Skip to content Skip to sidebar Skip to footer

Barisan dan Deret Geometri Tak Hingga

A. Definisi Barisan Geometri Tak Hingga

Barisan geometri tak hingga dapat didefinisikan sebagai barisan geometri yang suku-sukunya tersusun hingga tak terhingga banyaknya.
$U_1$, $U_2$, $U_3$, …..
Berdasarkan rasionya barisan geometri tak hingga dibedakan menjadi dua macam yaitu:
Barisan geometri tak hingga yang konvergen, jika rasio deret geometri tak hingga tersebut adalah $-1 < r < 1$ atau $\left| r \right| < 1$.
Barisan geometri tak hingga yang divergen, jika rasio deret geometri tak hingga tersebut adalah $r < -1$ atau $r > 1$.

Contoh 1.
Tentukan jenis deret geometri tak hingga berikut ini:
  1. 72, 36, 18, 9, …
  2. 8, $-12$, $18$, $-27$, ….
Penyelesaian:
  1. $r=\frac{U_2}{U_1}=\frac{36}{72}=\frac{1}{2}$ dan $-1 < r < 1$ maka deret tersebut adalah deret geometri tak hingga konvergen.
  2. $r=\frac{U_2}{U_1}=\frac{-12}{8}=-\frac{3}{2}$ dan $r < -1$ maka deret tersebut adalah deret geometri tak hingga divergen.

Contoh 2.
Tentukan batas-batas dari $x$ agar barisan geometri berikut konvergen!
1, $(x-3)$, $(x-3)^2$, $(x-3)^3$
Penyelesaian:
Syarat barisan geometri konvergen:
$-1 < r < 1$
$-1 < \frac{U_2}{U_1} < 1$
$-1 < \frac{x-3}{1} < 1$
$-1 < x-3 < 1$
$-1+3 < x-3+3 < 1+3$
$2 < x < 4$
Contoh 3.
Tentukan batas-batas dari $m$ agar barisan geometri berikut konvergen!
$^2\log (m+2)$, $^2\log^2(m+2)$, $^2\log ^3(m+2)$, ….
Penyelesaian:
Syarat barisan geometri konvergen:
$-1 < r < 1$
$-1 < \frac{U_2}{U_1} < 1$
$-1 < \frac{^2\log ^2(m+2)}{^2\log (m+2)} < 1$
$-1 < {^2\log (m+2)} < 1$
$^2\log 2^{-1} < {^2\log (m+2)} < {^2\log 2^1}$
$2^{-1} < m+2 < 2$
$\frac{1}{2}-2 < m+2-2 < 2-2$
$-\frac{3}{2} < m < 0$

B. Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak hingga adalah penjumlahan suku-suku pada barisan geometri yang banyaknya tidak terbatas (tak hingga). Deret geometri tak hingga biasanya dinotasikan sebagai $S_{\infty }$.
$U_1+U_2+U_3+....=S_{\infty }$.
Rumus deret geometri tak hingga berdasarkan rasionya adalah:
  1. Deret geometri tak hingga konvergen dengan $-1 < r < 1$: $S_{\infty }=\frac{a}{1-r}$.
  2. Deret geometri tak hingga divergen dengan $r < -1$ atau $r>1$: $S_{\infty }=\pm \infty $.

Contoh 1.
Suku pertama suatu deret geometri tak hingga adalah $x$. Tentukan nilai $x$ yang memenuhi sehingga jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah 10.
Penyelesaian:
$\begin{align}S_{\infty } &= 10 \\ \frac{a}{1-r} &= 10 \\ \frac{x}{1-r} &= 10 \\ x &= 10-10r \\ 10r &= 10-x \\ r &= \frac{10-x}{10} \end{align}$
Syarat deret geometri konvergen:
$-1 < r < 1$
$-1 < \frac{10-x}{10} < 1$
$-10 < 10-x < 10$
$-10-10 < 10-10-x < 10-10$
$-20 < -x < 0$
$20 > x > 0$
$0 < x < 20$
Contoh 2.
Tentukan jumlah deret geometri tak hingga: 72 + 24 + 8 + …
Penyelesaian:
$a=72$
$\begin{align}r &= \frac{U_2}{U_1} \\ &= \frac{24}{72} \\ r &= \frac{1}{3} \end{align}$
$\begin{align}S_{\infty } &= \frac{a}{1-r} \\ &= \frac{72}{1-\frac{1}{3}} \\ &= \frac{72}{\frac{2}{3}} \\ &= 72\times \frac{3}{2} \\ S_{\infty } &= 108 \end{align}$
Contoh 3.
Tentukan jumlah deret geometri tak hingga:
$32-16+8-4+...$
Penyelesaian:
$32+(-16)+8+(-4)+...$
$a=32$
$\begin{align}r &= \frac{U_2}{U_1} \\ &= \frac{-16}{32} \\ r &= -\frac{1}{2} \end{align}$
$\begin{align}S_{\infty } &= \frac{a}{1-r} \\ &= \frac{32}{1-\left( -\frac{1}{2} \right)} \\ &= \frac{32}{\frac{3}{2}} \\ &= 32\times \frac{2}{3} \\ &= \frac{64}{3} \\ S_{\infty } &= 21\frac{1}{3} \end{align}$
Contoh 4.
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 8 meter. Apabila ketinggian yang dicapai saat memantul tiga perlima kali tinggi sebelumnya, tentukan panjang lintasan yang dilalui bola tersebut hingga berhenti memantul.
Penyelesaian:
Perhatikan ilustrasi berikut:
Deret Geometri Tak Hingga
Dari ilustrasi di atas, diperoleh:
Lintasan turun: $8+\frac{24}{5}+\frac{72}{25}+\frac{216}{125}+...$
$S_{\text{turun}}=\frac{8}{1-\frac{3}{5}}=\frac{8}{\frac{2}{5}}=8\times \frac{5}{2}=20$
Lintasan naik: $\frac{24}{5}+\frac{72}{25}+\frac{216}{125}+...$
$S_{\text{naik}}=\frac{\frac{24}{5}}{1-\frac{3}{5}}=\frac{\frac{24}{5}}{\frac{2}{5}}=\frac{24}{5}\times \frac{5}{2}=12$
Jadi, panjang lintasan yang dilalui bola tersebut hingga berhenti memantul adalah:
$S_{\text{turun}}+S_{\text{naik}}=20+12=32\,\text{cm}$

Cara alternatif:
Jika sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian $h$, kemudian memantul $\frac{p}{q}$ kali dari tinggi sebelumnya, maka panjang lintasan yang dilalui bola hingga berhenti memantul adalah:
$\begin{align}\frac{q+p}{q-p}\times h &= \frac{5+3}{5-3}\times 8\,\text{cm} \\ &= \frac{8}{2}\times 8\,\text{cm} \\ &= 32\,\text{cm} \end{align}$
Contoh 5.
Sebuah bandul mencapai lintasan pertama sejauh 90 cm, dan lintasan berikutnya hanya mencapai $\frac{5}{8}$ dari lintasan sebelumnya. Tentukan panjang lintasan seluruhnya hingga bandul berhenti.
Penyelesaian:
Deret Geometri Tak Hingga
Lintasan bandul: $90+90.\frac{5}{8}+90.\left( \frac{5}{8} \right)^2+...$ membentuk deret geometri tak hingga.
$\begin{align}S_{\infty } &= \frac{a}{1-r} \\ &= \frac{90}{1-\frac{5}{8}} \\ &= \frac{90}{\frac{3}{8}} \\ &= 90\times \frac{8}{3} \\ S_{\infty } &= 240 \end{align}$
Jadi, panjang lintasan seluruhnya hingga bandul berhenti adalah 240 cm.

C. Soal Latihan

1.Tentukan batas-batas dari $x$ agar barisan geometri berikut konvergen!
1, $(x+1)$, $(x+1)^2$, $(x+1)^3$, ….
2.Diketahui deret geometri: 4 + 2 + 1 + $\frac{1}{2}$ + …. Tentukan jumlah tak hingga deret tersebut.
3.Tentukan jumlah tak hingga deret geometri berikut: $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\frac{1}{6}-...$
4.Jika jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 96 dan jumlah semua suku yang berindeks ganjil adalah 64, maka suku ke-4 deret tersebut adalah ...
5.Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian $\frac{3}{4}$ kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah …
Semoga postingan: Barisan dan Deret Geometri Tak Hingga ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Post a Comment for "Barisan dan Deret Geometri Tak Hingga"