Skip to content Skip to sidebar Skip to footer

Prinsip Teleskoping

PRINSIP TELESKOPING
Prinsip teleskopik banyak digunakan untuk menyederhanakan suatu deret. Ada dua bentuk umum yang dikenal, yaitu penjumlahan dan perkalian sebagai berikut:
a. Prinsip Teleskopik Penjumlahan
$\sum\limits_{i=1}^{n}{({{a}_{i+1}}-{{a}_{i}})}$
$=({{a}_{2}}-{{a}_{1}})+({{a}_{3}}-{{a}_{2}})+({{a}_{4}}-{{a}_{3}})+...+({{a}_{n}}-{{a}_{n-1}})+({{a}_{n+1}}-{{a}_{n}})$
$={{a}_{n+1}}-{{a}_{1}}$
b. Prinsip Teleskopik Perkalian
$=\prod\limits_{i=1}^{n}{\frac{{{a}_{i+1}}}{{{a}_{i}}}}$ 
$=\frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}}.\frac{{{a}_{3}}}{{{a}_{2}}}.\frac{{{a}_{4}}}{{{a}_{3}}}...\frac{{{a}_{n}}}{{{a}_{n-1}}}.\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}$
$=\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{1}}}$

Contoh 1.
$\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+ ...+\frac{1}{2005.2006}=...$
Pembahasan:
$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
maka soal:
$\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+ ...+\frac{1}{2004.2005}+\frac{1}{2005.2006}=$ diubah menjadi:
$=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ ...+\frac{1}{2004}-\frac{1}{2005}+\frac{1}{2005}-\frac{1}{2006}$
Jika kita perhatikan suku kedua dan seterusnya dijumlahkan setiap dua suku maka hasilnya nol, maka diperoleh
$=1-\frac{1}{2006}$
$=\frac{2005}{2006}$

Contoh 2.
$\left( 1+\frac{1}{1} \right)\left( 1+\frac{1}{2} \right)\left( 1+\frac{1}{3} \right)\left( 1+\frac{1}{4} \right)...\left( 1+\frac{1}{n} \right) = ... $
Pembahasan:
$\left( 1+\frac{1}{1} \right)\left( 1+\frac{1}{2} \right)\left( 1+\frac{1}{3} \right)\left( 1+\frac{1}{4} \right)...\left( 1+\frac{1}{n-1} \right)\left( 1+\frac{1}{n} \right)$
$=2.\frac{3}{2}.\frac{4}{3}.\frac{5}{4}...\frac{n}{n-1}.\frac{n+1}{n}$
dengan melihat pola di atas, diperoleh saling membagi sehingga hasilnya menjadi
$=n+1$
Jadi,
$\left( 1+\frac{1}{1} \right)\left( 1+\frac{1}{2} \right)\left( 1+\frac{1}{3} \right)...\left( 1+\frac{1}{n} \right)=n+1$

Semoga postingan: Prinsip Teleskoping ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Dapatkan Update terbaru, subscribe channel kami:
Channel Youtube b4ngrp
Fanspage FB Catatan Matematika
Channel Telegram Catatan Matematika

Post a comment for "Prinsip Teleskoping"

close