Vektor 6. Proyeksi Vektor

A. Proyeksi Vektor

Vektor $\vec{a}=\overrightarrow{OA}$ diproyeksikan secara tegak lurus (ortogonal) pada vektor $\vec{b}=\overrightarrow{OB}$, hasilnya vektor $\vec{c}=\overrightarrow{OC}$ yang terletak pada vektor $\vec{b}$, seperti pada gambar berikut:


Proyeksi Vektor Ortogonal
vektor $\vec{c}$ adalah proyeksi vektor ortogonal $\vec{a}$ pada $\vec{b}$, maka:
$\vec{c}=\frac{\vec{a}.\vec{b}}{{{\left| {\vec{b}} \right|}^2}}.\vec{b}$

Panjang proyeksi vektor
$\left| {\vec{c}} \right|$ adalah panjang proyeksi vektor ortogonal $\vec{a}$ pada $\vec{b}$, maka:
$\left| {\vec{c}} \right|=\left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{\left| {\vec{b}} \right|} \right|$

Proyeksi Skalar Ortogonal
Proyeksi skalar ortogonal vektor $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ adalah $\frac{\vec{a}.\vec{b}}{\left| {\vec{b}} \right|}$.

---

Contoh 1.
Diketahui vektor $\vec{a}=9\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}$ dan $\vec{b}=2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$. Tentukan proyeksi ortogonal vektor $\vec{a}$ pada $\vec{b}$.
Penyelesaian:
Misal, vektor $\vec{c}$ adalah proyeksi vektor $\vec{a}=9\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}$ pada $\vec{b}=2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$, maka:
$\begin{align}\vec{c} &= \frac{\vec{a}.\vec{b}}{{{\left| {\vec{b}} \right|}^{2}}}.\vec{b} \\ &= \frac{(9,-2,4).(2,2,1)}{{{\left( \sqrt{2^2+2^2+1^2} \right)}^2}}.(2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}) \\ &= \frac{18-4+4}{{{\left( \sqrt{4+4+1} \right)}^2}}.(2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}) \\ &= \frac{18}{9}.(2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}) \\ &= 2(2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}) \\ \vec{c} &= 4\hat{i}+4\hat{j}+2\hat{k} \end{align}$

---

Contoh 2.
Diketahui vektor $\vec{a}=\left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)$ dan $\vec{b}=\left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ -1 \\ \end{matrix} \right)$. Tentukan panjang proyeksi vektor $\vec{a}$ pada $\vec{b}$.
Penyelesaian:
Misal, vektor $\left| {\vec{c}} \right|$ adalah panjang proyeksi vektor $\vec{a}=9\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}$ pada $\vec{b}=2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$, maka:
$\begin{align}\left| {\vec{c}} \right| &= \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{\left| {\vec{b}} \right|} \right| \\ &= \left| \frac{(2,-3,1).(3,2,-1)}{\sqrt{3^2+2^2+(-1)^2}} \right| \\ &= \left| \frac{6-6-1}{\sqrt{9+4+1}} \right| \\ &= \left| \frac{-1}{\sqrt{14}} \right| \\ &= \frac{1}{\sqrt{14}} \\ \left| {\vec{c}} \right| &= \frac{1}{14}\sqrt{14} \end{align}$
Jadi, panjang vektor proyeksi $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ adalah $\frac{1}{14}\sqrt{14}$.

---

Contoh 3.
Diketahui vektor $\vec{a}=4\hat{i}+y\hat{j}$ dan $\vec{b}=2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$. Tentukan nilai $y$ jika panjang proyeksi vektor $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ sama dengan 4.
Penyelesaian:
Misalkan, $\left| {\vec{c}} \right|$ adalah panjang proyeksi vektor $\vec{a}=4\hat{i}+y\hat{j}$ pada $\vec{b}=2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$, maka:
$\begin{align}\left| {\vec{c}} \right| &= 4 \\ \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{\left| {\vec{b}} \right|} \right| &= 4 \\ \left| \frac{(4,y,0).(2,2,1)}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}} \right| &= 4 \\ \left| \frac{8+2y+0}{\sqrt{4+4+1}} \right| &= 4 \\ \left| \frac{2y+8}{3} \right| &= 4 \\ \left| 2y+8 \right| &= 12 \\ \left| y+4 \right| &= 6 \end{align}$
i) $y+4=6\Rightarrow y=2$
ii) $y+4=-6\Rightarrow y=-10$
Jadi, nilai $y=2$ atau $y=-10$.

---

Contoh 4.
Diketahui $|\vec{a}|=5$, $|\vec{b}|=7$, $\angle (\vec{a},\vec{b})=\alpha $. Tentukan nilai $\tan \alpha $, jika proyeksi skalar ortogonal vektor $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ sama dengan 4.
Penyelesaian:
Misalkan, $\left| {\vec{c}} \right|$ adalah proyeksi skalar ortogonal vektor $\vec{a}$ pada $\vec{b}$, maka:
$\begin{align}\left| {\vec{c}} \right| &= 4 \\ \frac{\vec{a}.\vec{b}}{\left| {\vec{b}} \right|} &= 4 \\ \frac{\left| {\vec{a}} \right|.\left| {\vec{b}} \right|.\cos \angle (\vec{a},\vec{b})}{\left| {\vec{b}} \right|} &= 4 \\ \frac{5.7.\cos \alpha }{7} &= 4 \\ 5.\cos \alpha &= 4 \\ \cos \alpha &= \frac{4}{5}=\frac{sa}{mi} \end{align}$
Maka:
$\begin{align}\tan \alpha &= \frac{de}{sa} \\ &= \frac{\sqrt{mi^2-sa^2}}{sa} \\ &= \frac{\sqrt{5^2-4^2}}{4} \\ &= \frac{\sqrt{25-16}}{4} \\ \tan \alpha &= \frac{3}{4} \end{align}$

---

Contoh 5.
Diketahui titik $A(2,7,8)$, $B(-1,1,-1)$ dan $C(0,3,2)$. Jika $\overrightarrow{AB}$ wakil vektor $\vec{u}$ dan $\overrightarrow{BC}$ wakil vektor $\vec{v}$, maka proyeksi ortogonal vektor $\vec{u}$ pada $\vec{v}$ adalah ...
Penyelesaian:
$\begin{align}\vec{u} &= \overrightarrow{AB} \\ &= \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} \\ &= \left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\ \end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix} 2 \\ 7 \\ 8 \\ \end{matrix} \right) \\ \vec{u} &= \left( \begin{matrix} -3 \\ -6 \\ -9 \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
$\begin{align}\vec{v} &= \overrightarrow{BC} \\ &= \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB} \\ &= \left( \begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\ \end{matrix} \right) \\ \vec{v} &= \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
Misal, vektor $\vec{c}$ adalah proyeksi ortogonal vektor $\vec{u}$ pada $\vec{v}$ maka:
$\begin{align}\vec{c} &= \frac{\vec{u}.\vec{v}}{{{\left| {\vec{v}} \right|}^2}}.\vec{v} \\ &= \frac{(-3,-6,-9).(1,2,3)}{{{\left( \sqrt{1^2+2^2+3^2} \right)}^2}}.(1,2,3) \\ &= \frac{-3-12-27}{1+4+9}.(1,2,3) \\ &= \frac{-42}{14}.(1,2,3) \\ &= -3(1,2,3) \\ \vec{c} &= (-3,-6,-9) \end{align}$
Jadi, proyeksi ortogonal vektor $\vec{u}$ pada $\vec{v}$ adalah $\vec{c}=-3\hat{i}-6\hat{j}-9\hat{k}$.

---

Contoh 6.
Diketahui $\vec{p}=6\hat{i}+7\hat{j}-6\hat{k}$ dan $\vec{q}=x\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k}$. Jika proyeksi skalar $\vec{q}$ pada $\vec{p}$ adalah 2, maka nilai $x$ adalah ...
Penyelesaian:
proyeksi skalar $\vec{q}$ pada $\vec{p}$ adalah 2, maka:
$\begin{align}\frac{\vec{p}.\vec{q}}{\left| {\vec{q}} \right|} &= 2 \\ \frac{(x,1,4).(6,7,-6)}{\sqrt{6^2+7^2+(-6)^2}} &= 2 \\ \frac{6x+7-24}{\sqrt{36+49+36}} &= 2 \\ \frac{6x-17}{11} &= 2 \\ 6x-17 &= 22 \\ 6x &= 39 \\ x &= \frac{39}{6} \\ x &= \frac{13}{2} \end{align}$

B. Soal Latihan

1. Diketahui $\vec{a}=3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}$ dan $\vec{b}=6\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$. Tentukan proyeksi skalar ortogonal vektor $\vec{a}$ pada $\vec{b}$.
2. Tentukan proyeksi vektor ortogonal vektor $\vec{a}=2\hat{i}-6\hat{j}+8\hat{k}$ pada vektor $\vec{b}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$.
3. Diketahui segitiga ABC dengan titik $A(-2,3,1)$, $B(1,-1,0)$, dan $C(-1,1,0)$. Tentukan proyeksi vektor $\overrightarrow{AB}$ terhadap $\overrightarrow{AC}$.
4. Diketahui vektor $\vec{a}=\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}$ dan vektor $\vec{b}=3\hat{i}-2\hat{j}+z\hat{k}$. Tentukan nilai $z$ jika panjang proyeksi vektor $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ sama dengan 3.
5. Diketahui proyeksi skalar vektor $\vec{a}=-2\hat{i}+8\hat{j}+4\hat{k}$ pada vektor $\vec{b}=p\hat{j}+4\hat{k}$ adalah 8. Tentukan nilai $p$.

Semoga postingan: Vektor 6. Proyeksi Vektor ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :