Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2017 Kode 824 No.1-10 - CATATAN MATEMATIKA

Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2017 Kode 824 No.1-10

To the point aja ya...! Berbagi itu Indah, dan kali ini CM (Catatan Matematika) berbagi Soal dan Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2017 Kode 824 No.1-10. Mari kita belajar bersama.

Matematika Dasar UM-UGM 2017 No. 1
Tujuh bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlah tiga bilangan pertama sama dengan 33 dan jumlah tiga bilangan terakhir sama dengan 69 maka jumlah suku ke-4 dan ke-5 adalah …
A. 31   B. 33   C. 37   D. 41   E. 46
Pembahasan:
Barisan aritmetika:
${{U}_{1}}$, ${{U}_{2}}$, ${{U}_{3}}$, ${{U}_{4}}$, ${{U}_{5}}$, ${{U}_{6}}$, ${{U}_{7}}$
${{U}_{n}}=a+(n-1)b$
${{U}_{1}}+{{U}_{2}}+{{U}_{3}}=33$
$a+(a+b)+(a+2b)=33$
$3a+3b=33$
$a+b=11$ …. (1)
${{U}_{5}}+{{U}_{6}}+{{U}_{7}}=69$
$(a+4b)+(a+5b)+(a+6b)=69$
$3a+15b=69$
$a+5b=23$ … (2)
$a+b=11$
------------------------ (-)
$4b=12\Leftrightarrow b=3$
$a+b=11\Leftrightarrow a+3=11\Leftrightarrow a=8$
${{U}_{4}}+{{U}_{5}}=(a+3b)+(a+4b)$
$=2a+7b$
$=2.8+7.3$
$=37$
Kunci: C

Matematika DASAR UM-UGM 2017 No. 2
Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah kuadrat tiga suku pertamanya adalah 40 lebih besar dari 9 kali kuadrat suku ke-2. Selisih suku ke-7 dan suku ke-5 adalah …
A. 1079
B. 1166
C. 1296
D. 1386
E. 1469
Pembahasan:
Barisan Geometri: ${{U}_{n}}=a{{r}^{n-1}}$
$a=2$
$U_{1}^{2}+U_{2}^{2}+U_{3}^{2}=9U_{2}^{2}+40$
${{a}^{2}}+{{a}^{2}}{{r}^{2}}+{{a}^{2}}{{r}^{4}}=9{{a}^{2}}{{r}^{2}}+40$
$4+4{{r}^{2}}+4{{r}^{4}}=9.4{{r}^{2}}+40$
$1+{{r}^{2}}+{{r}^{4}}=9{{r}^{2}}+10$
${{r}^{4}}-8{{r}^{2}}-9=0$
$({{r}^{2}}-9)({{r}^{2}}+1)=0$
${{r}^{2}}-9=0$
$(r-3)(r+3)=0$
$r=3$ atau $r=-3$
Kita ambil $r=3$, $a=2$
${{U}_{7}}-{{U}_{5}}=a{{r}^{6}}-a{{r}^{4}}$
$=a{{r}^{4}}({{r}^{2}}-1)$
$={{2.3}^{4}}({{3}^{2}}-1)$
$=1296$
Kunci: C

Matematika DASAR UM-UGM 2017 No. 3
Jika $A=\left[ \begin{matrix}   2 & 1  \\   1 & 1  \\ \end{matrix} \right]$, $B=\left[ \begin{matrix}   1 & 1  \\   1 & 1  \\ \end{matrix} \right]$, dan I adalah matriks identitas maka determinan matriks X yang memenuhi AX + 2B = I adalah …
A. -3   B. -2   C. -1   D. 0   E. 4
Pembahasan:
$AX+2B=I$
$\left[ \begin{matrix}   2 & 1  \\   1 & 1  \\ \end{matrix} \right]X+2\left[ \begin{matrix}   1 & 1  \\   1 & 1  \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}   1 & 0  \\   0 & 1  \\ \end{matrix} \right]$
$\left[ \begin{matrix}   2 & 1  \\   1 & 1  \\ \end{matrix} \right]X=\left[ \begin{matrix}   1 & 0  \\   0 & 1  \\ \end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix}   2 & 2  \\   2 & 2  \\ \end{matrix} \right]$
$\left[ \begin{matrix}   2 & 1  \\   1 & 1  \\ \end{matrix} \right]X=\left[ \begin{matrix}   -1 & -2  \\   -2 & -1  \\ \end{matrix} \right]$
$\left| \begin{matrix}   2 & 1  \\   1 & 1  \\ \end{matrix} \right|\left| X \right|=\left| \begin{matrix}   -1 & -2  \\   -2 & -1  \\ \end{matrix} \right|$
$(2-1)\left| X \right|=(1-4)$
$\left| X \right|=-3$
Kunci: A

Matematika DASAR UM-UGM 2017 No. 4
Jika himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\frac{5}{1+x} < 2$ dan $\frac{5}{1-x} > 2$ adalah {x : x bilangan real, p < x < q} maka $2p-q$ = …
A. -4   B. -2   C. -1/2   D. 2   E. 4
Pembahasan:
$\frac{5}{1+x} < 2$
$\frac{5}{1+x}-2 < 0$
$\frac{5}{1+x}-\frac{2(1+x)}{1+x} < 0$
$\frac{3-2x}{1+x} < 0$
$(3-2x)(1+x) < 0$
$(2x-3)(x+1) > 0$
$x < -1$ atau $x > \frac{3}{2}$ …. (1)
$\frac{5}{1-x} > 2$
$\frac{5}{1-x}-2 > 0$
$\frac{5}{1-x}-\frac{2(1-x)}{1-x} > 0$
$\frac{3+2x}{1-x} > 0$
$(3+2x)(1-x) > 0$
$(2x+3)(x-1) < 0$
$-\frac{3}{2} < x < 1$ …. (2)
Garis bilangan (1) dan (2)
Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2017 Kode 824
HP = $-\frac{3}{2} < x < -1$ maka $p=-\frac{3}{2}$ dan $q=-1$
$2p-q=2(-\frac{3}{2})-(-1)=-2$
Kunci: B

Matematika DASAR UM-UGM 2017 No. 5
Nilai maksimum dari 2x + 6y yang memenuhi kendala $-x+4y\ge 1$, $-2x+y\ge -12$, $x+y\ge 4$, $1\le y\le 3$, $x\ge 0$ adalah …
A. 26   B. 28   C. 30   D. 33   E. 36
Pembahasan:
Perhatikan gambar daerah himpunan penyelesaian dari kendala yang diberikan!
Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2017 Kode 824
Garis berwarna merah adalah garis selidik fungsi objektif 2x + 6y = k, dan yang diminta nilai k maksimum dan dengan memperhatikan gambar kita peroleh nilai maksimum diperoleh di C. 
Titik C adalah titik potong garis
$-2x+y=-12$ dan $y=3$
$-2x+3=-12$
$-2x=-15\Leftrightarrow x=\frac{15}{2}$
Titik $C\left( \frac{15}{2},3 \right)$ maka nilai maksimum:
$2x+6y=2.\frac{15}{2}+6.3=33$
Kunci: D

Matematika DASAR UM-UGM 2017 No. 6
Pada suatu deret geometri diketahui suku ke-6 adalah 162 dan jumlah logaritma dari suku ke-2, ke-3, dan ke-4 sama dengan 3 log 2 + 3 log 3. Suku ke-3 deret tersebut adalah …
A. 3   B. 6   C. 9   D. 18   E. 54
Pembahasan:
Barisan Geometri: ${{U}_{n}}=a{{r}^{n-1}}$
${{U}_{2}}=ar=162$
$\log {{U}_{2}}+\log {{U}_{3}}+\log {{U}_{4}}=3\log 2+3\log 3$
$\log ar+\log a{{r}^{2}}+\log a{{r}^{3}}=3(\log 2+\log 3)$
$\log ar.a{{r}^{2}}.a{{r}^{3}}=3(\log 2.3)$
$\log {{a}^{3}}{{r}^{6}}=3.\log 6$
$\log {{(a{{r}^{2}})}^{3}}=\log {{6}^{3}}$
$a{{r}^{2}}=6={{U}_{3}}$
Kunci: B

Matematika DASAR UM-UGM 2017 No. 7
Sistem persamaan linear:
$2x\sin a+y\cos a=-2$
$2x\cos a-y\sin a=2$
Mempunyai solusi $\left( \begin{matrix}   x  \\   y  \\ \end{matrix} \right)$ = …
A. $\left[ \begin{matrix}   \sin a+\cos a  \\   -2\cos a-2\sin a  \\ \end{matrix} \right]$
B. $\left[ \begin{matrix}   -\sin a+\cos a  \\   2\cos a-2\sin a  \\ \end{matrix} \right]$
C. $\left[ \begin{matrix}   \sin a-\cos a  \\   -2\cos a-2\sin a  \\ \end{matrix} \right]$
D. $\left[ \begin{matrix}   -\sin a+\cos a  \\   -2\cos a-2\sin a  \\ \end{matrix} \right]$
E. $\left[ \begin{matrix}   -\sin a+\cos a  \\   -2\cos a+2\sin a  \\ \end{matrix} \right]$
Pembahasan:
$2x\sin a+y\cos a=-2$
$2x\cos a-y\sin a=2$
Bentuk matriks:
$\left[ \begin{matrix}   2\sin a & \cos a  \\   2\cos a & -\sin a  \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}   x  \\   y  \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}   -2  \\   2  \\ \end{matrix} \right]$
$\left[ \begin{matrix}   x  \\   y  \\ \end{matrix} \right]={{\left[ \begin{matrix}   2\sin a & \cos a  \\   2\cos a & -\sin a  \\ \end{matrix} \right]}^{-1}}\left[ \begin{matrix}   -2  \\   2  \\ \end{matrix} \right]$
$\left[ \begin{matrix}   x  \\   y  \\ \end{matrix} \right]=\frac{1}{-2{{\sin }^{2}}a-2{{\cos }^{2}}a}\left[ \begin{matrix}   -\sin a & -\cos a  \\   -2\cos a & 2\sin a  \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}   -2  \\   2  \\ \end{matrix} \right]$
$\left[ \begin{matrix}   x  \\   y  \\ \end{matrix} \right]=\frac{1}{-2({{\sin }^{2}}a+{{\cos }^{2}}a)}\left[ \begin{matrix}   -\sin a & -\cos a  \\   -2\cos a & 2\sin a  \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}   -2  \\   2  \\ \end{matrix} \right]$
$\left[ \begin{matrix}   x  \\   y  \\ \end{matrix} \right]=\frac{1}{-2.1}\left[ \begin{matrix}   -\sin a & -\cos a  \\   -2\cos a & 2\sin a  \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}   -2  \\   2  \\ \end{matrix} \right]$
$\left[ \begin{matrix}   x  \\   y  \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}   -\sin a & -\cos a  \\   -2\cos a & 2\sin a  \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}   1  \\   -1  \\ \end{matrix} \right]$
$\left[ \begin{matrix}   x  \\   y  \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}   \sin a+\cos a  \\   -2\cos a-2\sin a  \\ \end{matrix} \right]$
Kunci: A

Matematika DASAR UM-UGM 2017 No. 8
Untuk bilangan $a > 1$, jika $p=\frac{x}{{{a}^{3}}}$ maka nilai semua $x$ yang memenuhi $\frac{{}^{p}\log a}{{}^{a}\log x-4} < 0$ adalah …
A. ${{a}^{-3}} < x < {{a}^{4}}$
B. ${{a}^{3}} < x < {{a}^{4}}$
C. ${{a}^{-4}} < x < {{a}^{3}}$
D. ${{a}^{-2}} < x < {{a}^{2}}$
E. $a < x < {{a}^{4}}$
Pembahasan:
$p=\frac{x}{{{a}^{3}}}=x.{{a}^{-3}}$
$\frac{{}^{p}\log a}{{}^{a}\log x-4} < 0$
$\frac{1}{{}^{a}\log p({}^{a}\log x-4)} < 0$
$\frac{1}{{}^{a}\log x{{a}^{-3}}({}^{a}\log x-4)} < 0$
$\frac{1}{({}^{a}\log x+{}^{a}\log {{a}^{-3}})({}^{a}\log x-4)} < 0$
$({}^{a}\log x-3)({}^{a}\log x-4) < 0$
$3 < {}^{a}\log x < 4$
${{a}^{3}} < x < {{a}^{4}}$
Kunci: B

Matematika DASAR UM-UGM 2017 No. 9
Jika $f(x)=\frac{8{{x}^{2}}}{{{(4-x)}^{2}}}$ maka nilai $\frac{f'(2)}{f(2)}$ = …
A. 3   B. 2   C. 3/2   D. 1/2   E. 0
Pembahasan:
$f(x)=\frac{8{{x}^{2}}}{{{(4-x)}^{2}}}=\frac{u}{v}$
$f(2)=\frac{{{8.2}^{2}}}{{{(4-2)}^{2}}}=8$
$f'(x)=\frac{u'.v-v'.u}{{{v}^{2}}}$
$f'(x)=\frac{16x{{(4-x)}^{2}}-(-2x-8).8{{x}^{2}}}{{{(4-x)}^{4}}}$
$f'(2)=\frac{16.2{{(4-2)}^{2}}-(-2.2-8){{.8.2}^{2}}}{{{(4-2)}^{4}}}$
$f'(2)=\frac{128+384}{16}=32$
$\frac{f'(2)}{f(2)}=\frac{32}{8}=4$
Kunci: E

Matematika DASAR UM-UGM 2017 No. 10
Garis singgung kurva $y=15\frac{x-1}{x+k}$ di titik $({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ dengan ${{x}_{0}}=k+1$ memotong sumbu X di $\left( \frac{1}{2},0 \right)$. Nilai ${{y}_{0}}$ = …
A. 0   B. 1   C. 5   D. 45/2   E. 45
Pembahasan:
$y=15\frac{x-1}{x+k}$
${{x}_{0}}=k+1$ maka ${{y}_{0}}=\frac{15k}{2k+1}$
$\frac{dy}{dx}=\frac{15(x+k)-15(x-1)}{{{(x+k)}^{2}}}=\frac{15(k+1)}{{{(x+k)}^{2}}}$
$m={{\left. \frac{dy}{dx} \right|}_{x=k+1}}$
$m=\frac{15(k+1)}{{{(2k+1)}^{2}}}$
Persamaan garis singgung:
$y-\frac{15k}{2k+1}=\frac{15(k+1)}{{{(2k+1)}^{2}}}\{x-(k+1)\}$
Memotong sumbu X di $\left( \frac{1}{2},0 \right)$.
$0-\frac{15k}{2k+1}=\frac{15(k+1)}{{{(2k+1)}^{2}}}\left\{ \frac{1}{2}-(k+1) \right\}$
$-\frac{15k}{2k+1}=\frac{15(k+1)}{{{(2k+1)}^{2}}}.\frac{-(2k+1)}{2}$
$\frac{k}{1}=\frac{(k+1)}{1}.\frac{1}{2}$
$2k=k+1\Leftrightarrow k=1$
${{y}_{0}}=\frac{15k}{2k+1}$
${{y}_{0}}=\frac{15.1}{2.1+1}=5$
Bagikan ke:

0 Response to "Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2017 Kode 824 No.1-10"

Post a Comment

Terima kasih atas komentar dan kunjungannya. #Berbagi Itu Indah.

Contact Form

Name

Email *

Message *