Limit Fungsi Aljabar untuk x mendekati a

A. Definisi Limit Fungsi

$\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L$ artinya jika $x$ mendekati $a$ tetapi $x\ne a$ maka nilai $f(x)$ mendekati L.
Contoh:
$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x^2-1}{x-1}$ = ...
Penyelesaian:
$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ terdefinisi untuk semua $x$ bilangan real kecuali $x=1$.
$f(1)=\frac{{{1}^{2}}-1}{1-1}=\frac{0}{0}$ (bentuk tak tentu)
Kita dapat menentukan nilai $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x^2-1}{x-1}$ dengan mencari nilai-nlai $f(x)$ untuk $x$ mendekati 1 baik dari kiri maupun kanan. Perhatikan tabel berikut!

Nilai $f(x)$ untuk $x$ mendekati 1 dari kiri (limit kiri) adalah 2, ditulis $\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x^2-1}{x-1}=2$.
Nilai $f(x)$ untuk $x$ mendekati 1 dari kanan (limit kanan) adalah 2, ditulis $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x^2-1}{x-1}=2$.
Jadi, karena $\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x^2-1}{x-1}=2$ maka $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x^2-1}{x-1}=2$.
Kita juga dapat menentukan nilai $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x^2-1}{x-1}$ dari grafik $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$.

Berdasarkan grafik diperoleh:
$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x^2-1}{x-1}=2$ maka $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x^2-1}{x-1}=2$
Untuk lebih memahami limit fungsi perhatikan gambar berikut.

$\underset{x\to -{{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=1$ dan $\underset{x\to -{{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=1$ maka $\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,f(x)=1$
$\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=2$ dan $\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=3$, $\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\ne \underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$ maka $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f(x)$ tidak ada.

B. Limit Fungsi Aljabar untuk x→a

Cara menentukan nilai $\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x)$pada umumnya adalah substitusi nilai $x=a$ ke fungsi $f(x)$. Setelah disubstitusi, akan diperoleh hasilnya menjadi 2 bentuk yaitu bentuk tentu dan bentuk tak tentu.
Bentuk tentu: $p$, $\frac{p}{q}$ , $\frac{a}{0}=\infty $, dan $\frac{0}{p}=0$
Bentuk tak tentu: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$, $\infty -\infty $, ${{0}^{0}}$, dan ${{\infty }^{\infty }}$
Jika hasilnya bentuk tentu, maka bentuk tentu tersebut adalah hasil dari limitnya, dan jika hasilnya bentuk tak tentu, maka fungsinya harus diproses lagi dengan: Metode Faktorisasi dan Metode Perkalian Sekawan.

---

Contoh 1.
Tentukan nilai $\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+1}{5x}$.
Penyelesaian:
$\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+1}{5x}=\frac{2.3+1}{5.3}=\frac{7}{15}$

---

Contoh 2.
Tentukan nilai $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{x^2+5x+6}{3x-6}$.
Penyelesaian:
$\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{x^2+5x+6}{3x-6}=\frac{{{2}^{2}}+5.2+6}{3.2-6}=\frac{20}{0}=\infty $

---

Contoh 3.
Tentukan nilai $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x^2-4x+3}{3x^2-2x-1}$.
Penyelesaian:
$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x^2-4x+3}{3x^2-2x-1}=\frac{{{1}^{2}}-4.1+3}{{{3.1}^{2}}-2.1-1}=\frac{0}{0}$
Hasil substitus $\frac{0}{0}$ bentuk tak tentu, maka itu bukanlah nilai limitnya.
Untuk itu gunakan metode faktorisasi:
$\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{g(x)}$ = $\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-a).p(x)}{(x-a).q(x)}$ = $\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{p(x)}{q(x)}$ = $\frac{p(a)}{q(a)}$
$\begin{align}\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x^2-4x+3}{3x^2-2x-1} &= \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-1)(x-3)}{(x-1)(3x+1)} \\ &= \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-3}{3x+1} \\ &= \frac{1-3}{3.1+1} \\ &= \frac{-2}{4} \\ &= -\frac{1}{2} \end{align}$

---

Contoh 4.
Tentukan nilai $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{x^2-4}{x^2-3x+2}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{x^2-4}{x^2-3x+2} &= \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-1)} \\ &= \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+2}{x-1} \\ &= \frac{2+2}{2-1} \\ &= 4 \end{align}$

---

Contoh 5.
Tentukan nilai $\underset{a\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}^{3}}-8}{a^2+a-6}$.
Penyelesaian:
$\underset{a\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}^{3}}-8}{a^2+a-6}$
= $\underset{a\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{(a-2)(a^2+2a+4)}{(a-2)(a+3)}$
= $\underset{a\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{a^2+2a+4}{a+3}$
= $\frac{{{2}^{2}}+2\cdot 2+4}{2+3}$
= $\frac{12}{5}$

---

Contoh 6.
Tentukan nilai $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\sqrt{2-x}}{x-1}$.
Penyelesaian:
$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\sqrt{2-x}}{x-1}=\frac{1-\sqrt{2-1}}{1-1}=\frac{0}{0}$ (bentuk tak tentu).
Untuk itu gunakan metode perkalian sekawan:
$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\sqrt{2-x}}{x-1}$
= $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{(1-\sqrt{2-x})}{(x-1)}\times \frac{(1+\sqrt{2-x})}{(1+\sqrt{2-x})}$
= $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-(2-x)}{(x-1)(1+\sqrt{2-x})}$
= $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-2+x}{(x-1)(1+\sqrt{2-x})}$
= $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-1)}{(x-1)(1+\sqrt{2-x})}$
= $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{1+\sqrt{2-x}}$
= $\frac{1}{1+\sqrt{2-1}}$
= $\frac{1}{2}$

---

Contoh 7.
Tentukan nilai $\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{x^2-x-6}{4-\sqrt{5x+1}}$.
Penyelesaian:
$\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{x^2-x-6}{4-\sqrt{5x+1}}$
= $\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x^2-x-6)}{(4-\sqrt{5x+1})}\times \frac{(4+\sqrt{5x+1})}{(4+\sqrt{5x+1})}$
= $\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x^2-x-6)(4+\sqrt{5x+1})}{16-(5x+1)}$
= $\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x^2-x-6)(4+\sqrt{5x+1})}{15-5x}$
= $\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-3)(x+2)(4+\sqrt{5x+1})}{-5(x-3)}$
= $\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+2)(4+\sqrt{5x+1})}{-5}$
= $\frac{(3+2)(4+\sqrt{5.3+1})}{-5}$
= $\frac{5(4+4)}{-5}$
= $-8$

---

Contoh 8.
Jika $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{a\sqrt{x+3}-b}{x-1}=1$ maka nilai $a^2$ = ..
Penyelesaian:
Perhatikan untuk $x\to 1$, penyebutnya $x-1\to 1-1=0$
Karena nilai limitnya 1, bukan tak hingga maka pembilang juga harus mendekati 0 untuk $x\to 0$
$\begin{align}a\sqrt{x+3}-b &= 0 \\ a\sqrt{1+3}-b &= 0 \\ 2a &= b \end{align}$
$\begin{align}\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{a\sqrt{x+3}-b}{x-1} &= 1 \\ \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{a\sqrt{x+3}-2a}{x-1} &= 1 \\ \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{a(\sqrt{x+3}-2)}{x-1} &= 1 \\ \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{a(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} &= 1 \\ \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{a(x+3-4)}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} &= 1 \\ \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{a(x-1)}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} &= 1 \\ \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{a}{\sqrt{x+3}+2} &= 1 \\ \frac{a}{\sqrt{1+3}+2} &= 1 \\ \frac{a}{4} &= 1 \\ a &= 4 \end{align}$
Nilai $a^2=4^2=16$

C. Soal Latihan

1. Tentukan nilai $\underset{x\to 10}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x-8}{2x-9}$.
2. Tentukan nilai $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{\frac{5x-1}{12x+1}}$.
3. Tentukan nilai $\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{x^2+3x-28}{x^2+4x-32}$.
4. Tentukan nilai $\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{x^2+5x-14}{x^2-49}$.
5. Tentukan nilai $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{5x^4+6x^2+2x}{x^4+2x^2+x}$.
6. Tentuan nilai $\underset{x\to -3}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x^2-5x-12}{x^2-9}$.
7. Tentukan nilai $\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x^2+8x+5}{2x^2-x-3}$.
8. Tentukan nilai $\underset{x\to 6}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{3x-2}-\sqrt{2x+4}}{x-6}$.
9. Tentukan nilai $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{4x}{\sqrt{1-2x}-\sqrt{1+2x}}$.
10. Tentukan nilai $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2}}{\sqrt{5x-1}-\sqrt{4x+1}}$.

Share :