Pembahasan Soal Olimpiade Matematika SMP - JSO 2025 POSI
Tata Cara Belajar:
Cobalah mengerjakan soal-soal yang tersedia secara mandiri. Setelah itu cocokkanlah jawaban kamu dengan pembahasan yang telah disediakan, dengan cara klik Lihat/Tutup .
Cobalah mengerjakan soal-soal yang tersedia secara mandiri. Setelah itu cocokkanlah jawaban kamu dengan pembahasan yang telah disediakan, dengan cara klik Lihat/Tutup .
Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2025 No. 1
Dalam sebuah segitiga sama sisi, setiap sudut dalam dibagi menjadi tiga oleh sepasang sinar. Irisan bagian dalam dari sudut tengah yang berukuran 20° di setiap titik sudut membentuk bagian dalam sebuah segi enam cembung. Ukuran dalam derajat dari sudut terkecil pada segi enam tersebut adalah …JSO - POSI 2025 No. 1
A. 80
B. 95
C. 100
D. 110
Pembahasan: Lihat/Tutup
$\begin{align}3x+3y &= 720^\circ \\ x+y &= 240^\circ \end{align}$
$\begin{align}20^\circ +x+x+y &= 360^\circ \\ 20^\circ +x+240^\circ &= 360^\circ \\ x &= 100^\circ \end{align}$
Substitusi $x=100^\circ $ ke persamaan:
$\begin{align}x+y &= 240^\circ \\ 100^\circ +y &= 240^\circ \\ y &= 140^\circ \end{align}$
Ukuran dalam derajat dari sudut terkecil pada segi enam tersebut adalah $100^\circ $.
Jawaban: C
Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2025 No. 2
Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan real. Ketika polinom $x^3+x^2+ax+b$ dibagi oleh $x-1$ sisanya 4, ketika polinom tersebut dibagi oleh $x-2$, sisanya adalah 6. Nilai $b-a$ = …JSO - POSI 2025 No. 2
A. 17
B. 18
C. 19
D. 20
Pembahasan: Lihat/Tutup
Yang dibagi = pembagi $\times $ hasil + sisa$x^3+x^2+ax+b$ dibagi $x-1$ sisanya 4 maka:
$x^3+x^2+ax+b=(x-1)Hasil+4$
$x=1$ diperoleh:
$\begin{align}1^3+1^2+a.1+b &= (1-1)Hasil+4 \\ a+b &= 2\,....\,(1) \end{align}$
$x^3+x^2+ax+b$ dibagi $x-2$ sisanya 6 maka:
$x^3+x^2+ax+b=(x-2)Hasil+6$
$x=2$ diperoleh:
$\begin{align}2^3+2^2+a.2+b &= (2-2)Hasil+6 \\ 2a+b &= -6\,....\,(2) \end{align}$
Eliminasi $b$ dari persamaan (1) dan (2):
$\frac{\begin{align}2a+b &= -6 \\ a+b &= 2 \end{align}}{a=-8}-$
$\begin{align}a+b &= 2 \\ -8+b &= 2 \\ b &= 10 \end{align}$
Nilai $b-a=10-(-8)=18$
Jawaban: B
Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2025 No. 3
Sebuah setengah lingkaran memiliki diameter AB dan tali busur CD sepanjang 16 yang sejajar dengan AB. Sebuah setengah lingkaran yang lebih kecil dengan diameter pada AB dan menyinggung CD dipotong dari setengah lingkaran yang lebih besar, seperti yang ditunjukkan di bawah ini.JSO - POSI 2025 No. 3
Luas daerah yang terpotong adalah … $\pi $.
A. 19
B. 25
C. 28
D. 32
Pembahasan: Lihat/Tutup
Misalkan jari-jari lingkaran besar adalah R dan jari-jari lingkaran kecil adalah r.Perhatikan gambar berikut!
Dengan teorema pythagoras pada segitiga siku-siku OED maka:
$r^2=r^2+8^2\to r^2-r^2=64$
Luas daerah kuning = $\frac{1}{2}$luas lingkaran besar – $\frac{1}{2}$luas lingkaran kecil
$\begin{align}L &= \frac{1}{2}\pi r^2-\frac{1}{2}\pi r^2 \\ &= \frac{1}{2}\pi (r^2-\pi r^2) \\ &= \frac{1}{2}\pi .64 \\ &= 32\pi \end{align}$
Jawaban: D
Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2025 No. 4
Barisan 1, $x$, $y$, $z$ adalah barisan aritmetika. Barisan $1$, $p$, $q$, $z$ adalah barisan geometri. Kedua barisan tersebut meningkat secara tegas dan hanya berisi bilangan bulat, serta nilai $z$ sekecil mungkin. Berapakah nilai $x+y+z+p+q$?JSO - POSI 2025 No. 4
A. 149
B. 176
C. 183
D. 195
Pembahasan: Lihat/Tutup
Barisan aritmetika: 1, $x$, $y$, $z$$U_{n-1}+U_{n+1}=2U_n$ maka:
$1+y=2x\to y=2x-1$
$\begin{align}x+z &= 2y \\ x+z &= 2(2x-1) \\ x+z &= 4x-2 \\ z &= 3x-2 \end{align}$
Barisan geometri: $1$, $p$, $q$, $z$
$U_{n-1}.U_{n+1}=U_n^2$
$1\times q=p^2\to q=p^2$
$\begin{align}p\times z &= q^2 \\ p\times (3x-2) &= (p^2)^2 \\ p\times (3x-2) &= p^4 \\ 3x-2 &= p^3 \\ 3x &= p^3+2 \\ x &= \frac{p^3+2}{3} \end{align}$
$x$ dan $p$ bilangan bulat positif, uji untuk $p > 1$.
$p=2\to x=\frac{2^3+2}{3}=\frac{10}{3}$ (tidak memenuhi)
$p=3\to x=\frac{3^3+2}{3}=\frac{29}{3}$ (tidak memenuhi)
$p=4\to x=\frac{4^3+2}{3}=22$ (memenuhi)
$q=p^2={{4}^{2}}=16$
$y=2x-1=2.22-1=43$
$z=3x-2=3.22-2=64$
$x+y+z+p+q$ = 22 + 43 + 64 + 4 + 16 = 149
Jawaban: A
Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2025 No. 5
Dito menggunakan sandi 4 digit untuk membuka komputernya. Dalam sandinya, tepat satu digit adalah bilangan genap, tepat satu digit (yang mungkin berbeda) adalah bilangan prima, dan tidak ada digit yang bernilai 0. Ada berapa banyak sandi 4 digit yang memenuhi ketentuan ini?JSO - POSI 2025 No. 5
A. 123
B. 270
C. 464
D. 526
Pembahasan: Lihat/Tutup
Digit yang boleh dipakai: 1 – 9 (tidak boleh 0, pengulangan boleh).• Digit genap: {2, 4, 6,8}
• Digit prima: {2, 3, 5, 7}
• Digit bukan genap dan bukan prima: {1, 9}
Kasus 1: Digit genap dan digit prima sama
• Banyak cara menyusun posisi satu digit prima dan genap (X) dan tiga digit bukan genap dan bukan prima (YYY) = banyak cara menyusun XYYY = $\frac{4!}{3!}$ = $\frac{4\times \cancel{3!}}{\cancel{3!}}$ = 4 cara.
• Memilih satu digit genap dan prima (2): 1 cara
• Memilih tiga digit lainnya dari digit bukan genap dan bukan prima (1,9): $2^3$ = 8 cara
Seluruhnya: $4\times 1\times 8$ = 32 cara
Kasus 2: Digit genap dan digit prima berbeda
• Banyak cara menyusun posisi satu digit prima (X), satu digit genap (Y), dan dua digit bukan prima dan bukan genap (ZZ) = banyak cara menyusun XYZZ = $\frac{4!}{2!}$ = $\frac{4.3.\cancel{2!}}{\cancel{2!}}$ = 12 cara.
• Memilih satu digit prima dan bukan genap (3, 5, 7): 3 cara
• Memilih satu digit genap (4, 6, 8): 3 cara
• Memilih dua digit bukan prima genap dan bukan prima (1,9): $2^2$ = 4 cara.
Banyak sandi yang diperoleh = $12\times 3\times 3\times 4$ = 432 sandi
Total sandi = 32 + 432 = 464
Jawaban: C
Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2025 No. 6
Enam kursi disusun melingkar. Dua murid dan dua guru secara acak memilih kursi untuk diduduki. Jika peluang bahwa kedua murid duduk pada dua kursi yang bersebelahan dan kedua guru juga duduk pada dua kursi yang bersebelahan adalah $\frac{m}{n}$ dengan $m$ dan $n$ bilangan asli, maka $m+n$ = …JSO - POSI 2025 No. 6
A. 4
B. 6
C. 9
D. 17
Pembahasan: Lihat/Tutup
S = semua kemungkinan (ruang sampel)• Ada 6 kursi melingkar
• 4 orang berbeda (2 murid + 2 guru)
• Mereka duduk acak di 6 kuris (2 kursi kosong)
$n(S)=\left( \begin{matrix} 6 \\ 4 \\ \end{matrix} \right)\times 4!=15\times 24=300$
A = kejadian yang diinginkan (2 murid duduk bersebelahan dan dua guru juga duduk bersebelahan)
Langakah 1.
• Dalam lingkaran 6 kursi, ada 6 pasangan kursi bersebelahan, pilih 1 pasangan untuk murid diperoleh 6 cara.
• Setelah murid duduk, tersisa 4 kuris berurutan, yang memiliki 3 pasangan kuris bersebelahan, maka pilih 1 pasangan untuk guru diperoleh 3 cara.
• Jumlah pilihan pasangan kursi: $6\times 3=18$
Langkah 2:
• Urutan duduk murid, diperoleh 2! = 2 cara.
• Urutan duduk guru, diperoleh 2! = 2 cara
Total kejadian yang diingikan:
$n(A)=18\times 2\times 2=72$
Peluang, $P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{72}{360}=\frac{1}{5}=\frac{m}{n}$
$m+n=1+5=6$
Jawaban: B
Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2025 No. 7
Diberikan persegi panjang ABEF dengan AB = 1 dan AF = 7. Misalkan ada titik D di luar ABEF sehingga $\overline{AD}\bot \overline{DE}$ dan AD = 5. Titik C adalah titik potong AD dengan BE. Jika luas $\Delta ABC$ sama dengan pecahan sederhana $\frac{p}{q}$ dengan $p$ dan $q$ bilangan asli, maka nilai $p+q$ = …JSO - POSI 2025 No. 7
A. 7
B. 8
C. 9
D. 11
Pembahasan: Lihat/Tutup
ABC siku-siku dengan pythagoras:
$AC=\sqrt{x^2-1}$
ABE siku-siku dengan pythagoras:
$\begin{align}AE &= \sqrt{AB^2+BE^2} \\ &= \sqrt{1^2+7^2} \\ AE &= 5\sqrt{2} \end{align}$
ADE siku-siku dengan pythagoras:
$\begin{align}DE &= \sqrt{AE^2-AD^2} \\ &= \sqrt{(5\sqrt{2})^2-5^2} \\ &= 5 \end{align}$
ABC sebangun dengan EDC maka:
$\frac{AC}{EC}=\frac{BC}{DC}=\frac{AB}{ED}$
$\frac{AC}{7-x}=\frac{x}{5-AC}=\frac{1}{5}$
$5x=5-AC\to AC=5-5x$
$\begin{align}5AC-Ac^2 &= 7x-x^2 \\ 5(5-5x)-(5-5x)^2 &= 7x-x^2 \\ 25-25x-(25-50x+25x^2) &= 7x-x^2 \\ 25x-25x^2 &= 7x-x^2 \\ -24x^2+18x &= 0 \\ -6x(-4x+3) &= 0 \\ -4x &= -3 \\ x &= \frac{3}{4} \end{align}$
$L_{ABC}=\frac{1}{2}.x.1=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.1=\frac{3}{8}=\frac{p}{q}$
$p+q=3+8=11$
Jawaban: D
Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2025 No. 8
Ada tiga toples. Masing-masing dari tiga koin ditempatkan ke salah satu dari tiga toples, dipilih secara acak dan tidak bergantung pada penempatan koin lainnya. Nilai harapan dari banyaknya koin dalam toples yang berisi koin terbanyak adalah $\frac{s}{t}$ dengan $s$ dan $t$ adalah bilangan asli relatif prima. Nilai $s-t$ = …JSO - POSI 2025 No. 8
A. 4
B. 6
C. 8
D. 9
Pembahasan: Lihat/Tutup
S = Menempatkan 3 koin ke toples secara acak maka $n(S)={{3}^{3}}=27$Kemungkinan-kemungkinan penempatan koin:
• Semua koin terpisah (pola 1,1,1)
Banyak cara: 3! = 6
Jumlah koin terbesar = 1
• Dua koin di satu tople, satu di toples lainya (pola 2,1,0)
Pilih toples berisi 2 koin: 3 cara
Pilih 2 koinnya: $\left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)$ = 3
Pilih toples untuk 1 koin tersisa: 2 cara
Seluruhnya = 18 cara
Jumlah koin terbesar = 2
• Semua koin di satu toples (pola 3,0,0)
Pilih toples: 3 cara
Jumlah koin terbesar = 3
Nilai harapan dari banyaknya koin dalam toples yang berisi koin terbanyak:
$\frac{6\times 1+18\times 2+3\times 3}{27}=\frac{51}{27}=\frac{17}{9}=\frac{s}{t}$
$s-t=17-9=8$
Jawaban: C
Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2025 No. 9
Misalkan $N$ adalah satu-satunya bilangan bulat positif sehingga ketika 273436 dibagi oleh $N$ sisanya adalah 16 dan ketika 272760 dibagi oleh $N$ sisanya adalah 15. Digit puluhan dari $N$ adalah …JSO - POSI 2025 No. 9
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Pembahasan: Lihat/Tutup
N > 16$\begin{align}N.p+16 &= 273436 \\ N\times p &= 273420 \end{align}$
$\begin{align}N.q+15 &= 272760 \\ N.q &= 272745 \end{align}$
Karena N membagi 273420 dan 272745 maka:
$\begin{align}N &= FPB(273420,272745) \\ &= FPB(272745\times 1+675,272745) \\ &= FPB(675,272745) \\ &= FPB(675,675\times 404+45) \\ &= FPB(675,45) \\ &= FPB(45\times 15+0,45) \\ N &= 45 \end{align}$
Jawaban: D
Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2025 No. 10
Rata-rata harmonik dari suatu himpunan bilangan adalah kebalikan dari rata-rata aritmetika bilangan dalam himpunan tersebut. Sebagai contoh, rata-rata harmonik dari 4, 4, dan 5 adalah $\frac{1}{\frac{1}{3}\left( \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5} \right)}=\frac{30}{7}$. Jika $R$ menyatakan rata-rata harmonik dari semua akar real dari polinom derajat 4050, $(x^2-4x-3)$ $(2x^2-4x-3)$ $(3x^2-4x-3)$ ... $(2025x^2-4x-3)$ dan $\frac{1}{|R|}=\frac{p}{q}$ dengan $p$ dan $q$ merupakan bilangan asli relatif prima, maka nilai $p+q$ = …JSO - POSI 2025 No. 10
A. 4
B. 5
C. 7
D. 9
Pembahasan: Lihat/Tutup
Kita perlu menentukan jumlah kebalikan dari semua akar.Untuk mencari jumlah kebalikan akar-akar $p$ dan $q$ dari persamaan kuadrat $ax^2+bx+c$ gunakan rumus vieta, yaitu:
$p+q=-\frac{b}{a}$ dan $pq=\frac{c}{a}$ maka:
$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{p+q}{pq}=\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=-\frac{b}{c}$
Yang tidak bergantung pada nilai $a$.
Jumlah kebalikan akar-akar dari kuadrat $x^2-4x-3$ adalah $-\frac{-4}{-3}=-\frac{4}{3}$.
Hal yang sama berlaku untuk setiap kuadrat dengan bentuk $ax^2-4x-3$.
Jadi, jumlah semua kebalikan akar dari persamaan $ax^2+bx+c$ ini adalah $2025\times \left( -\frac{4}{3} \right)$.
Karena ada 2025 persamaan kuadrat, total ada $2\times 2025=4050$ akar, maka jawabannya adalah:
$R=\frac{1}{\frac{1}{4050}\times \left( -4\times \frac{2025}{3} \right)}=-\frac{3}{2}$
$\frac{1}{|R|}=\frac{1}{\left| -\frac{3}{2} \right|}=\frac{2}{3}=\frac{p}{q}$
$p=2$ dan $q=3$ maka $p+q=2+3=5$
Jawaban: B
Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2025 No. 11
Sebuah silo (tabung tegak berpenampang lingkaran) dengan diameter 20 meter berdiri di sebuah ladang. MacDonald berada 20 meter di barat dan 15 meter di selatan pusat silo. McGregor berada 20 meter di timur dan $g > 0$ meter di selatan pusat silo. Garis pandang antara MacDonald dan McGregor menyinggung silo tersebut. Nilai $g$ dapat ditulis sebagai $\frac{a\sqrt{b}-c}{d}$, dengan $a$, $b$, $c$, dan $d$ adalah bilangan bulat positif, $b$ tidak habis dibagi kuadrat bilangan prima mana pun, dan $d$ relatif prima terhadap faktor persekutuan terbesar antara $a$ dan $c$. Nilai $a+b+c+d$ = …JSO - POSI 2025 No. 11
A. 115
B. 117
C. 119
D. 126
Pembahasan: Lihat/Tutup
Misalkan pusat silo adalah titik O, titik tempat MacDonald berada adalah A, dan titik yang berjarak 20 meter di barat pusat Silo adalah B.
Misalkan titik yang berjarak 20 meter di timur pusat Silo adalah C, dan titik tempat McGregor berada adalah D, dengan CD = $g > 0$.
Misalkan AD menyinggung lingkaran berpusat di O pada titik E. Perpanjang BC dan AD hingga bertemu di F.
Misalkan, CF = $x$
Segitiga ABF sebangun dengan DCF maka:
$\frac{AB}{CD}=\frac{BF}{CF}\to \frac{15}{g}=\frac{40+x}{x}$
Perhatikan segitiga ABF, dengan teorema pythagoras diperoleh:
$\begin{align}AF &= \sqrt{Ab^2+BF^2} \\ &= \sqrt{15^2+(40+x)} \\ &= \sqrt{225+1600+80x+x^2} \\ AF &= \sqrt{x^2+80x+1825} \end{align}$
Segitiga OEF sebangun dengan ABF maka:
$\begin{align}\frac{EO}{AB} &= \frac{OF}{AF} \\ \frac{10}{15} &= \frac{20+x}{\sqrt{x^2+80x+1825}} \\ 15(20+x) &= 10\sqrt{x^2+80x+1825} \\ 3(20+x) &= 2\sqrt{x^2+80x+1825} \\ 60+3x &= 2\sqrt{x^2+80x+1825} \\ (60+3x)^2 &= 4(x^2+80x+1825) \\ 3600+360x+9x^2 &= 4x^2+320x+7300 \\ 5x^2+40x-3700 &= 0 \\ x^2+8x-740 &= 0 \end{align}$
Gunakan rumus kuadrat dan ambil akar positif:
$\begin{align}x &= \frac{-8+\sqrt{8^2-4.1.(-740)}}{2.1} \\ &= \frac{-8+\sqrt{3024}}{2} \\ &= \frac{-8+\sqrt{144\times 21}}{2} \\ &= \frac{-8+12\sqrt{21}}{2} \\ x &= -4+6\sqrt{21} \end{align}$
Substitusi $x=-4+6\sqrt{21}$ ke persamaan:
$\begin{align}\frac{15}{g} &= \frac{40+x}{x} \\ \frac{15}{g} &= \frac{40-4+6\sqrt{21}}{-4+6\sqrt{21}} \\ \frac{15}{g} &= \frac{36+6\sqrt{21}}{-4+6\sqrt{21}} \\ \frac{15}{g} &= \frac{18+3\sqrt{21}}{-2+3\sqrt{21}} \\ g &= \frac{-30+45\sqrt{21}}{18+3\sqrt{21}} \\ g &= \frac{-10+15\sqrt{21}}{6+\sqrt{21}}\times \frac{6-\sqrt{21}}{6-\sqrt{21}} \\ g &= \frac{-60+10\sqrt{21}+90\sqrt{21}-315}{36-21} \\ g &= \frac{100\sqrt{21}-375}{15} \\ g &= \frac{20\sqrt{21}-75}{3} \end{align}$
$g=\frac{a\sqrt{b}-c}{d}$
$a=20$, $b=21$, $c=75$, dan $d=3$
$a+b+c+d$ = 20 + 21 + 75 + 3 = 119
Jawaban: C
Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2025 No. 12
Sebuah persegi panjang memiliki panjang sisi-sisi bilangan bulat dan luas 2024. Keliling terkecil yang mungkin dari persegi panjang tersebut adalah …JSO - POSI 2025 No. 12
A. 120
B. 150
C. 160
D. 180
Pembahasan: Lihat/Tutup
$p\times l=2024$$K=2(p+l)\to K=2\left( p+\frac{2024}{p} \right)$
$p$ dan $\frac{2024}{p}$ adalah bilangan bulat positif dengan ketaksamaan AM-GM maka:
$\begin{align}K &= 2\left( p+\frac{2024}{p} \right) \\ &\ge 2.2\sqrt{p.\frac{2024}{p}} \\ &\ge 4\sqrt{2024} \\ &\ge 4\left\lceil 44,98 \right\rceil \\ K &\ge 4\left\lceil 45 \right\rceil \\ K_{\min } &= 4\times 45 \\ K_{\min } &= 180 \end{align}$
Jawaban: D
Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2025 No. 13
Kelipatan persekutuan terkecil dari suatu bilangan asli $n$ dan 18 adalah 180, dan faktorJSO - POSI 2025 No. 13
persekutuan terbesar dari $n$ dan 45 adalah 15. Jumlah digit dari $n$ adalah …
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
Pembahasan: Lihat/Tutup
$KPK(n,18)=180$ dan $180=2^2\times 3^2\times 5$ maka $n=2^a\times 3^b\times 5^c$ untuk $a,b,c\ge 0$.$\begin{align}KPK(n,18) &= 180 \\ KPK(2^a\times 3^b\times 5^c,2\times 3^2) &= 2^2\times 3^2\times 5 \\ KPK(2^a\times 3^b\times 5^c,2\times 3^2) &= 2^2\times 3^2\times 5 \\ 2^{\max (a,1)} \times 3^{\max (b,2)}\times 5^c &= 2^2\times 3^2\times 5^1 \end{align}$
Perhatikan faktor prima di ruas kiri dan kanan, maka:
$2^{\max (a,1)}=2^2\to \max (a,1)=2\to a=2$
$3^{\max (b,2)=2}=3^2\to \max (b,2)=2$ diperoleh $0\le b\le 2$
$5^c=5\to c=1$
$n=2^a\times 3^b\times 5^c=2^2\times 3^b\times 5$
$\begin{align}FPB(n,45) &= 15 \\ FPB(2^2\times 3^b\times 5,3^2\times 5) &= 3\times 5 \\ FPB(2^2\times 3^b\times 5,3^2\times 5) &= 3\times 5 \\ 3^{\min (b,2)}\times 5 &= 3\times 5 \\ 3^{\min (b,2)} &= 3^1 \\ \min (b,2) &= 1 \\ b &= 1 \end{align}$
Jawaban: D
Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2025 No. 14
Banyak nilai konstanta real $k$ sehingga polinom $x^2+kx+36$ memiliki dua akar bilangan bulat yang berbeda adalah …JSO - POSI 2025 No. 14
A. 8
B. 9
C. 11
D. 14
Pembahasan: Lihat/Tutup
$x^2+kx+36$$a=1$, $b=k$, $c=36$
Memiliki akar-akar bilangan bulat, maka:
$\begin{align}D &\ge 0 \\ b^2-4ac &\ge 0 \\ k^2-4.1.36 &\ge 0 \\ k^2-144 &\ge 0 \\ (k+12)(k-12) &\ge 0 \end{align}$
$k\le -12$ atau $k\ge 12$
Misalkan $p$ dan $q$ adalah akar-akar dari $x^2+kx+36$, maka:
$p+q=-\frac{b}{a}$
$p+q=-\frac{k}{1}$
$p+q=-k$
$p\times q=\frac{c}{a}$
$p\times q=\frac{36}{1}$
$p\times q=36$
$p$ dan $q$ bilangan bulat, maka:
$(p,q)=(1,36)\to k=-37$ (memenuhi)
$(p,q)=(2,18)\to k=-20$ (memenuhi)
$(p,q)=(3,12)\to k=-15$ (memenuhi)
$(p,q)=(4,9)\to k=-13$ (memenuhi)
$(p,q)=(-1,-36)\to k=37$ (memenuhi)
$(p,q)=(-2,-18)\to k=20$ (memenuhi)
$(p,q)=(-3,-12)\to k=15$ (memenuhi)
$(p,q)=(-4,-9)\to k=13$ (memenuhi)
Jadi, nilai $k$ yang memenuhi ada 8.
Jawaban: A
Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2025 No. 15
Titik A(6,13) dan B(12,11) terletak pada lingkaran $\omega $ di bidang. Misalkan garis singgung lingkaran $\omega $ di A dan B berpotongan di suatu titik pada sumbu $x$. Luas lingkaran $\omega $ adalah …JSO - POSI 2025 No. 15
A. $\frac{75}{8}\pi $
B. $\frac{85}{8}\pi $
C. $\frac{85}{16}\pi $
D. $\frac{93}{16}\pi $
Pembahasan: Lihat/Tutup
Perhatikan gambar!
A(6,13), B(12,11) dan C(n,0)
AC dan BC adalah garis singgung lingkaran dan AC = BC.
$\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}$ = $\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}$
$(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2$ = $(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2$
$(n-6)^2+(0-13)^2$ = $(n-12)^2+(0-11)^2$
$n^2-12n+36+169$ = $n^2-24n+144+121$
$-12n+205$ = $-24n+265$
$12n=60$
$n=5$
Titik C(5,0).
Titik M adalah titik tengah dari titik A(6,13) dan titik B(12,11).
$M\left( \frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2} \right)$ = $M\left( \frac{6+12}{2},\frac{13+11}{2} \right)$ = M(9,12).
Misalkan titik pusat lingkaran (p,q).
C(5,0), M(9,12), dan O(p,q) segaris maka:
$\begin{align}\frac{y_M-y_C}{x_M-x_C} &= \frac{y_O-y_C}{x_O-x_C} \\ \frac{12-0}{9-5} &= \frac{q-0}{p-5} \\ \frac{12}{4} &= \frac{q}{p-5} \\ 3 &= \frac{q}{p-5} \\ q &= 3p-15 \end{align}$
Titik O(p,q) = $O(p,3p-15)$
$\begin{align}OC &= \sqrt{(x_C-x_O)^2+(y_C-y_O)^2} \\ &= \sqrt{(5-p)^2+(0-3p+15)^2} \\ &= \sqrt{25-10p+p^2+9p^2-90p+225} \\ OC &= \sqrt{10p^2-100p+250} \end{align}$
$\begin{align}OA &= \sqrt{(x_A-x_O)^2+(y_A-y_O)^2} \\ &= \sqrt{(6-p)^2+(13-3p+15)^2} \\ &= \sqrt{(6-p)^2+(28-3p)^2} \\ &= \sqrt{36-12p+p^2+784-168p+9p^2} \\ OA &= \sqrt{10p^2-180p+820} \end{align}$
$\begin{align}AC &= \sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2} \\ &= \sqrt{(5-6)^2+(0-13)^2} \\ AC &= \sqrt{170} \end{align}$
OAC siku-siku di A maka:
$Oc^2=Oa^2+Ac^2$
$10p^2-100p+250$ = $10p^2-180p+820$ + 170
$-100p+250$ = $-180p+990$
$80p=740$
$p=\frac{740}{80}=\frac{37}{4}$
$O(p,3p-15)$ = $O\left( \frac{37}{4},3.\frac{37}{4}-15 \right)$ = $O\left( \frac{37}{4},\frac{51}{4} \right)$
$\begin{align}r &= OA \\ &= \sqrt{(x_A-x_O)^2+(y_A-y_O)^2} \\ &= \sqrt{\left( 6-\frac{37}{4} \right)^2+\left( 13-\frac{51}{4} \right)^2} \\ &= \sqrt{\left( -\frac{13}{4} \right)^2+\left( \frac{1}{4} \right)^2} \\ &= \sqrt{\frac{169}{16}+\frac{1}{16}} \\ r &= \sqrt{\frac{85}{8}} \end{align}$
Luas lingkaran = $\pi r^2$ = $\pi .\left( \sqrt{\frac{85}{8}} \right)^2$ = $\frac{85}{8}\pi $.
Jawaban: B
Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2025 No. 16
Dalam sebuah lomba yang diikuti 5 siput, paling banyak terjadi satu kali hasil seri, tetapi hasil seri tersebut dapat melibatkan berapapun jumlah siput. Misalnya, hasilnya bisa seperti: Dazzler juara pertama; Abby, Cyrus, dan Elroy seri di posisi kedua; dan Bruna di posisi kelima. Banyak kemungkinan hasil berbeda dari lomba tersebut adalah …JSO - POSI 2025 No. 16
A. 385
B. 402
C. 431
D. 469
Pembahasan: Lihat/Tutup
Kita melakukan pembagian kasus berdasarkan berapa banyak siput yang seri. Misalkan siputnya adalah A, B, C, D, dan E.Kasus 1. 5 siput seri:
Semua 5 siput seri di posisi pertama, sehingga hanya ada 1 cara.
Kasus 2. 4 siput seri:
4 siput seri dan 1 siput tidak seri.
• Memilih 1 siput tidak seri dari 5 siput = $C_{1}^{5}$ = 5 cara.
• Menyusun urutan 1 kelompok siput seri dan 1 siput tidak seri = 2 cara.
Total = 5$\times $2 = 10 cara.
Kasus 3. 3 siput seri:
3 siput seri dan 2 siput tidak seri.
• Memilih 2 siput tidak seri dari 5 siput = $C_{2}^{5}=\frac{5!}{2!.3!}=\frac{5.4.\cancel{3!}}{2.1.\cancel{3!}}=10$ cara.
• Menyusun urutan 1 kelompok siput seri dan 2 siput tidak seri = 3! = 6 cara.
Total = 10$\times $6 = 60 cara.
Kasus 4. 2 siput seri:
2 siput seri dan 3 siput tidak seri.
• Memilih 3 siput tidak seri dari 5 siput = $C_{3}^{5}=\frac{5!}{3!.2!}=\frac{5.4.\cancel{3!}}{\cancel{3!}.2.1}=10$ cara.
• Menyusun urutan 1 kelompok 2 siput seri dan 3 siput tidak seri = 4! = 24 cara.
Total = 10$\times $24 = 240 cara.
Kasus 5. Tidak ada seri
• Menyusun urutan 5 siput tidak ada seri = 5! = 120 cara.
Banyak cara seluruhnya = 1 + 10 + 60 + 240 + 120 = 431.
Jawaban: C
Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2025 No. 17
Suatu kelompok yang terdiri dari 16 orang akan dibagi menjadi 4 komite beranggotakan 4 orang, dan keempat komite tersebut tidak dapat dibedakan satu sama lain. Setiap komite akan memiliki satu ketua dan satu sekretaris. Banyaknya cara berbeda untuk membuat pembagian dan penugasan ini dapat dituliskan dalam bentuk 3 pangkat r dikali M, di mana r dan M adalah bilangan bulat positif dan M tidak habis dibagi 3. Nilai r adalah …JSO - POSI 2025 No. 17
A. 2
B. 3
C. 5
D. 7
Pembahasan: Lihat/Tutup
Langkah 1. Membagi 16 orang menjadi 4 komite berisii 4 orang (komite tidak dibedakan).Banyak caranya adalah $\frac{C_4^{16}\times C_4^{12}\times C_4^8\times C_4^4}{4!}$ = $\frac{16!}{(4!)^5}$.
Langakh 2. Memilih ketua dan sekretaris setiap komite
Pada setiap komite yang berisi 4 orang,
Memilih 2 orang (ketua dan sekretaris) dari 4 orang = $P_2^4=\frac{4!}{2!}=\frac{4.3.2!}{2!}=12$
Karena ada 4 komite maka banyak cara seluruhnya = $12^4$
Total seluruh cara dari langkah 1 dan langkah 2 adalah:
$\begin{align}3^r\times M &= \frac{16!}{(4!)^5}\times 12^4 \\ &= \frac{16!}{24^5}\times 12^4 \\ &= \frac{16!}{(2^3\times 3)^5}\times (2^2\times 3)^4 \\ &= \frac{16!}{2^{15}\times 3^5}\times 2^8\times 3^4 \\ 3^r\times M &= \frac{16!}{2^7\times 3} \end{align}$
Faktorisasi pangkat 3 pada 16!:
$v_3(16!)=\left\lfloor \frac{16}{3} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{16}{9} \right\rfloor =5+1=6$
Faktorisasi pangkat 2 pada 16!:
$\begin{align}v_2(16!) &= \left\lfloor \frac{16}{2} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{16}{4} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{16}{8} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{16}{16} \right\rfloor \\ &= 8+4+2+1 \\ &= 15 \end{align}$
Sehingga 16! dapat dinyatakan dengan $2^{15}\times 3^6\times p$.
$\begin{align}3^r\times M &= \frac{16!}{2^7\times 3} \\ &= \frac{2^{15}\times 3^6\times p}{2^7\times 3} \\ 3^r\times M &= 3^5\times 2^8\times p \end{align}$
$2^8\times p=M$ (tidak habis dibagi 3) maka $3^r=3^5\to r=5$.
Jawaban: C
Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2025 No. 18
Sebuah daftar berisi 9 bilangan real terdiri atas 1, 2.2, 3.2, 5.2, 6.2, dan 7, serta $x$, $y$, dan $z$ dengan $x\le y\le z$. Rentang (range) daftar tersebut adalah 7, dan nilai rata-rata serta median keduanya merupakan bilangan bulat positif. Banyak triple terurut $(x,y,z)$ yang mungkin adalah …JSO - POSI 2025 No. 18
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Pembahasan: Lihat/Tutup
Jumlah dari enam angka yang sudah ada adalah 24.8. Agar rata-ratanya menjadi bilangan bulat, jumlah tiga angka yang tersisa, yaitu x, y, z, ditambah enam angka yang ada harus habis dibagi 9; jadi x + y + z harus bernilai 2.2, 11.2, atau 20.2. Namun, salah satu dari x, y, z harus menjadi median karena empat angka tengah dalam daftar asli semuanya bukan bilangan bulat. Akibatnya, nilai 2.2 dapat diabaikan karena jumlah tersebut terlalu kecil untuk memungkinkan salah satu dari x, y, z menjadi median (perhatikan bahwa angka negatif tidak diperbolehkan karena rentangnya akan lebih dari 7). Ini menyisakan dua kasus.Kasus x + y + z = 20.2.
Perhatikan bahwa ketiganya harus kurang dari atau sama dengan 8 karena batas rentang. Namun, y dan z harus berada di sisi atas rentang, sehingga median baru harus berada antara dua angka tengah baru, yaitu 5.2 dan 6.2. Maka x = 6, dan kita dapat mengatur angka-angka agar rentangnya tetap 7 dengan membuat z = 8 dan y = 6.2, menghasilkan satu kasus yaitu (6, 6.2, 8).
Kasus x + y + z = 11.2.
Rata-rata ketiganya berada dekat median, yang menunjukkan bahwa salah satunya akan menjadi median, satu lebih kecil dari median, dan satu lebih besar. Maka kita tetapkan y sebagai median.
Karena menambahkan satu angka di setiap sisi daftar tidak mengubah median, median harus berada antara dua angka tengah yaitu 3.2 dan 5.2. Kemudian kita mendapatkan dua triple: (0.1, 4, 7.1) dan (0, 5, 6.2), sehingga total ada 3 triple.
Jadi, jawabannya adalah 3.
Jawaban: D
Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2025 No. 19
Ibu Santi memberikan ujian kepada dua kelas. Rata-rata nilai siswa di kelas pagi adalah 84, dan rata-rata nilai kelas siang adalah 70. Perbandingan jumlah siswa di kelas pagi terhadap jumlah siswa di kelas siang adalah 3 banding 4. Rata-rata nilai seluruh siswa adalah …JSO - POSI 2025 No. 19
A. 76
B. 79
C. 81
D. 86
Pembahasan: Lihat/Tutup
$n_1$ = jumlah siswa kelas pagi dan $\bar{x}_1=84$$n_2$ = jumlah siswa kelas siang dan $\bar{x}_2=70$
$n_1:n_2=3:4$
Misalkan $n_1=3a$ maka $n_2=4a$
$\begin{align}{\bar{x}}_{total} &= \frac{n_1.{\bar{x}}_1+n_2.{\bar{x}}_2}{n_1+n_2} \\ &= \frac{3a.84+4a.70}{3a+4a} \\ &= \frac{252a+280a}{7a} \\ &= \frac{532a}{7a} \\ &= 76 \end{align}$
Jawaban: A
Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2025 No. 20
Sebuah dadu bersisi 6 yang adil dilempar berulang-ulang sampai muncul bilangan ganjil. Probabilitas bahwa setiap bilangan genap muncul setidaknya sekali sebelum kemunculan pertama bilangan ganjil adalah $\frac{m}{n}$ dengan $m$ dan $n$ bilangan asli. Nilai dari $m+n$ = …JSO - POSI 2025 No. 20
A. 14
B. 21
C. 29
D. 33
Pembahasan: Lihat/Tutup
Karena 3 dari 6 angka pada dadu adalah genap, ada peluang 3 dari 6 bahwa angka pertama yang muncul adalah genap.Karena angka yang muncul pertama tidak berpengaruh, kita tidak perlu mempertimbangkannya. Maka tersisa 2 angka genap dari 5 kemungkinan yang belum muncul.
Ada peluang 2 dari 5 bahwa angka berikutnya yang berbeda dari yang pertama adalah genap.
Ada peluang 1 dari 4 bahwa angka berikutnya yang berbeda dari dua angka pertama adalah genap (karena hanya tersisa satu bilangan genap).
Setelah semua bilangan genap muncul, angka berikutnya pasti bilangan ganjil.
Hasilnya = $\frac{3}{6}\times \frac{2}{5}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{20}=\frac{m}{n}$
Jadi, $m+n=1+20=21$
Jawaban: B
Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2025 No. 21
Bilangan real $a$, $b$, dan $c$ memiliki rata-rata aritmetika 0. Rata-rata aritmetika dari $a^2$, $b^2$, dan $c^2$ adalah 10. Rata-rata aritmetika dari $ab$, $ac$, dan $bc$ adalah …JSO - POSI 2025 No. 21
A. -5
B. -1
C. 2
D. 3
Pembahasan: Lihat/Tutup
$\frac{a+b+c}{3}=0\to a+b+c=0$$\begin{align}\frac{a^2+b^2+c^2}{3} &= 10 \\ a^2+b^2+c^2 &= 30 \\ (a+b+c)^2-2(ab+ac+bc) &= 30 \\ 0^2-2(ab+ac+bc) &= 30 \\ -2(ab+ac+bc) &= 30 \\ ab+ac+bc &= -15 \end{align}$
Rata-rata aritmetika dari $ab$, $ac$, dan $bc$ adalah:
$\frac{ab+ac+bc}{3}=\frac{-15}{3}=-5$
Jawaban: A
Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2025 No. 22
Banyak bilangan asli $n$ sehingga $1+2+3+...+n$ merupakan faktor dari $6n$ adalah …JSO - POSI 2025 No. 22
A. 3
B. 5
C. 8
D. 11
Pembahasan: Lihat/Tutup
$\frac{6n}{1+2+3+...+n}=k$ untuk $k$ bilangan asli maka:$k=\frac{6n}{\frac{1}{2}n(n+1)}=\frac{12}{n+1}$
$n+1$ adalah faktor positif dari 12 yaitu $n+1\in \{1,2,3,4,6,12\}$
$n+1=1\to n=0$ (tidak memenuhi)
$n+1=2\to n=1$ (memenuhi)
$n+1=3\to n=2$ (memenuhi)
$n+1=4\to n=3$ (memenuhi)
$n+1=6\to n=5$ (memenuhi)
$n+1=12\to n=11$ (memenuhi)
Jadi, nilai $n$ yang memenuhi ada 5
Jawaban: B
Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2025 No. 23
Sisa bagi $7^{2024}+7^{2025}+7^{2026}$ oleh 19 adalah …JSO - POSI 2025 No. 23
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
Pembahasan: Lihat/Tutup
$\begin{align}7^{2024}+7^{2025}+7^{2026} &\equiv {{7}^{2024}}(1+7+7^2)\bmod 19 \\ &\equiv {{7}^{2024}}.57\bmod 19 \\ &\equiv {{7}^{2024}}.3.19\bmod 19 \\ &\equiv 0\bmod 19 \end{align}$Jawaban: A
Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2025 No. 24
Misalkan ruas AB adalah diameter sebuah lingkaran dan C adalah titik pada AB dengan syarat bahwa 2 kali AC sama dengan BC. Misalkan D dan E adalah titik-titik pada lingkaran sehingga DC tegak lurus AB, dan DE adalah diameter kedua. Perbandingan luas segitiga DCE terhadap luas segitiga ABD adalah $\frac{s}{t}$ dengan $s$ dan $t$ bilangan asli relatif prima. Nilai dari $4s-t$ = ...JSO - POSI 2025 No. 24
A. -3
B. -1
C. 1
D. 2
Pembahasan: Lihat/Tutup
Perhatikan gambar berikut.
$BC=2\times AC$
$\begin{align}AC+BC &= 2r \\ AC+2\times AC &= 2r \\ 3\times AC &= 2r \\ AC &= \frac{2}{3}r \end{align}$
$\begin{align}OC+AC &= r \\ OC+\frac{2}{3}r &= r \\ OC &= \frac{1}{3}r \end{align}$
$\Delta DCO$ sebangun dengan $\Delta DFC$, maka:
$\begin{align}\frac{OD}{CD} &= \frac{OC}{CF} \\ \frac{r}{CD} &= \frac{\frac{1}{3}r}{CF} \\ CF &= \frac{1}{3}CD \\ \frac{CF}{CD} &= \frac{1}{3} \end{align}$
$\begin{align}\frac{[DCE]}{[ABD]} &= \frac{\frac{1}{2}.DE.CF}{\frac{1}{2}.AB.CD} \\ &= \frac{DE.CF}{AB.CD} \\ &= \frac{2r.CF}{2r.CD} \\ &= \frac{CF}{CD} \\ \frac{[DCE]}{[ABD]} &= \frac{1}{3}=\frac{s}{t} \end{align}$
$s=1$ dan $t=3$. Jadi, $4s-t=4.1-3=1$
Jawaban: C
Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2025 No. 25
Banyaknya bilangan bulat positif $m$ yang kurang dari atau sama dengan 24 sehingga $m!$ habis dibagi $1+2+3+...+m$ adalah …JSO - POSI 2025 No. 25
A. 12
B. 13
C. 14
D. 16
Pembahasan: Lihat/Tutup
$\frac{m!}{1+2+3+...+m}$ = $\frac{m.(m-1)!}{\frac{1}{2}m(m+1)}$ = $\frac{2(m-1)!}{(m+1)}$Agar $\frac{2(m-1)!}{(m+1)}$ bilangan asli, haruslah $m+1$ tidak sama dengan bilangan prima ganjil. Perhatikan bahwa ada 8 bilangan prima ganjil yang kurang dari 24 yaitu 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, dan 23. Akibatnya, banyaknya bilangan asli $m$ yang memenuhi kondisi soal adalah 24 – 8 = 16.
Jawaban: D
Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2025 No. 26
Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan dua digit sehingga $y$ diperoleh dengan membalik digit-digit $x$. Bilangan $x$ dan $y$ memenuhi $x^2-y^2=m^2$ untuk suatu bilangan bulat positif $m$. Nilai $x+y+m$ = …JSO - POSI 2025 No. 26
A. 137
B. 142
C. 154
D. 181
Pembahasan: Lihat/Tutup
$x=\overline{ab}=10a+b$$y=\overline{ba}=10b+a$
$\begin{align}m^2 &= x^2-y^2 \\ &= (x+y)(x-y) \\ &= (10a+b+10b+a)(10a+b-10b-a) \\ m^2 &= 11(a+b).9(a-b) \\ m &= \sqrt{11.9.(a+b)(a-b)} \\ m &= 3\sqrt{11(a^2-b^2)} \end{align}$
Agar $m$ bilangan bulat maka:
$\begin{align}a^2-b^2 &= 11 \\ (a+b)(a-b) &= 11\times 1 \end{align}$
$\frac{\begin{align}a+b &= 11 \\ a-b &= 1 \end{align}}{\begin{align}2a &= 12 \\ a &= 6 \\ b &= 5 \end{align}}+$
$m=3\sqrt{11(a^2-b^2)}=3\sqrt{11\times 11}=33$
$x=\overline{ab}=65$ dan $y=\overline{ba}=56$
$x+y+m=65+56+33=154$
Jawaban: C
Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2025 No. 27
Jika $y+4=(x-2)^2$ dan $x+4=(y-2)^2$ dengan $x\ne y$, maka $x^2+y^2$ = …JSO - POSI 2025 No. 27
A. 8
B. 9
C. 10
D. 15
Pembahasan: Lihat/Tutup
$\begin{align}y+4 &= (x-2)^2 \\ y+4 &= x^2-4x+4 \\ y &= x^2-4x\,....\,(1) \end{align}$$\begin{align}x+4 &= (y-2)^2 \\ x+4 &= y^2-4y+4 \\ x^2 &= y^2-4y\,....\,(2) \end{align}$
Persamaan (1) dikurang persamaan (2):
$\frac{\begin{align}x^2-4x &= y \\ y^2-4y &= x \end{align}}{\begin{align}x^2-y^2-4x+4y &= y-x \\ x^2-y^2-4(x-y) &= -(x-y) \\ x^2-y^2 &= 3(x-y) \\ (x+y)(x-y) &= 3(x-y) \\ x+y &= 3 \end{align}}-$
Persamaan (1) ditambah persamaan (2):
$\frac{\begin{align}x^2-4x &= y \\ y^2-4y &= x \end{align}}{\begin{align}x^2+y^2-4x-4y &= x+y \\ x^2+y^2-4(x+y) &= (x+y) \\ x^2+y^2 &= 5(x+y) \\ x^2+y^2 &= 5.3 \\ x^2+y^2 &= 15 \end{align}}+$
Jawaban: D
Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2025 No. 28
Setiap sisi dari 7 dadu standar diberi angka dari 1 sampai 6. Misalkan p adalah peluang bahwa ketika ketujuh dadu tersebut dilempar, jumlah angka pada sisi atas adalah 10. Jumlah angka yang muncul dengan peluang yang sama seperti p adalah …JSO - POSI 2025 No. 28
A. 25
B. 39
C. 46
D. 51
Pembahasan: Lihat/Tutup
Dapat dilihat bahwa peluang mendapatkan jumlah terkecil yang mungkin sama dengan peluang mendapatkan jumlah terbesar yang mungkin, peluang mendapatkan jumlah kedua terkecil sama dengan peluang mendapatkan jumlah kedua terbesar, dan seterusnya. Hal ini karena banyak cara untuk menambahkan sejumlah angka 1 ke kumpulan 7 angka 1 sama dengan banyak cara untuk mengurangi sejumlah angka 1 dari kumpulan 7 angka 6.Dengan demikian, kita bisa mencocokkan nilai-nilai untuk menemukan jumlah yang memiliki peluang sama dengan 10. Kita bisa mulai dengan memperhatikan bahwa 7 adalah jumlah terkecil yang mungkin dan 42 adalah jumlah terbesar yang mungkin. Pasangan dengan peluang sama adalah sebagai berikut:
(7, 42), (8, 41), (9, 40), (10, 39), (11, 38)...
Kita hanya perlu mencari angka yang dipasangkan dengan 10. Maka kita berhenti di (10, 39) dan menyimpulkan bahwa jumlah yang memiliki peluang sama dengan 10 adalah 39. Jadi, jawaban yang benar adalah 39.
Jawaban: B
Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2025 No. 29
Pada balok yang ditunjukkan, diketahui AB = 3, BC = 1, CG = 2JSO - POSI 2025 No. 29
Titik M adalah titik tengah dari FG. Volume piramida segiempat dengan alas BCHE dan puncak di M adalah …
A. 1
B. 2
C. $\frac{5}{2}$
D. 3
Pembahasan: Lihat/Tutup
Perhatikan gambar!
$\begin{align}PQ &= BE \\ &= \sqrt{AB^2+AE^2} \\ &= \sqrt{3^2+2^2} \\ PQ &= \sqrt{13} \end{align}$
Perhatikan segitiga PMQ maka:
$\begin{align}PQ\times MR &= PQ\times MQ \\ \sqrt{13}\times MR &= 2\times 3 \\ MR &= \frac{6}{\sqrt{13}} \end{align}$
$\begin{align}V_{M.BCHE} &= \frac{1}{3}\times [BCHE]\times MR \\ &= \frac{1}{3}\times BE\times BC\times MR \\ &= \frac{1}{3}\times \sqrt{13}\times 1\times \frac{6}{\sqrt{13}} \\ &= 2 \end{align}$
Jawaban: B
Soal Olimpiade Matematika SMP
JSO - POSI 2025 No. 30
Pada lingkaran yang diberikan, diameter EB sejajar dengan DC, dan AB sejajar dengan ED.JSO - POSI 2025 No. 30
Sudut AEB dan ABE memiliki perbandingan 4 : 5. Besar sudut BCD (dalam derajat) adalah …
A. 110
B. 120
C. 130
D. 140
Pembahasan: Lihat/Tutup
$\angle BAE$ sudut keliling yang menghadap diameter EB maka $\angle BAE=90^\circ $.Misalkan, $\angle AEB=4x$ dan $\angle ABE=5x$
Perhatikan segitiga ABE maka:
$\begin{align}\angle AEB+\angle ABE+\angle BAE &= 180^\circ \\ 4x+5x+90^\circ &= 180^\circ \\ 9x &= 90^\circ \\ x &= 10^\circ \end{align}$
$\angle AEB=4x=4\times 10^\circ =40^\circ $
$\angle ABE=5x=5\times 10^\circ =50^\circ $
AB sejajar ED maka $\angle BED=\angle ABE=50^\circ $ (sudut dalam berseberangan).
Perhatikan gambar berikut.
Perhatikan segiempat tali busur BCDE maka:
$\begin{align}\angle BED+\angle BCD &= 180^\circ \\ 50^\circ +\angle BCD &= 180^\circ \\ \angle BCD &= 130^\circ \end{align}$
Jawaban: C
Post a Comment for "Pembahasan Soal Olimpiade Matematika SMP - JSO 2025 POSI"
Pertanyaan melalui kolom komentar akan direspon secepatnya. Jika tidak direspon, berarti pertanyaan serupa telah ada.