }^2}x-5\sin x-4 &= 0 \end{align}$
Misal $\sin x=p$ maka:
$\begin{align}6{{\sin }^2}x-5\sin x-4 &= 0 \\ 6p^2-5p-4 &= 0 \\ (3p-4)(2p+1) &= 0 \end{align}$
Kasus 1.
$\begin{align}3p-4 &= 0 \\ 3p &= 4 \\ p &= \frac{4}{3} \\ \sin x &= \frac{4}{3} \end{align}$
(ditolak karena nilai maksimum $\sin x$ adalah 1).
Kasus 2.
$\begin{align}2p+1 &= 0 \\ 2p &= -1 \\ p &= -\frac{1}{2} \\ \sin x &= -\frac{1}{2} \end{align}$
$x=210^\circ $ atau $x=330^\circ $
HP = $\{210^\circ ,330^\circ \}$ atau
HP = $\left\{ \frac{210^\circ }{180^\circ }\pi ,\frac{330^\circ }{180^\circ }\pi \right\}$ = $\left\{ \frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6} \right\}$
Jawaban: B

Soal Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat No. 21

Diketahui persamaan $2{{\cos }^2}x-5\cos x+2=0$ pada $0 < x < \frac{\pi }{2}$. Himpunan penyelesaian $\sin x$ yang memenuhi adalah ….
A. $\varnothing $
B. {0}
C. $\left\{ \frac{1}{2} \right\}$
D. $\left\{ \frac{1}{2}\sqrt{2} \right\}$
E. $\left\{ \frac{1}{2}\sqrt{3} \right\}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Misal $\cos x=p$ maka:
$\begin{align}2{{\cos }^2}x-5\cos x+2 &= 0 \\ 2p^2-5p+2 &= 0 \\ (p-2)(2p-1) &= 0 \end{align}$
Kasus 1.
$\begin{align}p-2 &= 0 \\ p &= 2 \\ \cos x &= 2 \end{align}$
(ditolak karena nilai maksimum $\cos x$ adalah 1).
Kasus 2.
$\begin{align}2p-1 &= 0 \\ 2p &= 1 \\ p &= \frac{1}{2} \\ \cos x &= \frac{1}{2} \\ x &= 60^\circ \end{align}$
maka $\sin x=\sin 60^\circ =\frac{1}{2}\sqrt{3}$
Jawaban: E

Soal Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat No. 22

Persamaan $2{{\sin }^2}x+\sin x-1=0$ dipenuhi oleh $x$ = ….
(1) $\frac{\pi }{6}$
(2) $-\frac{7\pi }{6}$
(3) $\frac{3\pi }{2}$
(4) $-\frac{\pi }{2}$
A. (1), (2), (3)
B. (1) dan (3)
C. (2) dan (4)
D. (4) saja
E. semua benar

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Misal $\sin x=p$ maka:
$\begin{align}2{{\sin }^2}x+\sin x-1 &= 0 \\ 2p^2+p-1 &= 0 \\ (2p-1)(p+1) &= 0 \end{align}$
Kasus 1.
$\begin{align}2p-1 &= 0 \\ 2p &= 1 \\ p &= \frac{1}{2} \\ \sin x &= \frac{1}{2} \end{align}$
$x=30^\circ =\frac{\pi }{6}$ atau $x=150^\circ =\frac{5\pi }{6}$
Kasus 2.
$\begin{align}p+1 &= 0 \\ p &= -1 \\ \sin x &= -1 \\ x &= 270^\circ \\ x &= \frac{3\pi }{2} \end{align}$
Dari kasus 1 dan kasus 2 diperoleh:
HP = $\left\{ \frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{3\pi }{2} \right\}$
Jadi, pernyataan yang benar adalah 1) dan 3).
Jawaban: B

Soal Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat No. 23

Bila $x$ memenuhi $2{{\sin }^2}x+3\sin x-2=0$ dan $-\frac{\pi }{2} < x < \frac{\pi }{2}$ maka $\cos x$ adalah ….
A. $\frac{1}{2}$
B. $-\frac{1}{2}$
C. $\frac{1}{2}\sqrt{3}$
D. $-\frac{1}{2}\sqrt{3}$
E. $\frac{1}{2}\sqrt{2}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Misal $\sin x=p$ maka:
$\begin{align}2{{\sin }^2}x+3\sin x-2 &= 0 \\ 2p^2+3p-2 &= 0 \\ (p+2)(2p-1) &= 0 \end{align}$
Kasus 1.
$\begin{align}p+2 &= 0 \\ p &= -2 \\ \sin x &= -2 \end{align}$
(ditolak karena nilai minimum $\sin x$ adalah -1).
Kasus 2.
$\begin{align}2p-1 &= 0 \\ 2p &= 1 \\ p &= \frac{1}{2} \\ \sin x &= \frac{1}{2} \\ x &= 30^\circ \end{align}$
maka $\cos x=\cos 30^\circ =\frac{1}{2}\sqrt{3}$
Jawaban: C

Soal Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat No. 24

Jika $-\frac{\pi }{2} < x < \frac{\pi }{2}$ dan $x$ memenuhi persamaan $6{{\sin }^2}x-\sin x-1=0$ maka $\cos x$ = ….
A. $\frac{1}{2}\sqrt{3}$ dan $\frac{2}{3}\sqrt{2}$
B. $-\frac{1}{2}\sqrt{3}$ dan $\frac{2}{3}\sqrt{2}$
C. $\frac{1}{2}\sqrt{3}$ dan $-\frac{2}{3}\sqrt{2}$
D. $-\frac{1}{3}\sqrt{2}$ dan $-\frac{2}{3}\sqrt{3}$
E. $\frac{1}{3}\sqrt{2}$ dan $\frac{2}{3}\sqrt{3}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Misal $\sin x=p$ maka:
$\begin{align}6{{\sin }^2}x-\sin x-1 &= 0 \\ 6p^2-p-1 &= 0 \\ (2p-1)(3p+1) &= 0 \end{align}$
Kasus 1.
$\begin{align}2p-1 &= 0 \\ 2p &= 1 \\ p &= \frac{1}{2} \\ \sin x &= \frac{1}{2} \end{align}$
maka $\cos x=\frac{\sqrt{2^2-1^2}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$
Kasus 2.
$\begin{align}3p+1 &= 0 \\ 3p &= -1 \\ p &= -\frac{1}{3} \\ \sin x &= -\frac{1}{3} \end{align}$
$-\frac{\pi }{2} $\cos x=\frac{\sqrt{3^2-1^2}}{3}=\frac{2}{3}\sqrt{2}$
Dari kasus 1 dan kasus 2, maka nilai $\cos x$ adalah $\frac{1}{2}\sqrt{3}$ dan $\frac{2}{3}\sqrt{2}$.
Jawaban: A

Soal Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat No. 25

Akar-akar dari persamaan $4{{\sin }^2}x+4\cos x-1=0$ pada interval $-\pi < x < \pi $ adalah ….
A. $\frac{3}{2}$ dan $-\frac{1}{2}$
B. $-\frac{3}{2}$ dan $\frac{1}{2}$
C. $\frac{2}{3}\pi $ dan $-\frac{2}{3}\pi $
D. $\frac{3}{2}\pi $ dan $-\frac{1}{2}\pi $
E. $\frac{1}{3}\pi $ dan $-\frac{1}{3}\pi $

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{align}4{{\sin }^2}x+4\cos x-1 &= 0 \\ 4(1-{{\cos }^2}x)+4\cos x-1 &= 0 \\ 4-4{{\cos }^2}x+4\cos x-1 &= 0 \\ -4{{\cos }^2}x+4\cos x+3 &= 0 \\ 4{{\cos }^2}x-4\cos x-3 &= 0 \end{align}$
Misal $\cos x=p$ maka:
$\begin{align}4{{\cos }^2}x-4\cos x-3 &= 0 \\ 4p^2-4p-3 &= 0 \\ (2p-3)(2p+1) &= 0 \end{align}$
Kasus 1.
$\begin{align}2p-3 &= 0 \\ 2p &= 3 \\ p &= \frac{3}{2} \\ \cos x &= \frac{3}{2} \end{align}$
(ditolak karena nilai maksimum $\cos x$ adalah 1).
Kasus 2.
$\begin{align}2p+1 &= 0 \\ 2p &= -1 \\ p &= -\frac{1}{2} \\ \cos x &= -\frac{1}{2} \\ \cos x &= \cos 120^\circ \end{align}$
Persamaan trigonometri dasar, $\cos f(x)=\cos g(x)$ dengan $f(x)=x$ dan $g(x)=120^\circ $ maka:
1) $f(x)=g(x)+k.360^\circ $
$x=120^\circ +k.360^\circ $
$k=0\to x=120^\circ $
2) $f(x)=-g(x)+k.360^\circ $
$x=-120^\circ +k.360^\circ $
$k=0\to x=-120^\circ $
HP = $\{120^\circ ,240^\circ \}$ atau
HP = $\frac{2}{3}\pi $ dan $-\frac{2}{3}\pi $
Jawaban: C

Soal Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat No. 26

Hasil penjumlahan dari semua anggota himpunan penyelesaian persamaan $3\tan x+\cot x-2\sqrt{3}=0$ dengan $0\le x\le 2\pi $ adalah ….
A. $\frac{5}{3}\pi $
B. $\frac{4}{3}\pi $
C. $\frac{7}{6}\pi $
D. $\frac{5}{6}\pi $
E. $\frac{2}{3}\pi $

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{align}3\tan x+\cot x-2\sqrt{3} &= 0 \\ 3\tan x+\frac{1}{\tan x}-2\sqrt{3} &= 0 \\ 3{{\tan }^2}x+1-2\sqrt{3}\tan x &= 0 \\ 3{{\tan }^2}x-2\sqrt{3}\tan x+1 &= 0 \end{align}$
Misal $\tan x=p$ maka:
$\begin{align}3{{\tan }^2}x-2\sqrt{3}\tan x+1 &= 0 \\ 3p^2-2\sqrt{3}p+1 &= 0 \\ (\sqrt{3}p-1)(\sqrt{3}p-1) &= 0 \\ \sqrt{3}p-1 &= 0 \\ \sqrt{3}p &= 1 \\ p &= \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \tan x &= \frac{1}{3}\sqrt{3} \end{align}$
Diperoleh $x=30^\circ =\frac{1}{6}\pi $ atau $x=210^\circ =\frac{7}{6}\pi $.
Jumlah semua anggota himpunan penyelesaian adalah:
$\frac{1}{6}\pi +\frac{7}{6}\pi =\frac{8}{6}\pi =\frac{4}{3}\pi $
Jawaban: B

Soal Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat No. 27

Nilai $\tan x$ yang memenuhi persamaan $\cos 2x+7\cos x-3=0$ adalah ….
A. $\sqrt{3}$
B. $\frac{1}{2}\sqrt{3}$
C. $\frac{1}{3}\sqrt{3}$
D. $\frac{1}{2}$
E. $\frac{1}{5}\sqrt{5}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Ingat: Rumus Trigonometri Sudut Rangkap, $\cos 2A=2{{\cos }^2}A-1$ maka:
$\begin{align}\cos 2x+7\cos x-3 &= 0 \\ (2{{\cos }^2}x-1)+7\cos x-3 &= 0 \\ 2{{\cos }^2}x+7\cos x-4 &= 0 \end{align}$
Misal $\cos x=p$ maka:
$\begin{align}2{{\cos }^2}x+7\cos x-4 &= 0 \\ 2p^2+7p-4 &= 0 \\ (p+4)(2p-1) &= 0 \end{align}$
Kasus 1.
$\begin{align}p+4 &= 0 \\ p &= -4 \\ \cos x &= -4 \end{align}$
(ditolak karena nilai minimum $\cos x$ adalah -1).
Kasus 2.
$\begin{align}2p-1 &= 0 \\ 2p &= 1 \\ p &= \frac{1}{2} \\ \cos x &= \frac{1}{2}=\frac{sa}{mi} \end{align}$
$\begin{align}\tan x &= \frac{de}{sa} \\ &= \frac{\sqrt{mi^2-sa^2}}{sa} \\ &= \frac{\sqrt{{{2}^2}-1^2}}{1} \\ \tan x &= \sqrt{3} \end{align}$
Jawaban: A

Soal Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat No. 28

Jika $3{{\cos }^2}2x+4\sin \left( \frac{\pi }{2}-2x \right)-4=0$ maka $\cos x$ = ….
A. $\frac{2}{3}$
B. $-\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{3}\sqrt{6}$ dan $-\frac{1}{3}\sqrt{6}$
D. $\frac{1}{6}\sqrt{30}$ dan $-\frac{1}{6}\sqrt{30}$
E. $\frac{2}{3}\sqrt{2}$ dan $-\frac{2}{3}\sqrt{2}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Baca: Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi, $\sin \left( \frac{\pi }{2}-A \right)=\cos A$ maka:
$\begin{align}3{{\cos }^2}x+4\sin \left( \frac{\pi }{2}-2x \right)-4 &= 0 \\ 3{{\cos }^2}2x+4\cos 2x-4 &= 0 \end{align}$
Misal $\cos 2x=p$ maka:
$\begin{align}3{{\cos }^2}2x+4\cos 2x-4 &= 0 \\ 3p^2+4p-4 &= 0 \\ (p+2)(3p-2) &= 0 \end{align}$
Kasus 1.
$\begin{align}p+2 &= 0 \\ p &= -2 \\ \cos 2x &= -2 \end{align}$
(ditolak karena nilai minimum $\cos 2x$ adalah -1).
Kasus 2.
$\begin{align}3p-2 &= 0 \\ 3p &= 2 \\ p &= \frac{2}{3} \\ \cos 2x &= \frac{2}{3} \end{align}$
Baca: Rumus Trigonometri Sudut Rangkap, $\cos 2A=2{{\cos }^2}A-1$ maka:
$\begin{align}\cos 2x &= \frac{2}{3} \\ 2{{\cos }^2}x-1 &= \frac{2}{3} \\ 2{{\cos }^2}x &= \frac{2}{3}+1 \\ 2{{\cos }^2}x &= \frac{5}{3} \\ {{\cos }^2}x &= \frac{5}{6} \\ \cos x &= \pm \sqrt{\frac{5}{6}} \\ \cos x &= \pm \frac{1}{6}\sqrt{30} \end{align}$
Jawaban: D

Soal Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat No. 29

Nilai $|\sin A|$ yang memenuhi persamaan trigonometri $2{{\sin }^2}A-{{\cos }^2}A=0$ untuk $0\le A\le 2\pi $ adalah ….
A. 3
B. $\sqrt{3}$
C. $\frac{2}{3}\sqrt{3}$
D. $\frac{1}{3}\sqrt{3}$
E. $\frac{1}{3}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Ingat: Identitas Trigonometri, ${{\cos }^2}x=1-{{\sin }^2}x$ maka:
$\begin{align}2{{\sin }^2}A-{{\cos }^2}A &= 0 \\ 2{{\sin }^2}A-(1-{{\sin }^2}A) &= 0 \\ 2{{\sin }^2}A-1+{{\sin }^2}A &= 0 \\ 3{{\sin }^2}A &= 1 \\ {{\sin }^2}A &= \frac{1}{3} \\ \left| \sin A \right| &= \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \left| \sin A \right| &= \frac{1}{3}\sqrt{3} \end{align}$
Jawaban: D

Soal Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat No. 30

Jumlah semua nilai $\tan x$ yang memenuhi persamaan trigonometri $-\cot x+3\tan x=2$ untuk $0\le x\le 2\pi $ adalah ….
A. $-1$
B. $-\frac{2}{3}$
C. $-\frac{1}{3}$
D. $\frac{2}{3}$
E. 1

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{align}-\cot x+3\tan x &= 2 \\ -\frac{1}{\tan x}+3\tan x &= 2 \\ -1+3{{\tan }^2}x &= 2\tan x \\ 3{{\tan }^2}x-2\tan x-1 &= 0 \end{align}$
Misal $\tan x=p$ maka:
$3{{\tan }^2}x-2\tan x-1=0$
$\begin{align}\tan {x_1}+\tan {x_2} &= -\frac{b}{a} \\ \tan {x_1}+\tan {x_2} &= -\frac{-2}{3} \\ \tan {x_1}+\tan {x_2} &= \frac{2}{3} \end{align}$
Jawaban: D

Semoga postingan: Soal Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat dan Pembahasan ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :