Barisan dan Deret Geometri Tak Hingga

A. Definisi Barisan Geometri Tak Hingga

Barisan geometri tak hingga dapat didefinisikan sebagai barisan geometri yang suku-sukunya tersusun hingga tak terhingga banyaknya.
$U_1$, $U_2$, $U_3$, …..
Berdasarkan rasionya barisan geometri tak hingga dibedakan menjadi dua macam yaitu:
Barisan geometri tak hingga yang konvergen, jika rasio deret geometri tak hingga tersebut adalah $-1 < r < 1$ atau $\left| r \right| < 1$.
Barisan geometri tak hingga yang divergen, jika rasio deret geometri tak hingga tersebut adalah $r < -1$ atau $r > 1$.

---

Contoh 1.
Tentukan jenis deret geometri tak hingga berikut ini:

1. 72, 36, 18, 9, …
2. 8, $-12$, $18$, $-27$, ….

Penyelesaian:

1. $r=\frac{U_2}{U_1}=\frac{36}{72}=\frac{1}{2}$ dan $-1 < r < 1$ maka deret tersebut adalah deret geometri tak hingga konvergen.
2. $r=\frac{U_2}{U_1}=\frac{-12}{8}=-\frac{3}{2}$ dan $r < -1$ maka deret tersebut adalah deret geometri tak hingga divergen.

---

Contoh 2.
Tentukan batas-batas dari $x$ agar barisan geometri berikut konvergen!
1, $(x-3)$, $(x-3)^2$, $(x-3)^3$
Penyelesaian:
Syarat barisan geometri konvergen:
$-1 < r < 1$
$-1 < \frac{U_2}{U_1} < 1$
$-1 < \frac{x-3}{1} < 1$
$-1 < x-3 < 1$
$-1+3 < x-3+3 < 1+3$
$2 < x < 4$

---

Contoh 3.
Tentukan batas-batas dari $m$ agar barisan geometri berikut konvergen!
$^2\log (m+2)$, $^2\log^2(m+2)$, $^2\log ^3(m+2)$, ….
Penyelesaian:
Syarat barisan geometri konvergen:
$-1 < r < 1$
$-1 < \frac{U_2}{U_1} < 1$
$-1 < \frac{^2\log ^2(m+2)}{^2\log (m+2)} < 1$
$-1 < {^2\log (m+2)} < 1$
$^2\log 2^{-1} < {^2\log (m+2)} < {^2\log 2^1}$
$2^{-1} < m+2 < 2$
$\frac{1}{2}-2 < m+2-2 < 2-2$
$-\frac{3}{2} < m < 0$

---

B. Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak hingga adalah penjumlahan suku-suku pada barisan geometri yang banyaknya tidak terbatas (tak hingga). Deret geometri tak hingga biasanya dinotasikan sebagai $S_{\infty }$.
$U_1+U_2+U_3+....=S_{\infty }$.
Rumus deret geometri tak hingga berdasarkan rasionya adalah:

1. Deret geometri tak hingga konvergen dengan $-1 < r < 1$: $S_{\infty }=\frac{a}{1-r}$.
2. Deret geometri tak hingga divergen dengan $r < -1$ atau $r>1$: $S_{\infty }=\pm \infty $.

---

Contoh 1.
Suku pertama suatu deret geometri tak hingga adalah $x$. Tentukan nilai $x$ yang memenuhi sehingga jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah 10.
Penyelesaian:
$\begin{align}S_{\infty } &= 10 \\ \frac{a}{1-r} &= 10 \\ \frac{x}{1-r} &= 10 \\ x &= 10-10r \\ 10r &= 10-x \\ r &= \frac{10-x}{10} \end{align}$
Syarat deret geometri konvergen:
$-1 < r < 1$
$-1 < \frac{10-x}{10} < 1$
$-10 < 10-x < 10$
$-10-10 < 10-10-x < 10-10$
$-20 < -x < 0$
$20 > x > 0$
$0 < x < 20$

---

Contoh 2.
Tentukan jumlah deret geometri tak hingga: 72 + 24 + 8 + …
Penyelesaian:
$a=72$
$\begin{align}r &= \frac{U_2}{U_1} \\ &= \frac{24}{72} \\ r &= \frac{1}{3} \end{align}$
$\begin{align}S_{\infty } &= \frac{a}{1-r} \\ &= \frac{72}{1-\frac{1}{3}} \\ &= \frac{72}{\frac{2}{3}} \\ &= 72\times \frac{3}{2} \\ S_{\infty } &= 108 \end{align}$

---

Contoh 3.
Tentukan jumlah deret geometri tak hingga:
$32-16+8-4+...$
Penyelesaian:
$32+(-16)+8+(-4)+...$
$a=32$
$\begin{align}r &= \frac{U_2}{U_1} \\ &= \frac{-16}{32} \\ r &= -\frac{1}{2} \end{align}$
$\begin{align}S_{\infty } &= \frac{a}{1-r} \\ &= \frac{32}{1-\left( -\frac{1}{2} \right)} \\ &= \frac{32}{\frac{3}{2}} \\ &= 32\times \frac{2}{3} \\ &= \frac{64}{3} \\ S_{\infty } &= 21\frac{1}{3} \end{align}$

---

Contoh 4.
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 8 meter. Apabila ketinggian yang dicapai saat memantul tiga perlima kali tinggi sebelumnya, tentukan panjang lintasan yang dilalui bola tersebut hingga berhenti memantul.
Penyelesaian:
Perhatikan ilustrasi berikut:

Dari ilustrasi di atas, diperoleh:
Lintasan turun: $8+\frac{24}{5}+\frac{72}{25}+\frac{216}{125}+...$
$S_{\text{turun}}=\frac{8}{1-\frac{3}{5}}=\frac{8}{\frac{2}{5}}=8\times \frac{5}{2}=20$
Lintasan naik: $\frac{24}{5}+\frac{72}{25}+\frac{216}{125}+...$
$S_{\text{naik}}=\frac{\frac{24}{5}}{1-\frac{3}{5}}=\frac{\frac{24}{5}}{\frac{2}{5}}=\frac{24}{5}\times \frac{5}{2}=12$
Jadi, panjang lintasan yang dilalui bola tersebut hingga berhenti memantul adalah:
$S_{\text{turun}}+S_{\text{naik}}=20+12=32\,\text{cm}$

Cara alternatif:
Jika sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian $h$, kemudian memantul $\frac{p}{q}$ kali dari tinggi sebelumnya, maka panjang lintasan yang dilalui bola hingga berhenti memantul adalah:
$\begin{align}\frac{q+p}{q-p}\times h &= \frac{5+3}{5-3}\times 8\,\text{cm} \\ &= \frac{8}{2}\times 8\,\text{cm} \\ &= 32\,\text{cm} \end{align}$

---

Contoh 5.
Sebuah bandul mencapai lintasan pertama sejauh 90 cm, dan lintasan berikutnya hanya mencapai $\frac{5}{8}$ dari lintasan sebelumnya. Tentukan panjang lintasan seluruhnya hingga bandul berhenti.
Penyelesaian:

Lintasan bandul: $90+90.\frac{5}{8}+90.\left( \frac{5}{8} \right)^2+...$ membentuk deret geometri tak hingga.
$\begin{align}S_{\infty } &= \frac{a}{1-r} \\ &= \frac{90}{1-\frac{5}{8}} \\ &= \frac{90}{\frac{3}{8}} \\ &= 90\times \frac{8}{3} \\ S_{\infty } &= 240 \end{align}$
Jadi, panjang lintasan seluruhnya hingga bandul berhenti adalah 240 cm.

---

C. Soal Latihan

1.	Tentukan batas-batas dari $x$ agar barisan geometri berikut konvergen! 1, $(x+1)$, $(x+1)^2$, $(x+1)^3$, ….
2.	Diketahui deret geometri: 4 + 2 + 1 + $\frac{1}{2}$ + …. Tentukan jumlah tak hingga deret tersebut.
3.	Tentukan jumlah tak hingga deret geometri berikut: $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\frac{1}{6}-...$
4.	Jika jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 96 dan jumlah semua suku yang berindeks ganjil adalah 64, maka suku ke-4 deret tersebut adalah ...
5.	Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian $\frac{3}{4}$ kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah …

Share :