Pembahasan Soal UM UNDIP Matematika Saintek Tahun 2019 Kode Soal 324

Selamat datang di Website Catatan Matematika, website belajar matematika secara online dan mandiri. Berikut ini kami berbagi Pembahasan Soal Matematika Saintek Seleksi Mandiri yang diselenggarakan oleh Universitas Diponegoro pada tahun 2019 dengan kode soal 324. Pembahasan Soal UM UNDIP ini dapat dijadikan sebagai bahan belajar bagi adik-adik pejuang Seleksi Mandiri UNDIP dalam menghadapi seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru di Universitas Diponegoro.

Baca juga: Kumpulan Soal UM UNDIP Terlengkap.

Tata Cara Belajar:
Cobalah mengerjakan soal-soal yang tersedia secara mandiri. Setelah itu cocokkanlah jawaban kamu dengan pembahasan yang telah disediakan, dengan cara:
klik "LIHAT PEMBAHASAN:".

UM UNDIP 2019 Kode 324 Matematika Saintek No. 41

Parabola $y=x^2-4x+3m-2$ mempunyai titik puncak $T(p,q)$. Jika $p$ dan $\frac{q}{3}$ adalah dua suku pertama deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah 4, maka nilai $m$ adalah ...
(A) -1
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
Video Pembahasan:

Pembahasan:
Titik puncak parabola: $y=x^2-4x+3m-2$ diperoleh untuk $x=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-4)}{2.1}=2$.
Titik puncak: $T(p,q)=T(2,q)$, p = 2.
Substitusi $T(2,q)$ ke:
$y=x^2-4x+3m-2$
$q=2^2-4.2+3m-2 \Rightarrow q=3m-6$
Deret Geometri Tak Hingga:
$p$, $\frac{q}{3}$, ...
2, $\frac{q}{3}$, ...
$r=\frac{U_2}{U_1}=\frac{\frac{q}{3}}{2}\Rightarrow r=\frac{q}{6}$
$\begin{align}S_{\infty } &=\frac{a}{1-r} \\ 4 &=\frac{2}{1-\frac{q}{6}} \\ 4 &=\frac{2}{\frac{6-q}{6}} \\ \frac{24-4q}{6} &=2 \\ 24-4q &=12 \\ 6-q &=3 \\ 6-(3m-6) &=3 \\ 6-3m+6 &=3 \\ -3m &=-9 \\ m &=3 \end{align}$
Jawaban: D

UM UNDIP 2019 Kode 324 Matematika Saintek No. 42

Jika persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ tidak mempunyai akar real, maka grafik fungsi $y=ax^2+bx+c$ menyinggung garis $y=x$ bilamana ...
(A) $b < -\frac{1}{2}$
(B) $-\frac{1}{2} < b < 0$
(C) $b > -\frac{1}{2}$
(D) $0 < b <\frac{1}{2}$
(E) $b < \frac{1}{2}$
Video Pembahasan:

Pembahasan:
persamaan kuadrat $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ tidak mempunyai akar real maka:
$\begin{align}D &< 0 \\ b^2-4ac &< 0 \\ b^2 &< 4ac
\end{align}$
grafik fungsi $y_1=ax^2+bx+c$ menyinggung garis ${{y}_{2}}=x$ maka:
$\begin{align}y_1 &= y_2 \\ ax^2+bx+c &= x \\ ax^2+(b-1)x+c &= 0 \end{align}$
Syarat menyinggung:
$\begin{align}D &= 0 \\ (b-1)^2-4ac &= 0 \\ b^2-2b+1 &= 4ac > b^2 \\ b^2-2b+1 &> b^2 \\ -2b &> -1 \\ b &< \frac{1}{2} \end{align}$
Jawaban: E

UM UNDIP 2019 Kode 324 Matematika Saintek No. 43

Diberikan dua vektor $u$ dan $v$, dengan $u=(-1,-2,1)$ dan $v=(2,1,1)$. Besar sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah ...
(A) $45^\circ $
(B) $60^\circ $
(C) $75^\circ $
(D) $90^\circ $
(E) $120^\circ $
Video Pembahasan:

Pembahasan:
$u=(-1,-2,1)$ dan $v=(2,1,1)$
$\begin{align}\cos \angle (u,v) &= \frac{u.v}{|u|.|v|} \\ &= \frac{\left( \begin{matrix} -1 \\ -2 \\ 1 \\ \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)}{\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+1^2}.\sqrt{2^2+1^2+1^2}} \\ &= \frac{-2-2+1}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} \\ &= \frac{-3}{6} \\ \cos \angle (u,v) &= -\frac{1}{2} \\ \angle (u,v) &= 120^\circ \end{align}$
Jawaban: E

UM UNDIP 2019 Kode 324 Matematika Saintek No. 44

Diketahui invers matriks A adalah $A^{-1} = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 3 \\ \end{matrix} \right]$. Matriks X yang memenuhi hubungan $AX=\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -3 \\ \end{matrix} \right]$ adalah ....
(A) $\left[ \begin{matrix} 2 & 14 \\ 1 & 25 \\ 4 & 13 \\ \end{matrix} \right]$
(B) $\left[ \begin{matrix} 2 & -7 \\ 1 & -4 \\ 4 & -12 \\ \end{matrix} \right]$
(C) $\left[ \begin{matrix} 2 & -7 \\ 4 & -4 \\ 11 & -12 \\ \end{matrix} \right]$
(D) $\left[ \begin{matrix} 2 & 4 & 11 \\ -7 & -4 & -12 \\ \end{matrix} \right]$
(E) $\left[ \begin{matrix} 2 & 1 & 4 \\ 14 & 25 & 13 \\ \end{matrix} \right]$
Video Pembahasan:

Pembahasan:
$A^{-1}=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 3 \\ \end{matrix} \right]$
$\begin{align}AX &= \left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -3 \\ \end{matrix} \right] \\ X &= A^{-1}.\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -3 \\ \end{matrix} \right] \\ X &= \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 3 \\ \end{matrix} \right].\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -3 \\ \end{matrix} \right] \\ X &= \left[ \begin{matrix} 2+0+0 & -1+0-6 \\ 2+2+0 & -1+0-3 \\ 6+5+0 & -3+0-9 \\ \end{matrix} \right] \\ X &= \left[ \begin{matrix} 2 & -7 \\ 4 & -4 \\ 11 & -12 \\ \end{matrix} \right] \\ \end{align}$
Jawaban: C

UM UNDIP 2019 Kode 324 Matematika Saintek No. 45

Median dari data pada tabel berikut adalah ...

(A) 82,5
(B) 84,75
(C) 85,5
(D) 86,75
(E) 88,5
Video Pembahasan:

Pembahasan:

Kelas median:
Me = data ke-$\frac{n}{2}$ = data ke-21
Jadi, kelas median adalah: 86 – 90
Tb = 86 – 0,5 = 85,5
f = 8, fk = 19
c = 90 – 86 + 1 = 5
$\begin{align}Me &= Tb+\left( \frac{\frac{1}{2}n-f_k}{f} \right).c \\ &= 85,5+\left( \frac{\frac{1}{2}.42-19}{8} \right).5 \\ &= 85,5+1,25 \\ Me &= 86,75 \end{align}$
Jawaban: D

UM UNDIP 2019 Kode 324 Matematika Saintek No. 46

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik $P(-2,3)$ dan menyinggung garis $4x-3y+2=0$ mempunyai persamaan ...
(A) $x^2+y^2+4x-6y-12=0$
(B) $x^2+y^2+4x-6y-3=0$
(C) $x^2+y^2+4x-6y+4=0$
(D) $x^2+y^2+4x-6y+9=0$
(E) $x^2+y^2+4x-6y+12=0$
Video Pembahasan:

Pembahasan:
Lingkaran yang berpusat di titik $P(-2,3)$ dan menyinggung garis $4x-3y+2 = 0$, maka jari-jari lingkaran adalah jarak titik $P(-2,3) \Leftrightarrow P(x_1,y_1)$ ke garis $4x-3y+2 = 0 \Leftrightarrow ax+by+c = 0$, dapat dihitung dengan rumus Jarak Titik ke Garis:
$\begin{align}r &= \left| \frac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| \\ &= \left| \frac{4.(-2)-3.3+2}{\sqrt{4^2+(-3)^2}} \right| \\ &= \left| \frac{-15}{5} \right| \\ r &= 3 \end{align}$
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di titik $P(-2,3)=P(h,k)$ dan jari-jari $r=3$ adalah:
$\begin{align} (x-h)^2+(y-k)^2 &= r^2 \\ (x+2)^2+(y-3)^2 &= 3^2 \\ x^2+4x+4+y^2-6y+9 &= 9 \\ x^2+y^2+4x-6y+4 &= 0 \end{align}$
Jawaban: C

UM UNDIP 2019 Kode 324 Matematika Saintek No. 47

Diberikan dua buah matriks $M = \left[ \begin{matrix} a+b & a \\ b & a-b \\ \end{matrix} \right]$ dan $N = \left[ \begin{matrix} 1 & -\frac{1}{2}a \\ -2b & 3 \\ \end{matrix} \right]$. Jika $M^t=N$, dengan $M^t$ menyatakan transpos matriks M, maka nilai $a$ adalah ...
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
Video Pembahasan:

Pembahasan:
$M = \left[ \begin{matrix} a+b & a \\ b & a-b \\ \end{matrix} \right] \Leftrightarrow M^t = \left[ \begin{matrix} a+b & b \\ a & a-b \\ \end{matrix} \right]$
$\begin{align}M^t &= N \\ \left[ \begin{matrix} a+b & b \\ a & a-b \\ \end{matrix} \right] &= \left[ \begin{matrix} 1 & -\frac{1}{2}a \\ -2b & 3 \\ \end{matrix} \right] \end{align}$
$a+b=1$
$a-b=3$
----------- (+)
$\begin{align}2a &= 4 \\ a &= 2 \end{align}$
Jawaban: E

UM UNDIP 2019 Kode 324 Matematika Saintek No. 48

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. Jarak titik B ke diagonal ruang AG adalah ... cm.
(A) $5\sqrt{3}$
(B) $6\sqrt{3}$
(C) $3\sqrt{6}$
(D) $4\sqrt{6}$
(E) $6\sqrt{6}$
Video Pembahasan:

Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!

Jarak titik B ke diagonal ruang AG = panjang ruas garis BP.
BG = diagonal sisi kubus, maka:
BG = $s\sqrt{2}=12\sqrt{2}$
AG = diagonal ruang kubus, maka:
AG = $s\sqrt{3}=12\sqrt{3}$
Dengan menggunakan luas segitiga ABG, maka:
$\begin{align}\frac{1}{2}.AG.BP &= \frac{1}{2}.AB.BC \\ AG.BP &= AB.BC \\ 12\sqrt{3}.BP &= 12.12\sqrt{2} \\ BP &= \frac{144\sqrt{2}}{12\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ BP &= 4\sqrt{6} \end{align}$
Jadi, jarak titik B ke diagonal ruang AG adalah $4\sqrt{3}$ cm.
Cara Alternatif:
Jarak titik sudut kubus ke diagonal ruang kubus adalah $\frac{s}{3}\sqrt{6}=\frac{12}{3}\sqrt{6}=4\sqrt{6}$.
Jawaban: D

UM UNDIP 2019 Kode 324 Matematika Saintek No. 49

Diberikan dua fungsi real $f(x)=x^2-2|x|$ dan $g(x)=x^2+1$. Jumlah semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan $(f\circ g)(x)=0$ adalah ...
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 4
Video Pembahasan:

Pembahasan:
$x^2 \ge 0\Rightarrow x^2+1 \ge 0$ maka $\left| x^2+1 \right|=x^2+1$
$\begin{align}(f\circ g)(x) &= 0 \\ f(g(x)) &= 0 \\ f(x^2+1) &= 0 \\ (x^2+1)^2-2\left| x^2+1 \right| &= 0 \\ (x^2+1)^2-2(x^2+1) &= 0 \\ (x^2+1)(x^2+1-2) &= 0 \\ (x^2+1)(x^2-1) &= 0 \\ (x^2+1)(x+1)(x-1) &= 0 \end{align}$
$x+1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$
$x-1 = 0 \Rightarrow x_2 = 1$
Jadi, jumlah semua nilai $x$ adalah $x_1+x_2=-1+1=0$.
Jawaban: C

UM UNDIP 2019 Kode 324 Matematika Saintek No. 50

Jika $|f(x)-2|\le x+3$, maka nilai $\underset{x\to -3}{\mathop{\lim }}\,f(x)$ = ...
(A) -2
(B) 0
(C) 1
(D) 2
(E) 3
Video Pembahasan:

Pembahasan:
Pertidaksamaan Nilai Mutlak:
$\left| f(x)-2 \right|\le x+3$ maka:
$-x-3 \le f(x)-2 \le x+3$
$-x-3+2 \le f(x)-2+2 \le x+3+2$
$-x-1 \le f(x) \le x+5$
$\begin{align}\underset{x\to -3}{\mathop{\lim }}\,f(x) &= \underset{x\to -3}{\mathop{\lim }}\,(-x-1) \\ &= -(-3)-1 \\ &= 2 \end{align}$
atau
$\begin{align}\underset{x\to -3}{\mathop{\lim }}\,f(x) &= \underset{x\to -3}{\mathop{\lim }}\,(x+5) \\ &= -3+5 \\ &= 2 \end{align}$
Jawaban: D

UM UNDIP 2019 Kode 324 Matematika Saintek No. 51

Diberikan fungsi kuadrat $f(x)=x^2+ax+b$, dengan $a$ dan $b$ konstanta real. $f(-1)=2$ dan $f(2)=-1$, maka nilai minimum untuk fungsi $f$ adalah ...
(A) -3
(B) -2
(C) 0
(D) 3
(E) 4
Video Pembahasan:

Pembahasan:
$f(x)=x^2+ax+b$
$\begin{align}f(-1) &= 2 \\ (-1)^2+a(-1)+b &= 2 \\ -a+b &= 1 \,......\,(1) \end{align}$
$\begin{align}f(2) &= -1 \\ 2^2+a.2+b &= -1 \\ 2a+b &= -5\,......\,(2) \end{align}$
Eliminasi $b$ dari persamaan (1) dan (2), maka:
$-a+b=1$
$2a+b=-5$
-------------- (-)
$\begin{align}-3a &= 6 \\ a &= -2 \end{align}$
Substitusi ke:
$\begin{align}2a+b &= -5 \\ 2(-2)+b &= -5 \\ b &= -1 \end{align}$
Fungsi kuadrat:
$f(x)=x^2+ax+b$
$f(x)=x^2-2x-1$
A = 1, B = -2, C = -1
Nilai minimum diperoleh untuk
$x=-\frac{B}{2A}=-\frac{-2}{2.1}=1$
Jadi, nilai minimum $f(x)=x^2-2x-1$ adalah:
$f(1)=1^2-2.1-1=0$
Jawaban: C

UM UNDIP 2019 Kode 324 Matematika Saintek No. 52

Persamaan kuadrat $x^2-ax+(a-1)=0$, mempunyai akar-akar $x_1 > 1$ dan $x_2 < 1$ untuk ...
(A) $a \ne 2$
(B) $a < 2$
(C) $a < 0$
(D) $a > 0$
(E) $a > 2$
Video Pembahasan:

Pembahasan:
Akar-akar persamaan kuadrat ${{x}_{1}}>1$ dan ${{x}_{2}}<1$, artinya akar-akar real dan berbeda (D > 0)
$x^2-ax+(a-1)=0$
$\begin{align}D &> 0 \\ (-a)^2-4.1.(a-1) &> 0 \\ a^2-4a+4 &> 0 \\ (a-2)(a-2) &> 0 \\ \end{align}$
$a < 2$ atau $a > 2$
Dapat juga ditulis $a \ne 2$
Jawaban: A

UM UNDIP 2019 Kode 324 Matematika Saintek No. 53

Jika $a-b=\sin \theta $ dan $\sqrt{2ab}=\cos \theta $, maka $(a+b)^2$ = ...
(A) $\frac{1}{2}(1+\cos 2\theta )$
(B) $\frac{1}{2}(2+\cos 2\theta )$
(C) $\frac{1}{2}(3+\cos 2\theta )$
(D) $\frac{1}{2}(1+2\cos 2\theta )$
(E) $\frac{1}{2}(1+3\cos 2\theta )$
Video Pembahasan:

Pembahasan:
$\sqrt{2ab}=\cos \theta \Leftrightarrow 2ab={{\cos }^{2}}\theta $
$\begin{align}a-b &=\sin \theta \\ (a-b)^2 &={\sin }^2\theta \\ a^2-2ab+b^2 &= {\sin }^2\theta \\ a^2+b^2 &= {\sin }^2\theta +2ab \\ a^2+b^2 &= {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta \\ a^2+b^2 &= 1 \end{align}$

$\begin{align}(a+b)^2 &= a^2+b^2+2ab \\ &= 1+{\cos}^2\theta \\ &= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2\theta \\ &= \frac{3}{2}+\frac{1}{2}\cos 2\theta \\ (a+b)^2 &= \frac{1}{2}(3+\cos 2\theta ) \end{align}$
Jawaban: C

UM UNDIP 2019 Kode 324 Matematika Saintek No. 54

Persamaan garis singgung yang melalui titik $(6,-6)$ terhadap hiperbola $x^2-y^2=144$ adalah ...
(A) $3y=5x-48$
(B) $3y=5x-24$
(C) $3y=5x-16$
(D) $5y=3x+24$
(E) $5y=3x+48$
Video Pembahasan:

Pembahasan:
Persamaan garis singgung melalui titik $(6,-6)$ dan gradien m adalah:
$\begin{align}y-y_1 &= m(x-x_1) \\ y+6 &= m(x-6) \\ y &= mx-6m-6 \end{align}$
Substitusi $y=mx-6m-6$ ke persamaan hiperbola:
$x^2-y^2=144$
$x^2-(mx-6m-6)^2=144$
$x^2-(m^2x^2+36m^2+36-12m^2x-12mx+72m)=144$
$(1-m^2)x^2+(12m^2+12m)x-(36m^2+72m+180)=0$
Syarat menyinggung D = 0, maka:
$D=0$
$b^2-4ac=0$
$(12m^2+12m)^2-4(1-m^2)(-36m^2-72m-180)=0$
$144m^4+288m^3+144m^2+144m^2+288m+720-144m^4-288m^3-720m^2=0$
$-432m^2+288m+720=0$
$3m^2-2m-5=0$
$(3m-5)(m+1)=0$
$m=\frac{5}{3}$ atau $m=-1$
Untuk $m=\frac{5}{3}$ maka persamaan garis singgung adalah:
$\begin{align}y &= mx-6m-6 \\ &= \frac{5}{3}x-6.\frac{5}{3}-6 \\ y &= \frac{5}{3}x-16 \\ 3y &= 5x-48 \end{align}$
Untuk $m=-1$ maka persamaan garis singgung adalah:
$\begin{align}y &= mx-6m-6 \\ &= (-1)x-6.(-1)-6 \\ y &= -x \end{align}$
Jadi, persamaan garsi singgung adalah $3y=5x-48$ dan $y=-x$.
Jawaban: A

UM UNDIP 2019 Kode 324 Matematika Saintek No. 55

Pada ulangan matematika diketahui nilai rata-rata kelas adalah 67. Jika rata-rata nilai matematika untuk siswa 65 dan untuk siswi 70, maka perbandingan banyaknya siswa dan siswi pada kelas tersebut adalah ...
(A) 2 : 3
(B) 3 : 2
(C) 4 : 3
(D) 6 : 2
(E) 8 : 3
Video Pembahasan:

Pembahasan:
$n_1$ = banyak siswa
$n_2$ = banyak siswi
${\bar{x}}_1$ = rata-rata nilai matematika siswa = 65
${\bar{x}}_2$ = rata-rata nilai matematika siswi = 70
${\bar{x}}_{total}$ = 67
$\begin{align}{\bar{x}}_{total} &= \frac{n_1.{\bar{x}}_1+n_2.{\bar{x}}_2}{n_1+n_2} \\ 67 &= \frac{n_1.65+n_2.70}{n_1+n_2} \\ 67n_1+67n_2 &= 65n_1+70n_2 \\ 2n_1 &= 3n_2 \\ \frac{n_1}{n_2} &= \frac{3}{2} \end{align}$
Jadi, perbandingan banyaknya siswa dan siswi pada kelas tersebut adalah 3:2.
Cara alternatif:
$\begin{align}n_1 : n_2 &= \left| {\bar{x}}_{total}-{\bar{x}}_2 \right| : \left| {\bar{x}}_{total}-{\bar{x}}_1 \right| \\ n_1:n_2 &= \left| 67-70 \right| : \left| 67-65 \right| \\ n_1:n_2 &= \left| -3 \right| : \left| 2 \right| \\ n_1 : n_2 &= 3:2 \\ \end{align}$
Jawaban: B

Semoga postingan: Pembahasan Soal UM UNDIP Matematika Saintek Tahun 2019 Kode Soal 324 ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :