Pembahasan Soal Olimpiade Matematika SMP - MSO 2024 POSI

Berikut ini adalah Soal Olimpiade Matematika SMP - Merdeka Science Olympiad (MSO) 2024 POSI. Silakan dimanfaatkan sebaik mungkin.

Tata Cara Belajar:
Cobalah mengerjakan soal-soal yang tersedia secara mandiri. Setelah itu cocokkanlah jawaban kamu dengan pembahasan yang telah disediakan, dengan cara klik Lihat/Tutup .

Soal Olimpiade Matematika SMP
MSO - POSI 2025 No. 1

Banyaknya bilangan ganjil antara 202 dan 2024 yang habis dibagi 11 adalah …
A. 83
B. 104
C. 165
D. 183

Pembahasan: Lihat/Tutup

Bilangan ganjil antara 202 dan 2024 yang habis dibagi 11 adalah:
$11\times 19$, $11\times 21$, $11\times 23$, …, $11\times 183$
Jadi, banyaknya bilangan yang memenuhi adalah $\frac{183-19}{2}+1$ = 83.
Jawaban: A

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
MSO - POSI 2025 No. 2

Bilangan 4-digit terkecil yang habis dibagi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 10 adalah …
A. 840
B. 1260
C. 2520
D. 5040

Pembahasan: Lihat/Tutup

KPK dari 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 10 adalah $2^3\times 3^2\times 5\times 7=2520$.
Jadi, bilangan 4-digit terkecil tersebut adalah 2520.
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
MSO - POSI 2025 No. 3

Jika median dan rata-rata dari $x-2$, $x+8$, $7-2x$, $15+x$ dan $42-x$ sama besar, maka nilai dari $x$ adalah …
A. $-1$
B. 6
C. 16
D. 28

Pembahasan: Lihat/Tutup

Rata-rata data:
= [($x-2$) + ($x+8$) + ($7-2x$) + ($15+x$) + ($42-x$)] / 5
= 14
Karena terdapat 5 data, maka mediannya adalah salah satu dari datum tersebut.
Kasus 1. Median = $x-2$ = 14 maka $x=16$
Data: 14, 24, -25, 31, 27
Data diurutkan: -25, 14, 24, 27, 31 maka median = 24 (kontradiksi).
Kasus 2. Median = $x+8$ = 14 maka $x=6$.
Data: 4, 14, -5, 21, 35
Data diurutkan: -5, 4, 14, 21, 35 maka median = 14 (sesuai).
Jawaban: B

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
MSO - POSI 2025 No. 4

Luas segitiga yang memiliki panjang 6, $2\sqrt{7}$, dan 8 adalah …
A. $4\sqrt{7}$
B. $6\sqrt{7}$
C. $8\sqrt{7}$
D. $12\sqrt{7}$

Pembahasan: Lihat/Tutup

6 = $2\sqrt{9}$, $2\sqrt{7}$, dan 8 = $2\sqrt{16}$ maka sisi terpanjangnya 8.
Cek teorema pythagoras:
$a^2+b^2=c^2$ dengan $c$ sisi terpanjang.
$\begin{align}6^2+(2\sqrt{7})^2 &= 8^2 \\ 36+28 &= 64 \\ 64 &= 64\,(\text{benar}) \end{align}$
Diperoleh bahwa segitiga tersebut adalah segitiga sama sisi, maka luas segitiga itu adalah:
= $\frac{1}{2}\times 6\times 2\sqrt{7}=6\sqrt{7}$
Jawaban: B

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
MSO - POSI 2025 No. 5

Digit terakhir dari $2024^{2025}+2025^{2024}$ adalah …
A. 1
B. 3
C. 7
D. 9

Pembahasan: Lihat/Tutup

$5^1=5\to 5=5\bmod 10$
$5^2=25\to 5^2=5\bmod 10$
$5^3=125\to 5^3=5\bmod 10$
…
$5^k=5\bmod 10$
$\begin{align}2025^{2024} &\equiv 5^{2024}\bmod 10 \\ &\equiv 5\bmod 10 \end{align}$

$4^1=4\to 4^1\equiv 4\bmod 10$
$4^2=16\to 4^2\equiv 6\bmod 10$
$4^3=64\to 4^3\equiv 4\bmod 10$
$4^4=256\to 4^4\equiv 6\bmod 10$
…
$4^n\equiv 4(\bmod 10)$ jika n ganjil
$4^n\equiv 6(\bmod 10)$ jika n genap
$\begin{align}2024^{2025} &\equiv 4^{2025}(\bmod 10) \\ & \equiv 4(\bmod 10) \end{align}$
Jadi, digit terakhir dari ${{2024}^{2025}}+{{2025}^{2024}}$ adalah 4 + 5 = 9.
Jawaban: D

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
MSO - POSI 2025 No. 6

Gambar berikut menunjukkan sebuah persegi panjang yang telah dibagi menjadi 9 persegi panjang kecil. Luas dari 5 persegi panjang telah diberikan.

Luas dari persegi panjang besar adalah …
A. 6
B. $4\frac{2}{3}$
C. $5\frac{2}{3}$
D. $5\frac{1}{6}$

Pembahasan: Lihat/Tutup

Luas persegi panjang besar:
= $\left( \frac{3}{2}+\frac{1}{2}+1 \right)\left( \frac{1}{3}+\frac{2}{3}+1 \right)=6$
Jawaban: A

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
MSO - POSI 2025 No. 7

Nilai dari $1\times 2\times 3$ + $2\times 3\times 4$ + $3\times 4\times 5$ + ... + $47\times 48\times 49$ + $48\times 49\times 50$ adalah …
A. 1499400
B. 1499500
C. 1500400
D. 1500500

Pembahasan: Lihat/Tutup

$1\times 2\times 3$ + $2\times 3\times 4$ + $3\times 4\times 5$ + … + $47\times 48\times 49$ + $48\times 49\times 50$
= $\sum\limits_{n=2}^{49}{(n-1)n(n+1)}$
= $\sum\limits_{n=2}^{49}{(n^3-n)}$
= $(2^3-2)+(3^3-3)+(4^3-4)+...+(49^3-49)$
= $(2^3+3^3+4^3+...+49^3)-(2+3+4+...+49)$
= $(1+2^3+3^3+4^3+...+49^3)-(1+2+3+4+...+49)$
= $\left( \frac{1}{2}.49(49+1) \right)^2-\frac{1}{2}.49(49+1)$
= $1225^2-1225$
= 1499400
Jawaban: A

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
MSO - POSI 2025 No. 8

Luas dari daerah yang diarsir dari persegi berikut adalah …

A. 7
B. 11
C. 15
D. 19

Pembahasan: Lihat/Tutup

Karena EG garis tinggi yang membagi dua sisi FB maka EF = EB.
Perhatikan segitiga siku-siku EDF dan BAE dengan teorema pythagoras diperoleh:
$\begin{align}EF &= EB \\ EF^2 &= EB^2 \\ (s-1)^2+\frac{1}{4}s^2 &= s^2+1 \\ s^2-2s+1+\frac{1}{4}s^2 &= s^2+1 \\ \frac{1}{4}s^2-2s &= 0 \\ s^2-8s &= 0 \\ s(s-8) &= 0 \\ s &= 8 \end{align}$
Maka ED = 7, DF = 4, FC = 4, CB = 8, AE = 1, dan AB = 8
$\begin{align}[BEF] &= [BCDE]-[BCF]-[EDF] \\ &= \frac{1}{2}(DE+CB).DC-\frac{1}{2}.FC.CB-\frac{1}{2}.DF.DE \\ &= \frac{1}{2}(7+8).8-\frac{1}{2}.4.8-\frac{1}{2}.4.7 \\ &= 60-16-14 \\ [BEF] &= 30 \end{align}$
$\begin{align}\text{arsiran} &= [BAE]+[BEG] \\ &= \frac{1}{2}.AB.AE+\frac{1}{2}[BEF] \\ &= \frac{1}{2}.8.1+\frac{1}{2}.30 \\ &= 19 \end{align}$
Jawaban: D

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
MSO - POSI 2025 No. 9

Jumlah semua nilai dari $n$ sedemikian sehingga 7 membagi $\overline{\underbrace{888...888}_{2024\,\ \ 8s}n\underbrace{999...999}_{2024\,\ \ 9s}}$ adalah …
A. 1
B. 8
C. 9
D. 11

Pembahasan: Lihat/Tutup

Perhatikan bahwa 888888 dan 999999 habis dibagi 7.
Karena 2023 adalah kelipatan 7, maka $\underbrace{888...888}_{2023\,\,\,8s}$ dan $\underbrace{999...999}_{2023\,\,\,9s}$ keduanya habis dibagi 7.
$\overline{\underbrace{888...888}_{2024\,\ \ 8s}n\underbrace{999...999}_{2024\,\ \ 9s}}$ = $\overline{\underbrace{888...88}_{2023\,\ \ 8s}\underbrace{000...000}_{2026\,\ \ 9s}}$ + $\overline{8n9}\times {{10}^{2024}}$ + $\underbrace{999...999}_{2023\,\,\,9s}$
Jadi, kita hanya perlu tentukan nilai dari $n$ sehingga $\overline{8n9}$ habis dibagi 7.
Nilai $n$ yang memenuhi adalah 1 dan 8, sehingga jumlahnya adalah 1 + 8 = 9.
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
MSO - POSI 2025 No. 10

Terdapat 10 bilangan asli. Rata-rata, median dan modus tunggalnya berturut-turut adalah 9, 10 dan 11. Nilai terbesar yang mungkin dari bilangan terbesar dari datanya adalah …
A. 32
B. 36
C. 47
D. 58

Pembahasan: Lihat/Tutup

Misalkan, $x_i$ adalah bilangan ke-$i$ dari data tersebut (secara terurut), dimana $i$ = 1, 2, 3, …, 10.
Karena rata-ratanya adalah 9, maka:
$\begin{align}\frac{x_1+x_2+x_3+...+x_{10}}{10} &= 9 \\ x_1+x_2+x_3+...+x_{10} &= 90 \end{align}$
Karena mediannya adalah 10, maka:
$\frac{x_5+x_6}{2}=10\to x_5+x_6=20$
Karena modusnya adalah lebih besar dari median, agar $x_{10}$ dimaksimalkan, haruslah $x_6=x_7=x_8=x_9=11$ sehingga:
$\begin{align}x_5+x_6 &= 20 \\ x_5+11 &= 20 \\ x_5 &= 9 \end{align}$
Agar $x_{10}$ dimaksimalkan, haruslah $x_1,x_2,x_3,x_4$ sekecil mungkin.
Karena modus tunggal adalah 11 (telah muncul 4 kali), haruslah $x_1=x_2=x_3=1$ dan $x_4=2$.
Jadi, nilai terbesar yang mungkin dari $x_{10}$ adalah $90-(3\times 1+2+9+4\times 11)=32$.
Jawaban: A

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
MSO - POSI 2025 No. 11

Pada gambar berikut, AD//BC, AC dan BD berpotonan di E.

Jika luas $\Delta ABC$ dan $\Delta ABE$ masing-masing adalah 221 dan 85, maka luas $\Delta CDE$ adalah …
A. 68
B. 85
C. 110
D. 136

Pembahasan: Lihat/Tutup

$[ABC]=221$ dan $[ABE]=85$ maka
$\begin{align}[CBE] &= [ABC]-[ABE] \\ &= 221-85 \\ [CBE] &= 136 \end{align}$
AE : CE = [ABE] : [CBE]
AE : CE = 85: 136
AE : CE = 5 : 8
Karena AD // BC, maka $\Delta CBE\sim \Delta ADE$ dengan $\frac{AE}{CE}=\frac{AD}{BC}=\frac{BE}{DE}$ , sehingga:
$[CBE]:[ADE]={{(CE:AE)}^{2}}$
$[CBE]:[ADE]={{(8:5)}^{2}}$
$[CBE]:[ADE]=64:25$
$\frac{[CBE]}{[ADE]}=\frac{64}{25}$
$[ADE]=\frac{25}{64}\times [CBE]$
$\begin{align}\frac{[CDE]}{[ADE]} &= \frac{CE}{AE} \\ [CDE] &= \frac{CE}{AE}\times [ADE] \\ [CDE] &= \frac{8}{5}\times \frac{25}{64}\times [CBE] \\ [CDE] &= \frac{5}{8}\times 136 \\ [CDE] &= 85 \end{align}$
Jawaban: B

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
MSO - POSI 2025 No. 12

Untuk semua bilangan asli $n$, didefinisikan $n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times ...\times 3\times 2\times 1$. Sebagai contoh, $5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$. Sisa pembagian ketika $1!+2!+3!+...+2024!$ dibagi oleh 72 adalah …
A. 7
B. 8
C. 9
D. 81

Pembahasan: Lihat/Tutup

1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720
Peratikan bahwa 6!, 7!, 8!, 9!, …, 2024! semuanya adalah kelipatan dari 72.
1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 1 + 2 + 6 + 24 + 120 = 153
Sisa pembagian ketika 153 dibagi oleh 72 adalah 9.
Jadi, sisa pembagian $1!+2!+3!+...+2024!$ dibagi oleh 72 adalah 9.
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
MSO - POSI 2025 No. 13

Jika $4x^2-5x+4=0$, maka nilai dari $x^2+x^{-2}$ adalah ….
A. $\frac{7}{16}$
B. $-\frac{7}{16}$
C. $\frac{25}{16}$
D. $-\frac{25}{16}$

Pembahasan: Lihat/Tutup

$\begin{align}4x^2-5x+4 &= 0 \\ 4x-5+\frac{4}{x} &= 0 \\ 4x+\frac{4}{x} &= 5 \\ x+\frac{1}{x} &= \frac{5}{4} \\ \left( x+\frac{1}{x} \right)^2 &= \left( \frac{5}{4} \right)^2 \\ x^2+2+\frac{1}{x^2} &= \frac{25}{16} \\ x^2+\frac{1}{x^2} &= \frac{25}{16}-2 \\ x^2+x^{-2} &= -\frac{7}{16} \end{align}$
Jawaban: B

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
MSO - POSI 2025 No. 14

Sebuah kotak mengandung 2 bola hitam dan 2 bola putih. James mengambil 2 bola secara bersamaan dari kotak itu. Jika warna kedua bola berbeda, dia berhenti. Jika warnanya sama, dia mengembalikan kedua bola itu kembali ke kotak itu dan mengulang prosesnya. Peluang dia akan berhenti setelah tepat 3 kali pengambilan adalah …
A. $\frac{1}{16}$
B. $\frac{2}{27}$
C. $\frac{1}{8}$
D. $\frac{4}{27}$

Pembahasan: Lihat/Tutup

Peluang warna yang sama = Peluang terambil 2 hitam atau terambil 2 putih.
= $\frac{C_2^2}{C_2^4}+\frac{C_2^2}{C_2^4}=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$
Peluang terambil warna yang berbeda = $1-\frac{1}{3}$ = $\frac{2}{3}$
Dia akan berhenti setelah tepat 3 kali pengambilan jika dia mendapat warna yang sama pada 2 proses pertama, dan warna yang berbeda pada pengambilan ketiga.
Jadi, peluang dia berhenti setelah 3 kali pengambilan adalah:
= $\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{2}{27}$
Jawaban: B

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
MSO - POSI 2025 No. 15

Banyaknya faktor prima berbeda dari $5^{14}-30+5^{13}$ adalah …
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7

Pembahasan: Lihat/Tutup

$5^{14}-30+5^{13}$
= $5^{14}+5^{13}-30$
= $5^{13}(5+1)-5\times 6$
= $5^{13}\times 6-5\times 6$
= $6\times (5^{13}-5)$
= $2\times 3\times 5\times (5^{12}-1)$
= $2\times 3\times 5\times (5^6+1)\times (5^6-1)$
= $2\times 3\times 5\times (5^6+1)\times (5^3+1)\times (5^3-1)$
= $2\times 3\times 5\times 15626\times 126\times 124$
= $2\times 3\times 5\times (2\times 13\times 601)\times (2\times 3^2\times 7)\times ({{2}^{2}}\times 31)$
= $2^5\times 3^3\times 5\times 7\times 13\times 31\times 601$
Jadi, terdapat 7 buah faktor prima yang berbeda.
Jawaban: D

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
MSO - POSI 2025 No. 16

Pada gambar berikut, ABCD adalah trapesium dengan $\angle BAD=\angle ADC=90^\circ$ dan AB = AD. Titik E terletak pada AD sedemikian sehingga $EB\bot BC$. Jika $A{{B}^{2}}+A{{E}^{2}}=24$ dan $EC=x$, maka nilai dari $x^2$ adalah …
A. 48
B. 49
C. 60
D. 72

Pembahasan: Lihat/Tutup

Perhatikan gambar!

Misalkan, $AB=AD=BF=DF=y$
Perhatikan $\Delta BAE$ berlaku teorema pythagoras:
$BE^2=AB^2+AE^2\to BE^2=y^2+z^2=24$
Perhatikan $\Delta BEC$ berlaku teorema pythagoras:
$BC^2 = EC^2-EB^2\to BC^2=x^2-24$
Perhatikan $\Delta BFC$ berlaku teorema pythagoras:
$\begin{align}FC^2 &= BC^2-BF^2 \\ FC^2 &= x^2-24-y^2 \\ FC &= \sqrt{x^2-y^2-24} \end{align}$
Perhatikan $\Delta EDC$ berlaku teorema pythagoras:
$\begin{align}DC^2 &= EC^2-DE^2 \\ (DF+FC)^2 &= x^2-(y-z)^2 \\ (y+\sqrt{x^2-y^2-24})^2 &= x^2-(y^2-2yz+z^2) \\ y^2+2y\sqrt{x^2-y^2-24}+x^2-y^2-24 &= x^2-(y^2-2yz+z^2) \\ 2y\sqrt{x^2-y^2-24}-24 &= -(24-2yz) \\ 2y\sqrt{x^2-y^2-24}-24 &= -24+2yz \\ 2y\sqrt{x^2-y^2-24} &= 2yz \\ \sqrt{x^2-y^2-24} &= z \\ x^2-y^2-24 &= z^2 \\ x^2 &= z^2+y^2+24 \\ x^2 &= 24+24 \\ x^2 &= 48 \end{align}$
Jawaban: A

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
MSO - POSI 2025 No. 17

Diketahui $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $(a+1)x^2-5(a-1)x+3(a+1)=0$, dimana $a$ adalah bilangan bulat. Jika $x_1+2x_2=5$, maka nilai dari $a$ adalah …
A. $-1$
B. 1
C. 6
D. 9

Pembahasan: Lihat/Tutup

Ingat: jika $px^2+qx+r=0$ akar-akarnya $x_1$ dan $x_2$ maka $x_1.x_2=\frac{r}{p}$ dan $x_1+x_2=\frac{-q}{p}$
$(a+1)x^2-5(a-1)x+3(a+1)=0$ akar-akarnya $x_1$ dan $x_2$ maka:
$x_1+x_2=-\frac{-5(a-1)}{a+1}\to x_1+x_2=\frac{5(a-1)}{a+1}$
$x_1.x_2=\frac{3(a+1)}{(a+1}\to x_1x_2=3$
$\begin{align}x_1+2x_2 &= 5 \\ x_1(x_1+2x_2) &= 5x_1 \\ x_1^2+2x_1.x_2 &= 5x_1 \\ x_1^2+2.3 &= 5x_1 \\ x_1^2-5x_1+6 &= 0 \\ (x_1-2)(x_1-3) &= 0 \end{align}$
$x_1=2$ atau $x_1=3$
Untuk $x_1=2$ maka:
$\begin{align}(a+1)x^2-5(a-1)x+3(a+1) &= 0 \\ (a+1).2^2-5(a-1).2+3(a+1) &= 0 \\ 4a+4-10a+10+3a+3 &= 0 \\ -3a &= -17 \\ a &= \frac{17}{a} \end{align}$
(tidak ada opsi yang sesuai)
Untuk $x_1=3$ maka:
$\begin{align}(a+1)x^2-5(a-1)x+3(a+1) &= 0 \\ (a+1).3^2-5(a-1).3+3(a+1) &= 0 \\ 9a+9-15a+15+3a+3 &= 0 \\ -3a &= -27 \\ a &= 9 \end{align}$
Jadi, nilai $a$ yang memenui adalah 9.
Jawaban: D

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
MSO - POSI 2025 No. 18

Diketahui:
• Terdapat 126 cara untuk membentuk tim beranggotakan $(k+1)$ murid dari $(n+2)$ murid.
• Terdapat 70 cara untuk membentuk tim beranggotakan $k$ murid dari $(n+1)$ murid.
• Terdapat 21 cara untuk membentuk tim beranggotakan $(k+1)$ murid dari $n$ murid.
Banyaknya cara untuk membentuk tim beranggotakan $k$ murid dari $n$ murid adalah …
A. 21
B. 28
C. 35
D. 56

Pembahasan: Lihat/Tutup

Mengingat segitiga Pascal:

Sehingga diperoleh:
$126=C_{k+1}^{n+1}=C_{5}^{9}$
$n+2=9\to n=7$ dan $k+1=5\to k=4$
Jadi, banyaknya cara untuk mmbentuk tim $k=4$ murid dari $n=7$ murid adalah …
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
MSO - POSI 2025 No. 19

Isilah kotak berikut dengan “+”, “–“, “$\times $”, dan “$\div $” supaya hasil dari operasinya terkecil.

Nilai terkecil yang mungkin adalah …
A. $-100$
B. $-99$
C. $-89$
D. 10

Pembahasan: Lihat/Tutup

Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
MSO - POSI 2025 No. 20

Pada gambar berikut, AB adalah diameter lingkaran dan CD adalah garis singgung lingkaran. E adalah suatu titik sedemikian sehingga BCED adalah segiempat tali busur. F terletak pada perpanjangan garis CD sehingga $AF\bot CF$. Jika $\angle FAD=24^\circ$, maka besar $\angle DCE$ adalah ….
A. $24^\circ$
B. $42^\circ$
C. $48^\circ$
D. $66^\circ$

Pembahasan: Lihat/Tutup

Perhatikan gambar!

CD adalah garis singgung, maka $\angle CDO=90^\circ$.
$\angle FAD=24^\circ$ maka:
Perhatikan $\Delta AFD$:
$\begin{align}\angle FDA &= 180^\circ-\angle FAD-\angle AFD \\ &= 180^\circ-90^\circ-24^\circ \\ \angle FDA &= 66^\circ \end{align}$
$\begin{align}\angle ADO &= \angle FDO-\angle FDA \\ &= 90^\circ-66^\circ \\ \angle ADO &= 24^\circ \end{align}$
OA = OD maka $\angle DAO=\angle ADO=24^\circ$
Perhatikan $\Delta ABD$:
$\begin{align}\angle DBA &= 180^\circ-\angle ADB-\angle BAD \\ &= 180^\circ-90^\circ-24^\circ \\ \angle DBA &= 66^\circ \end{align}$
$\begin{align}\angle DBC &= 180^\circ-\angle DBA \\ &= 180^\circ-66^\circ \\ \angle DBC &= 114^\circ \end{align}$
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
MSO - POSI 2025 No. 21

Misalkan $a=2024$. Nilai dari $\left| 2a^3-3a^2-2a+1 \right|$ - $\left| 2a^3-3a^2-3a-2024 \right|$ adalah …
A. $2a-1$
B. $2a+1$
C. $a-1$
D. $a+1$

Pembahasan: Lihat/Tutup

$2a^3-3a^2-2a+1=a(2a^2-3a-2)+1 > 0$
$\begin{align}2a^3-3a^2-3a-2024 &= 2a^3-3a^2-3a-a \\ &= 2a^3-3a^2-4a \\ &= a(2a^2-3a-4) \\ 2a^3-3a^2-3a-2024 & > 0 \end{align}$
$\left| 2a^3-3a^2-2a+1 \right|-\left| 2a^3-3a^2-3a-2024 \right|$
= $(2a^3-3a^2-2a+1)-(2a^3-3a^2-3a-2024)$
= $(2a^3-3a^2-2a+1)-(2a^3-3a^2-3a-a)$
= $2a+1$
Jawaban: B

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
MSO - POSI 2025 No. 22

$\sqrt{\frac{1111111088888888+1}{123456787654322-1}}$ = …
A. $\sqrt{3}$
B. 3
C. $\sqrt{33}$
D. $\sqrt{333}$

Pembahasan: Lihat/Tutup

Perhatikan bahwa:
$33^2=1089$
$333^2=110889$
$3333^2=11108889$
...
${{\underbrace{333...333}_{3\,sebanyak\,n}}^{2}}=\underbrace{111...111}_{1\,sebanyak\,n-1}0\underbrace{888...888}_{8\,sebanyak\,n-1}9$
Perhatikan bahwa:
$11^2=121$
$111^2=12321$
$1111^2=123432$
…
$11111111^2=123456787654321$
$\sqrt{\frac{1111111088888888+1}{123456787654322-1}}$
= $\sqrt{\frac{\underbrace{1111111}_{1\,sebanyak\,7}0\underbrace{8888888}_{8\,sebanyak\,7}9}{11111111^2}}$
= $\sqrt{\frac{33333333^2}{11111111^2}}$
= $\frac{33333333}{11111111}$
= 3
Jawaban: B

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
MSO - POSI 2025 No. 23

Jika $x$ dan $y$ adalah bilangan riil yang memenuhi sistem persamaan $\left\{ \begin{matrix} \frac{36}{y}=3x^2+y^2 \\ \frac{28}{x}=x^2+3y^2 \\ \end{matrix} \right.$ maka nilai dari $20x+24y$ adalah …
A. 64
B. 68
C. 84
D. 92

Pembahasan: Lihat/Tutup

Dari sistem persamaan tersebut diperoleh:
$\frac{\begin{align}3x^2y+y^3 &= 36\,....\,(1) \\ x^3+3xy^2 &= 28\,....\,(2) \end{align}}{\begin{align}x^3+3xy^2+3x^2y+y^3 &= 64 \\ (x+y)^3 &= 4^3 \\ x+y &= 4\,....\,(3) \end{align}}+$
$\frac{\begin{align}3x^2y+y^3 &= 36\,....\,(1) \\ x^3+3xy^2 &= 28\,....\,(2) \end{align}}{\begin{align}y^3-3xy^2+3x^2y-x^3 &= 8 \\ (y-x)^3 &= 2^3 \\ y-x &= 2\,....\,(4) \end{align}}-$
Jumlahkan persamaan (3) dan (4)
$\frac{\begin{align}x+y &= 4 \\ y-x &= 2 \end{align}}{\begin{align}2y &= 6 \\ y &= 3 \end{align}}+$
Substitusi $y=3$ ke persamaan (3):
$\begin{align}x+y &= 4 \\ x+3 &= 4 \\ x &= 1 \end{align}$
Nilai dari $20x+24y=20.1+24.3=92$
Jawaban: D

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
MSO - POSI 2025 No. 24

James menuliskan bilangan asli dari 1 hingga n pada suatu kertas. Matthew menghapus salah satu dari bilangannya, lalu menghitung rata-rata dari bilangan yang tersisa dan mendapatkan 30,8. Bilangan yang dihapus Matthew adalah …
A. 43
B. 52
C. 59
D. 65

Pembahasan: Lihat/Tutup

Misalkan, $k$ adalah bilangan yang dihapus oleh Matthew dimana $k > 0$ dan $k\le n$, maka:
$\begin{align}\frac{1+2+3+...+n-k}{n-1} &= 30,8=\frac{308}{10} \\ \frac{1+2+3+...+n-k}{n-1} &= \frac{154}{5} \\ 5(1+2+3+...+n-k) &= 154(n-1) \\ 5\left( \frac{n(n+1)}{2}-k \right) &= 154(n-1) \\ 5\left( n(n+1)-2k \right) &= 308(n-1) \\ 5n^2+5n-10k &= 308n-308 \\ 5n^2-303n+308 &= 10k \end{align}$
Kasus 1. Untuk $k > 0$
$\begin{align}5n^2-303n+308 &= 10k \\ 5n^2-303n+308 & > 0 \end{align}$
$n > \frac{-(303)+\sqrt{{{303}^{2}}-4.5.308}}{2.5}$, karena $n$ bilangan asli dapat ditulis menjadi $n > 59$
Kasus 2. Untuk $k\le n$
$\begin{align}5n^2-303n+308 &= 10k \\ 5n^2-303n+308 &\le 10n \\ 5n^2-313n+308 &\le 0 \\ (5n-308)(n-1) &\le 0 \end{align}$
$1\le n\le \frac{308}{5}\leftrightarrow 1\le n\le 61,6$, karena $n$ bilangan asli dapat ditulis menjadi $1\le n\le 61$
Dari kasus 1 dan 2 diperoleh $59 < n\le 61$
Nilai $n$ yang mungkin adalah $n=60$ atau $n=61$
Untuk $n=60$
$\begin{align}5n^2-303n+308 &= 10k \\ 5\times 60^2-303\times 60+308 &= 10k \\ 18.000-18.180+308 &= 10k \\ 128 &= 10k \\ 12,8 &= k \end{align}$
Tidak memenuhi karena $k=12,8$ bukan bilangan asli.
Untuk $n=61$
$\begin{align}5n^2-303n+308 &= 10k \\ 5\times 61^2-303\times 61+308 &= 10k \\ 18.605-18.483+308 &= 10k \\ 430 &= 10k \\ 43 &= k \end{align}$
Jadi, bilangan yang dihapus Matthew adalah 43.
Jawaban: A

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
MSO - POSI 2025 No. 25

Perhatikan gambar berikut!

ABCD adalah sebuah persegi. Titik F terletak pada BC. Garis AF dan busur AC berpotongan di titik E. Jika AE = 4 dan EF = 2, maka sisi persegi ABCD dapat dinyatakan sebagai $\sqrt{a}+\sqrt{b}$, dimana $a$ dan $b$ bilangan asli dan $a > b$. Nilai dari $a-b$ adalah …
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15

Pembahasan: Lihat/Tutup

Misalkan, AD = CD = DE = r maka $FP=CD=r$

$\Delta AEQ\sim \Delta AFP$ maka:
$\frac{EQ}{FP}=\frac{EA}{FA}\to \frac{EQ}{r}=\frac{4}{6}\to EQ=\frac{2}{3}r$
Pada $\Delta EDQ$ berlaku teorema pythagoras:
$\begin{align}DQ &= \sqrt{DE^2-EQ^2} \\ &= \sqrt{r^2-\left( \frac{2}{3}r \right)^2} \\ &= \sqrt{\frac{5}{9}r^2} \\ DQ &= \frac{r}{3}\sqrt{5} \end{align}$
Pada $\Delta EAQ$ berlaku teorema pythagoras:
$\begin{align}AQ &= \sqrt{AE^2-EQ^2} \\ &= \sqrt{4^2-\left( \frac{2}{3}r \right)^2} \\ AQ &= \sqrt{16-\frac{4}{9}r^2} \end{align}$
$\begin{align}DQ+AQ &= AD \\ \frac{r}{3}\sqrt{5}+\sqrt{16-\frac{4}{9}r^2} &= r \\ \sqrt{16-\frac{4}{9}r^2} &= r-\frac{r}{3}\sqrt{5} \\ \sqrt{16-\frac{4}{9}r^2} &= \left( 1-\frac{1}{3}\sqrt{5} \right)r \\ 16-\frac{4}{9}r^2 &= \left( 1-\frac{2}{3}\sqrt{5}+\frac{5}{9} \right)r^2 \\ 16-\frac{4}{9}r^2 &= \left( \frac{14-6\sqrt{5}}{9} \right)r^2 \\ 16 &= \left( \frac{18-6\sqrt{5}}{9} \right)r^2 \\ 16 &= \left( \frac{6-2\sqrt{5}}{3} \right)r^2 \\ \frac{48}{6-2\sqrt{5}} &= r^2 \\ r &= \sqrt{\frac{48}{6-2\sqrt{5}}} \\ r &= \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{(5+1)-\sqrt{5\times 1}}} \\ r &= \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{5}-1} \\ r &= \sqrt{15}+\sqrt{3} \\ \sqrt{a}+\sqrt{b} &= \sqrt{15}+\sqrt{3} \end{align}$
$a-b=15-3=12$
Jawaban: A

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
MSO - POSI 2025 No. 26

Jika $x=2+\sqrt{3}$, maka nilai dari ekspresi berikut $\frac{x^4+x^2+1}{x^2}$ = …
A. 7
B. 15
C. 19
D. 25

Pembahasan: Lihat/Tutup

$\begin{align}\frac{x^4+x^2+1}{x^2} &= x^2+1+\frac{1}{x^2} \\ &= \left( x+\frac{1}{x} \right)^2-1 \\ &= \left( 2+\sqrt{3}+\frac{1}{2+\sqrt{3}} \right)^2-1 \\ &= \left( 2+\sqrt{3}+(2-\sqrt{3}) \right)^2-1 \\ &= 15 \end{align}$
Jawaban: B

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
MSO - POSI 2025 No. 27

Pada cryptarithm berikut, setiap huruf mewakili angka yang berbeda. Nilai dari H + I + N + T adalah …

A. 18
B. 22
C. 26
D. 30

Pembahasan: Lihat/Tutup

Jelas A = 1, G = 0, dan T = 9

Dari tempat satuan, karena $O\ne 0$,1, maka $18+O=20+N$ maka $O=N+2$.
Jadi, dari tepat puluhan
$\begin{align}I &= 2+N+O+1 \\ I &= 2+N+N+2+1 \\ I &= 2\times N+5 \end{align}$
• Jika N = 2 maka O = 4, I = 9 (tidak memenuhi, karena T = 9).
• Jika N = 3 maka O = 5, I = 1 (tidak memenuhi)
• Jika N = 4 maka O = 6, I = 3, dari tempat ratusan, 4 + I + H = 11 maka H = 6 (tidak memenuhi O = 6).
• Jika N = 5 maka I = 5 (tidak memenuhi).
• Jika N = 6 maka O = 8, I = 7. Dari tempat ratusan, 6 + I + H = 11 maka H = 4 (memenuhi).
• Jika N = 7, maka O = 9 (tidak memenuhi, karena T = 9).
• Jika N = 8, maka O = 0 (tidak memenuhi, karena $O\ne 0$).
Jadi, nilai dari H + I + N + T = 4 + 7 + 6 + 9 = 26
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
MSO - POSI 2025 No. 28

Banyaknya cara untuk menyusun 10 bilangan asli pertama sehingga kelipatan dari 2 disusun dalam urutan menaik dan kelipatan dari 3 disusun dalam urutan menurun adalah …
A. 720
B. 2160
C. 5040
D. 6480

Pembahasan: Lihat/Tutup

Perhatikan bahwa 6 adalah satu-satunya bilangan berkelipatan 2 dan 3.
Jadi, 3, 8, 10 harus muncul di sebelah kanan dari 6, dan 2, 4, 9 harus muncul di sebelah kiri dari 6.
Banyaknya cara untuk menyusun 7 bilangan itu adalah 3$\times $3 = 9.
Bilangan yang tersisa adalah 1, 5, 7, yang dapat disusun secara bebas.
_2_4_9_6_3_8_10_
Banyak cara untuk menyusun 3 bilangan itu adalah:
= $C_{3}^{8+3-1}\times 3!$
= $C_{3}^{10}\times 3!$
= $\frac{10!}{3!.7!}\times 3!$
= $\frac{10.9.8.7!}{7!}$
= 720.
Jadi, banyaknya cara menyusun 10 bilangan itu adalah $9\times 720$ = 6480.
Jawaban: D

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
MSO - POSI 2025 No. 29

Nilai dari ekspresi berikut adalah …
$\frac{10}{3^1}+\frac{50}{3^2}+\frac{90}{3^3}+\frac{120}{3^4}+\frac{170}{3^5}+...=...$
A. 15
B. 18
C. 20
D. 24

Pembahasan: Lihat/Tutup

Misal: $S=\frac{1}{3^1}+\frac{5}{3^2}+\frac{9}{3^3}+\frac{12}{3^4}+\frac{17}{3^5}+...$ maka $3S=1+\frac{5}{3^1}+\frac{9}{3^2}+\frac{12}{3^3}+\frac{17}{3^4}+...$
$\frac{\begin{align}3S &= 1+\frac{5}{3^1}+\frac{9}{3^2}+\frac{13}{3^3}+\frac{17}{3^4}+... \\ S &= \frac{1}{3^1}+\frac{5}{3^2}+\frac{9}{3^3}+\frac{13}{3^4}+\frac{17}{3^5}+... \end{align}}{\begin{align}2S &= 1+\frac{4}{3^1}+\frac{4}{3^2}+\frac{4}{3^3}+\frac{4}{3^4}+... \\ 2S &= 1+\frac{\frac{4}{3}}{1-\frac{1}{3}} \\ 2S &= 1+\frac{4}{3}\times \frac{3}{2} \\ 2S &= 3 \\ S &= \frac{3}{2} \\ \end{align}}-$
$\frac{10}{3^1}+\frac{50}{3^2}+\frac{90}{3^3}+\frac{120}{3^4}+\frac{170}{3^5}+...$
= $10\left( \frac{1}{3^1}+\frac{5}{3^2}+\frac{9}{3^3}+\frac{13}{3^4}+\frac{17}{3^5}+... \right)$
= $10\times S$
= $10\times \frac{3}{2}$
= 15
Jawaban: A

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
MSO - POSI 2025 No. 30

Perhatikan segitiga ABC berikut.

Titik D adalah titik tenah sisi AC dan titik E berada di sisi AB sehingga EC tegak lurus DB dan $\angle ECA=\angle ECB$, CE dan BD berpotongan di titik M. Jika luas daerah yang diarsir adalah 234 $\text{cm}^2$, maka luas segitiga ABC adalah … $\text{cm}^2$.
A. 351
B. 468
C. 585
D. 703

Pembahasan: Lihat/Tutup

$\angle ECA=\angle ECB$ atau $\angle MCD=\angle MCB$ dan $\angle CMD=\angle CMB=90^\circ$ maka $\Delta CMD\sim \Delta CMB$ sehingga diperoleh: $\frac{CM}{CM}=\frac{CD}{CB}=\frac{MD}{MB}=1$.
Jadi, $\Delta CMD$ kongruen dengan $\Delta CMB$, dengan CD = CB dan MD = MB, sehingga luas $\Delta CMB$ sama dengan luas $\Delta CMD$.
$\begin{align}\text{luas arsiran} &= 234 \\ [CMD]+[MEB] &= 234 \\ [CMB]+[MEB] &= 234 \\ [CEB] &= 234 \end{align}$
Berdasarkan teorema garis bagi, karena CD = AD = BC maka:
$\frac{AE}{EB}=\frac{AC}{CB}=\frac{2}{1}$
Karena luas $\Delta CEB$ = 234 $\text{cm}^2$, maka luas $\Delta AEC=2\times \Delta CEB=2\times 234=468\,\text{cm}^2$.
$\begin{align}[ABC] &= [CEB]+[AEC] \\ &= 234+468 \\ &= 702\,\text{cm}^2 \end{align}$
Jawaban: D

---

Share :