Pembahasan Soal Olimpiade Matematika SMP - OSH 2024 POSI

Berikut ini adalah Soal Olimpiade Matematika SMP - Olimpiade Sains HARDIKNAS (OSH) POSI 2024. Silakan dimanfaatkan sebaik mungkin.

Tata Cara Belajar:
Cobalah mengerjakan soal-soal yang tersedia secara mandiri. Setelah itu cocokkanlah jawaban kamu dengan pembahasan yang telah disediakan, dengan cara klik Lihat/Tutup .

Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2024 No. 1

Hasil dari $\sqrt{14+6\sqrt{5}}+\sqrt{56-24\sqrt{5}}+\sqrt{9+4\sqrt{5}}$ adalah ..,
A. $\sqrt{79-14\sqrt{5}}$v B. 7
C. $4\sqrt{5}-1$
D. 11

Pembahasan: Lihat/Tutup

$\sqrt{14+6\sqrt{5}}+\sqrt{56-24\sqrt{5}}+\sqrt{9+4\sqrt{5}}$
= $\sqrt{14+2.3\sqrt{5}}+\sqrt{56-2.12\sqrt{5}}+\sqrt{9+2.2\sqrt{5}}$
= $\sqrt{14+2\sqrt{45}}+\sqrt{56-2\sqrt{720}}+\sqrt{9+2\sqrt{20}}$
= $\sqrt{(9+5)+2\sqrt{9\times 5}}+\sqrt{(36+20)-2\sqrt{36\times 20}}+\sqrt{(5+4)+2\sqrt{5\times 4}}$
= $\sqrt{9}+\sqrt{5}+\sqrt{36}-\sqrt{20}+\sqrt{5}+\sqrt{4}$
= $3+\sqrt{5}+6-2\sqrt{5}+\sqrt{5}+2$
= 11
Jawaban: D

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2024 No. 2

Hasil dari $\frac{4^{1122}+8^{749}+135}{2^{2244}+15}$ adalah ...
A. $\frac{9}{1024}$
B. $\frac{15}{16}$
C. 9
D. 15

Pembahasan: Lihat/Tutup

$\begin{align}\frac{4^{1122}+8^{749}+135}{2^{2244}+15} &= \frac{(2^2)^{1122}+(2^3)^{749}+135}{2^{2244}+15} \\ &= \frac{2^{2244}+2^{2247}+9\times 15}{2^{2244}+15} \\ &= \frac{2^{2244}(1+2^3)+9\times 15}{2^{2244}+15} \\ &= \frac{2^{2244}\times 9+9\times 15}{2^{2244}+15} \\ &= \frac{9(2^{2244}+15)}{(2^{2244}+15)} \\ &= 9 \end{align}$
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2024 No. 3

Misalkan faktor persekutuan terbesar dari bilangan $({{n}^{2}}+12n+5)$ dengan $(n-13)$ untuk suatu bilangan bulat $n$ dan $d_n$. Nilai terbesar yang mungkin untuk $d_n$ adalah ...
A. 320
B. 330
C. 1010
D. 1012

Pembahasan: Lihat/Tutup

$\begin{align}FPB(n^2+12n+5,n-13) &= d_n \\ FPB((n-13)(n+25)+330,n-13) &= d_n \\ FPB(330,n-13) &= d_n \end{align}$
$d_n|330$ artinya $d_n$ adalah faktor dari 330.
$d_n\in \{330,165,110,66,55,30,22,15,11,10,6,5,3,2,1\}$
Nilai terbesar yang mungkin untuk $d_n$ adalah 330.
Jawaban: B

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2024 No. 4

Misalkan $b(n)$ adalah banyaknya digit 1 pada representasi biner dari bilangan desimal $n$. Sebagai contoh $b(4)=1$ karena $4=100_2$. Nilai terkecil $n$ agar $b(b(n)) > 2$ adalah ...
A. 127
B. 128
C. 63
D. 64

Pembahasan: Lihat/Tutup

Agar $n$ dan $b(b(n)) > 2$ maka $b(b(n))=3$.
Nilai terkecil $b(n)$ adalah:
$\begin{align}b(n) &= 111_2 \\ &= 1.2^2+1.2^1+1.2^0 \\ &= 4+2+1 \\ b(n) &= 7 \end{align}$
Nilai terkecil dari $n$ adalah:
$\begin{align}n &= 1111111_2 \\ &= 1.2^6+1.2^5+1.2^4+1.2^3+1.2^2+1.2^1+1.2^0 \\ &= 64+32+16+8+4+2+1 \\ n &= 127 \end{align}$
Jawaban: A

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2024 No. 5

Sisa dari ${{1000}^{2024}}$ dibagi 24 adalah ...
A. 1
B. 8
C. 12
D. 16

Pembahasan: Lihat/Tutup

${{1000}^{2024}}(\bmod 24)$?
Perhatikan:
$1000\equiv 16(\bmod 24)$ maka ${{1000}^{2024}}\equiv 16(\bmod 24)$.
Sekarang gunakan pemisahan modulo.
$24=8\times 3$
Modulo 8:
$16\equiv 0(\bmod 8)\to {{16}^{2024}}\equiv 0(\bmod 8)$
Modulo 3:
$16\equiv 1\bmod 3\to {{16}^{2024}}\equiv 1(\bmod 3)$
Cari bilangan $x$ dengan:
$x\equiv 0(\bmod 8)$ dan $x\equiv 1(\bmod 3)$
Coba kelipatan 8 (tentu yang kurang dari 24): 0, 8, 16.
Yang memenuhi adalah 16.
$16\equiv 0(\bmod 8)$ dan $16\equiv 1(\bmod 3)$
Jadi, sisa pembagian ${{1000}^{2024}}$ oleh 24 adalah 16.
Jawaban: D

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2024 No. 6

Misalkan S = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 1111. Dua digit terakhir dari S adalah ....
A. 11
B. 36
C. 56
D. 76

Pembahasan: Lihat/Tutup

Ingat: $1+2+3+...+(2n-1)=n^2$
$\begin{align}S &= 1+3+5+...+2011 \\ &= 1+3+5+...+(2\times 556-1) \\S &= 556^2 \end{align}$
$\begin{align}S &\equiv 556^2 (\bmod 100) \\ &\equiv 56^2(\bmod 100) \\ & \equiv 3136(\bmod 100) \\ &\equiv 36(\bmod 100) \end{align}$
Dua digit terakhir dari S adalah 36.
Jawaban: B

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2024 No. 7

Misalkan
$A=\{15n;\,n\in \mathbb{N}\}$
$B=\{40n;\,n\in \mathbb{N}\}$
$C=\{n|n\le 900;\,n\in \mathbb{N}\}$
Banyaknya anggota dari himpunan $(A\cup B)\cap C$ adalah ...
A. 900
B. 450
C. 80
D. 75

Pembahasan: Lihat/Tutup

A = {15, 30, 45, ...}
B = {40, 80, 120, ...}
C = {1, 2, 3, ..., 100}
$A\cap C=\{15,30,45,....,900\}$
$n(A\cap C)=\frac{900}{15}=60$
$B\cap C=\{40,80,120,...,880\}$
$n(B\cap C)=\frac{880}{40}=22$
$(A\cap C)\cap (B\cap C)=\{120,240,360,...,840\}$
$n((A\cap C)\cap (B\cap C))=\frac{840}{120}=7$
$\begin{align}n((A\cup B)\cap C) &= n((A\cap C)\cup (B\cap C)) \\ &= n(A\cap C)+n(B\cap C)-n((A\cap C)\cap (B\cap C)) \\ &= 60+22-7 \\ &= 75 \end{align}$
Jawaban: D

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2024 No. 8

Diberikan fungsi $f(2x)=8x^2+3x-2$. Bilangan real positif $t$ sehingga $f(t)=138$ adalah ...
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16

Pembahasan: Lihat/Tutup

$f(2x)=8x^2+3x-2$
$f(t)=138$
$2x=t\to x=\frac{1}{2}t$
$\begin{align}f(2x) &= 8x^2+3x-2 \\ f\left( 2.\frac{1}{2}t \right) &= 8\left( \frac{1}{2}t \right)^2+3\left( \frac{1}{2}t \right)-2 \\ f\left( t \right) &= 8.\frac{1}{4}t^2+\frac{3}{2}t-2 \\ 138 &= 2t^2+\frac{3}{2}t-2 \\ 276 &= 4t^2+3t-4 \\ 4t^2+3t-280 &= 0 \\ (t-8)(4t+35t) &= 0 \end{align}$
$4t+35=0\to t=-\frac{35}{4}$ (tidak memenuhi)
$t-8=0\to t=8$ (memenuhi)
Jawaban: B

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2024 No. 9

Diberikan fungsi $f$ yang didefinisikan oleh $f(1)=1$, $f(3)=5$, $f(n)=f(n+1)+f(n+2)$ untuk semua bilangan asli $n$. Nilai dari $f(5)$ adalah ...
A. 7
B. 9
C. 14
D. 20

Pembahasan: Lihat/Tutup

$f(n)=f(n+1)+f(n+2)$
$\begin{align}f(1) &= f(2)+f(3) \\ 1 &= f(2)+5 \\ -4 &= f(2) \end{align}$
$\begin{align}f(2) &= f(3)+f(4) \\ -4 &= 5+f(4) \\ -9 &= f(4) \end{align}$
$\begin{align}f(3) &= f(4)+f(5) \\ 5 &= -9+f(5) \\ 14 &= f(5) \end{align}$
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2024 No. 10

Kran A akan mengisi tangki dalam waktu 10 jam. Kran B akan mengisi tangki yang sama dalam waktu 15 jam. Kran C akan mengisi tangki dalam waktu yang sama dengan waktu yang dibutuhkan kran A dan B ketika kedua kran dinyalakan bersama untuk mengisi tangki tersebut. Berapa bagian tangki yang akan terisi jika ketiga keran tersebut dinyalakan bersama selama satu jam?
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{2}{5}$
C. $\frac{1}{6}$
D. $\frac{1}{2}$

Pembahasan: Lihat/Tutup

$\begin{align}\frac{1}{t_C} &= \frac{1}{t_A}+\frac{1}{t_B} \\ &= \frac{1}{10}+\frac{1}{15} \\ &= \frac{3+2}{30} \\ &= \frac{5}{30} \\ \frac{1}{t_C} &= \frac{1}{6} \\ t_C &= 6 \end{align}$
Misalkan waktu yang dibutuhkan Kran A, B, C bersamaan adalah $x$ maka:
$\begin{align}\frac{1}{x} &= \frac{1}{t_A}+\frac{1}{t_B}+\frac{1}{t_C} \\ \frac{1}{x} &= \frac{1}{t_C}+\frac{1}{t_C} \\ \frac{1}{x} &= \frac{2}{t_C} \\ \frac{1}{x} &= \frac{2}{6} \\ \frac{1}{x} &= \frac{1}{3} \\ x &= 3 \end{align}$
Artinya, tangki terisi penuh dalam 3 jam.
Jadi, jika ketiga kran dinyatalakan 1 jam, tangki akan terisi $\frac{1}{3}$ bagian.
Jawaban: A

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2024 No. 11

Jumlah semua bilangan real $x$ yang memenuhi ${{4.16}^{x}}-{{6.4}^{x+2}}+1=0$ adalah ...
A. 1
B. -1
C. 2
D. -2

Pembahasan: Lihat/Tutup

$\begin{align}4.16^x-6.4^{x+2}+1 &= 0 \\ 4.(4^2)^x-6.4^x.4^2+1 &= 0 \\ 4.(4^x)^2-96.4^x+1 &= 0 \end{align}$
Persamaan di atas berbentuk persamaan kuadrat ($ap^2+bp+c=0$) dengan $p=4^x$, $a=1$, $b=-96$, $c=1$, akar-akarnya $p_1=4^{x_1}$ dan $p_2=4^{x_2}$ maka:
Hasil kali akarnya adalah:
$\begin{align}p_1.p_2&=\frac{a}{c} \\ 4^{x_1}.4^{x_2} &= \frac{1}{4} \\ 4^{x_1+x_2} &= 4^{-1} \\ x_1+x_2 &= -1 \end{align}$
Jawaban: B

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2024 No. 12

Nilai dari $x$ sehingga persamaan $4(1+y)x^2-2^2x+1-y=0$ benar untuk semua bilangan real $y$ adalah ...
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $-\frac{1}{2}$
D. $-\frac{1}{4}$

Pembahasan: Lihat/Tutup

$\begin{align}4(1+y)x^2-2^2x+1-y &= 0 \\ 4x^2+4x^2y-4x+1-y &= 0 \\ 4x^2y-y+4x^2-4x+1 &= 0 \\ (4x^2-1)y+4x^2-4x+1 &= 0 \end{align}$
Karena persamaan ini benar untuk semua bilangan real $y$, haruslah
$\begin{align}4x^2-1 &= 4x^2-4x+1=0 \\ -1 &= -4x+1 \\ 4x &= 2 \\ x &= \frac{2}{4} \\ x &= \frac{1}{2} \end{align}$
Jawaban: A

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2024 No. 13

Jika $x$ dan $y$ merupakan bilangan real positif yang memenuhi $4x+3y=21$, maka nilai terbesar yang mungkin dari $x^4y^3$ adalah ...
A. 343
B. 512
C. 2187
D. 2341

Pembahasan: Lihat/Tutup

$x^4y^3=x.x.x.x.y.y.y$
Dari GM-AM didapat:
$\begin{align}\sqrt[7]{x.x.x.x.y.y.y} &\le \frac{x+x+x+x+y+y+y}{7} \\ \sqrt[7]{x^4y^3} &\le \frac{4x+3y}{7} \\ \sqrt[7]{x^4y^3} &\le \frac{21}{7} \\ \sqrt[7]{x^4y^3} &\le 3 \\ x^4y^3 &\le 3^7 \\ x^4y^3 &\le 2187 \\ x^4y^3(\max ) &= 2187 \end{align}$
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2024 No. 14

Misalkan $x$, $y$, dan $z$ adalah bilangan real yang memenuhi $2x+3y=y+z=4y+x=15$. Nilai dari $x+y+z$ adalah ...
A. 18
B. 15
C. 12
D. 9

Pembahasan: Lihat/Tutup

$\begin{align}2x+3y &= 4y+x \\ x &= y \end{align}$
$\begin{align}2x+3y &= 15 \\ 2x+3x &= 15 \\ 5x &= 15 \\ x &= 3 \end{align}$
$y+z=15$
$x+y+z=3+15=18$
Jawaban: A

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2024 No. 15

Empat suku pertama barisan aritmetika adalah $a$, $3x$, $b$, $4x$. Nilai dari $\frac{a}{b}$ yang mungkin adalah ...
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{2}{5}$
C. $\frac{5}{7}$
D. $\frac{7}{9}$

Pembahasan: Lihat/Tutup

Barisan aritmetika: $2U_n=U_{n-1}+U_{n+1}$
$\begin{align}2U_3 &= U_2+U_4 \\ 2b &= 3x+4x \\ 2b &= 7x \\ b &= \frac{7x}{2} \end{align}$
$\begin{align}2U_2 &= U_1+U_3 \\ 2.3x &= a+b \\ 6x &= a+b \\ 6x &= a+\frac{7x}{2} \\ 6x-\frac{7x}{2} &= a \\ \frac{5x}{2} &= a \end{align}$
$\frac{a}{b}=\frac{\frac{5x}{2}}{\frac{7x}{2}}=\frac{5}{7}$
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2024 No. 16

Perhatikan gambar di bawah ini:

Nilai dari $x$ dalam derajat adalah ...
A. 15
B. $16\frac{2}{13}$
C. $17\frac{2}{3}$
D. 18

Pembahasan: Lihat/Tutup

Ingat:
Besar sudut dalam segi-n adalah $180^\circ (n-2)$.
Gambar di atas adalah segi-9 maka total besar sudut dalamnya adalah:
$\begin{align}x+3.11x+7x+4x+3.13x &= 180^\circ (9-2) \\ x+33x+7x+4x+39x &= 1260^\circ \\ 84x &= 1260^\circ \\ x &= \frac{1260^\circ }{84} \\ x &= 15^\circ \end{align}$
Jawaban: A

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2024 No. 17

Diagonal DB pada persegi panjang ABCD terbagi menjadi 3 ruas garis dengan panjang 1 oleh garis L dan L’ yang berturut-turut melalui A dan C dan tegak lurus DB. Luas ABCD adalah ...

A. $\frac{3}{2}\sqrt{2}$
B. $3\sqrt{2}$
C. 4
D. 5

Pembahasan: Lihat/Tutup

Perhatikan gambar!

$\Delta AED$ sebangun dengan $\Delta AEB$ maka:
$\begin{align}\frac{DE}{AE} &= \frac{AE}{BE} \\ \frac{1}{AE} &= \frac{AE}{2} \\ AE^2 &= 2 \\ AE &= \sqrt{2} \end{align}$
$\begin{align}\left[ ABCD \right] &= 2\times \left[ ADB \right] \\ &= 2\times \frac{DB\times AE}{2} \\ &= DB\times AE \\ &= 3\times \sqrt{2} \\ \left[ ABCD \right] &= 3\sqrt{2} \end{align}$
Jawaban: B

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2024 No. 18

Perhatikan gambar di bawah ini:

Segitiga ABC pada gambar mempunyai luas 35. Titik D, E, dan F berturut-turut berada pada sisi AB, BC, dan CA, dan AD:DB = 2:3. Jika segitiga ABE dan segi empat DBEF mempunyai luas yang sama, maka luas $\Delta ABC$ adalah ...
A. 21
B. 24
C. 28
D. 30

Pembahasan: Lihat/Tutup

Perhatikan gambar!

$\begin{align}\left[ ABE \right] &= \left[ DBEF \right] \\ \left[ ADE \right]+\left[ DBE \right] &= \left[ DFE \right]+\left[ DBE \right] \\ \left[ ADE \right] &= \left[ DFE \right] \end{align}$
$\Delta ADE$ dan $\Delta DFE$ memiliki alas DE yang sama, maka ketinggian alas tersebut harus sama. Artinya, A dan F berjarak sama dari DE, jadi $AF\parallel DE$. Kemudian, dengan menggunakan kesebangunan $\Delta ABC$ dan $\Delta DBE$ maka:
$\frac{BE}{BC}=\frac{DB}{AB}=\frac{3}{5}$
Dengan demikian,
$\begin{align}\frac{\left[ ABE \right]}{\left[ ABC \right]} &= \frac{BE}{BC} \\ \frac{\left[ ABE \right]}{35} &= \frac{3}{5} \\ \left[ ABE \right] &= \frac{3}{5}\times 35 \\ \left[ ABE \right] &= 21 \end{align}$
Jawaban: A

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2024 No. 19

Tiga lingkaran masing-masing memiliki jari-jari 40 cm dengan titik pusat berturut-turut A, B, dan C disusun seperti gambar di bawah ini.

WZ adalah garis singgung lingkaran ketiga. Panjang XY adalah ... cm.
A. 16
B. 24
C. 32
D. 64

Pembahasan: Lihat/Tutup

Misalkan P adalah titik tengah XY maka $BP\bot XY$.
WZ menyinggung lingkaran ketiga di Q maka $CQ\bot WZ$.

$\angle WPB=\angle WQC=90^\circ $ dan $\angle BWP=\angle CWQ$ maka $\Delta WPB\sim \Delta WQC$
$\begin{align}\frac{BP}{CQ} &= \frac{BW}{CW} \\ \frac{BP}{40} &= \frac{3.40}{5.40} \\ \frac{BP}{40} &= \frac{3}{5} \\ BP &= \frac{3}{5}\times 40 \\ BP &= 24 \end{align}$
Perhatikan segitiga BPY siku-siku di P maka dengan teorema pythagoras diperoleh:
$\begin{align}PY &= \sqrt{BY^2-BP^2} \\ &= \sqrt{40^2-24^2} \\ &= \sqrt{1600-576} \\ &= \sqrt{1024} \\ PY &= 32 \end{align}$
$XY=2\times PY=2\times 32=64$
Jawaban: D

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2024 No. 20

Titik P dan R masing-masing terletak di (2,5) dan (8,17). Titik M merupakan titik tengah ruas garis PR. Ruas garis PR dicerminkan terhadap sumbu $x$, lalu diputar sejauh $90^\circ $ searah jarum jam dengan pusat (0,0). Jika koordinat bayangan titik M adalah $(a,b)$ maka nilai dair $a-b$ adalah ...
A. 16
B. -16
C. 6
D. -6

Pembahasan: Lihat/Tutup

Titik M adalah titik tengah PR maka:
$M\left( \frac{x_P+x_R}{2},\frac{y_P+y_R}{2} \right)$ = $M\left( \frac{2+8}{2},\frac{5+17}{2} \right)$ = $M\left( 5,11 \right)$
Ingat:
$(x,y)\xrightarrow{M[sumbuX]}(x,-y)$ maka $M(5,11)\xrightarrow{M[sumbu\,x]}(5,-11)$
$(x,y)\xrightarrow{R[O,-90^\circ ]}(-y,x)$ maka $(5,-11)\xrightarrow{R[O,-90^\circ ]}M'(11,5)=(a,b)$
$a-b=11-5=6$
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2024 No. 21

Titik A terletak di suatu tempat di dalam atau pada persegi yang mempunyai titik sudut berhadapan di titik (0,0) dan (2,2). Titik B terletak di suatu tempat di dalam atau pada persegi yang mempunyai titik sudut yang berhadapan di titik (4,2) dan (5,3). Nilai terbesar yang mungkin dari kemiringan (gradien) garis yang memuat titik A dan B adalah ...
A. 1
B. $\frac{3}{2}$
C. $\frac{4}{3}$
D. 2

Pembahasan: Lihat/Tutup

Perhatikan gambar!

Titik A terletak pada persegi KLMN dan titik B terletak pada persegi PQRS, agar gradien garis AB terbesar maka titik A harus terletak pada titik L(2,0) dan titik B terletak pada titik S(4,3) maka:
$m_{AB}=m_{LS}=\frac{y_S-y_L}{x_S-x_L}=\frac{3-0}{4-2}=\frac{3}{2}$
Jawaban: B

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2024 No. 22

Sebuah ubus dipotong oleh sebuah garis yang melalui dua sudut berhadapan dan titik tengah kedua sisinya seperti pada gambar.

Jika kubus mempunyai panjang rusuk satu satuan, berapa luas segiempat yang dibentuk oleh perpotongan bidang dan kubus?
A. $\frac{1}{2}\sqrt{3}$
B. $\frac{1}{2}\sqrt{2}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{2}\sqrt{6}$

Pembahasan: Lihat/Tutup

Perhatikan bahwa kempat sisi segiempat (APGQ) yang dibentuk perpotongan bidang dengan kubus memiliki panjang yang sama. Sehingga segiempat (APGQ) tersebut adalah belah ketupat.

$s=1$
AG = diagonal ruang = $s\sqrt{3}$ = $\sqrt{3}$
PQ = BD = diagonal sisi = $s\sqrt{2}$ = $\sqrt{2}$
$\begin{align}\left[ APGQ \right] &= \frac{1}{2}.AG.PQ \\ &= \frac{1}{2}.\sqrt{3}.\sqrt{2} \\ &= \frac{1}{2}\sqrt{6} \end{align}$
Jawaban: D

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2024 No. 23

Rata-rata dari tiga bilangan $a$, $b$, $c$ adalah 24. Rata-rata bilangan $a$, $2b$, $(c-8)$ adalah 34. Rata-rata dari $a+c$ adalah ...
A. $11\frac{1}{3}$
B. 12
C. 17
D. 24

Pembahasan: Lihat/Tutup

$\frac{a+b+c}{3}=24\to a+b+c=72$
$\begin{align}\frac{a+2b+(c-8)}{3} &= 34 \\ a+2b+c-8 &= 102 \\ a+2b+c &= 110 \\ (a+b+c)+b &= 110 \\ 72+b &= 110 \\ b &= 38 \end{align}$
$\begin{align}a+b+c &= 72 \\ a+c &= 72-b \\ a+c &= 72-38 \\ a+c &= 34 \end{align}$
Rata-rata dari $a+c$ adalah:
$\frac{a+c}{2}=\frac{34}{2}=17$
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2024 No. 24

Ada tiga nilai N yang berbeda sehingga mean kelima anggota himpunan S, dimana S = {76, 43, 59, 62, N}, sama dengan median anggota himpunan S. Jumlah dari ketiga nilai N tersebut adalah ...
A. 185
B. 190
C. 195
D. 200

Pembahasan: Lihat/Tutup

Data: 76, 43, 59, 62, N
Rata-rata = median
Urutkan data yang ada: 43, 59, 62, 76
$\begin{align}rata-rata &= \frac{76+43+59+62+N}{5} \\ rata-rata &= \frac{240+N}{5} \end{align}$
Perhatikan N
$\begin{align}rata-rata &= \frac{240+N}{5} \\ rata-rata &= 48+\frac{N}{5} \\ rata-rata &\ge 48 \\ median &\ge 48 \end{align}$
Kemungkinan mediannya adalah 59, 62, dan N.
Kasus 1. Rata-rata = Median = 59
$\begin{align}\frac{240+N}{5} &= 59 \\ 240+N &= 295 \\ N &= 55 \end{align}$
Kaksus 2. Rata-rata = Median = 62
$\begin{align}\frac{240+N}{5} &= 62 \\ 240+N &= 310 \\ N &= 70 \end{align}$
Kasus 2. Median = rata-rata = N
$\begin{align}\frac{240+N}{5} &= N \\ 240+N &= 5N \\ -4N &= -240 \\ N &= 60 \end{align}$
Jadi, jumlah semua nilai N yang memenuhi adalah 55 + 70 + 60 = 185
Jawaban: A

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2024 No. 25

Pada dadu standar enam sisi, angka pada sisi yang berlawanan selalu berjumlah tujuh. Dena melempar sepasang dadu. Dia kemudian menghitung hasil kali empat angka: dua angka pada sisi yang terlihat di atas dadu dan dua angka pada sisi yang tersembunyi di bawah dadu. Hasil kali terbsar dari keempat bilangan tersebut adalah ...
A. 180
B. 144
C. 120
D. 100

Pembahasan: Lihat/Tutup

Karena jumlah sisi yang berlawanan adalah 7, yang kita cari adalah
$x.(7-x).y.(7-y)$
Akan maksimum saat selisih $x$ dan $7-x$ serta selisih $y$ dan $7-y$ minimum.
Jadi, jawabannya $3\times 4\times 3\times 4=144$
Jawaban: B

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2024 No. 26

Banyaknya bilangan asli kurang dari 10.000 yang hasil kali digit-digitnya adalah 648 adalah ....
A. 36
B. 39
C. 63
D. 66

Pembahasan: Lihat/Tutup

899, 989, 998 ada 3.
1899 beserta permutasinya ada $\frac{4!}{2!}=\frac{4\times 3\times 2!}{2!}=12$.
2499 beserta permutasinya ada $\frac{4!}{2!}=\frac{4\times 3\times 2!}{2!}=12$.
2669 beserta permutasinya ada $\frac{4!}{2!}=\frac{4\times 3\times 2!}{2!}=12$.
4369 beserta permutasinya ada $4!=4\times 3\times 2\times 1=24$.
3666 beserta permutasinya ada $\frac{4!}{3!}=\frac{4\times 3!}{3!}=3$.
Jadi, totalnya ada 3 + 12 + 12 + 12 + 24 + 3 = 66
Jawaban: D

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2024 No. 27

Sarah memiliki empat tumpukan kartu yang masing-masing berisi 15 kartu. Satu tumpukan berwarna merah, satu tumpukan berwarna biru, satu berwarna kuning, dan satu lagi berwarna hijau. Kartu setiap tumpukan diberi nomor 1 hingga 15. Sarah menggabungkan keempat tumpukan untuk membentuk satu tumpukan besar. Jika diambil secara acak dan tanpa pengembalian, berapa peluang Sarah pertama kali mengambil kartu hijau bertuliskan bilangan prima dan kemudian mengambil kartu bertuliskan bilangan prima pada pilihan kedua?
A. $\frac{23}{590}$
B. $\frac{23}{3540}$
C. $\frac{529}{3540}$
D. $\frac{1}{75}$

Pembahasan: Lihat/Tutup

Total kartu (4 kartu dan setiap kartu diberi nomor 1-15):
n(S) = $4\times 15$ = 60
Bilangan prima di antara 1 – 15:
2, 3, 5, 7, 11, 13 ada 6.
$P_1$ = peluang pengambilan pertama kartu hijau prima
$P_1=\frac{6}{60}=\frac{1}{10}$
Karena tanpa pengembalian, kartu bilangan prima yang tersisa ada $6\times 4-1=23$, dan kartu yang tersisa ada 60 – 1 = 59.
$P_2$ = peluang pengambilan kedua kartu bilangan prima
$P_2=\frac{23}{59}$
Peluang pertama kali mengambil kartu hijau bertuliskan bilangan prima dan kemudian mengambil kartu bertuliskan bilangan prima pada pilihan kedua: $P_1\times P_2=\frac{1}{10}\times \frac{23}{59}=\frac{23}{590}$.
Jawaban: A

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2024 No. 28

Nanda dan Wahyu sedang bermain game. Pertama, Nanda menghiulangkan satu bilangan dari himpunan {1, 2, 3, 4, 5}. Kemudian Wahyu mengambil dua bilangan yang tersisa secara acak tanpa pengembalian. Wahyu menang, jika jumlah dua bilangan yang dipilihnya bukan bilangan prima. Kalau tidak, Nanda menang. Bilangan berapa yang harus Nanda hilangkan untuk memaksimalkan peluangnya untuk menang?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

Pembahasan: Lihat/Tutup

Dari keterangan soal, Nanda menang jika peluang Wahyu mengambil dua bilangan yang jumlahnya merupakan bilangan prima dibuat semaksimal mungkin.
Jika Nanda menghilangkan 2 maka 1+4 = 5, 3 + 4 = 7, maka:
Peluang Nanda menang adalah $\frac{2}{C_2^4}$.
Jika Nanda menghilangkan 3 maka 1+2=3, 1+4=5, 2+5=7, maka:
Peluang Nanda menang adalah $\frac{3}{C_2^4}$.
Jika Nanda menghilangkan 4 maka 1+2=3, 2+3=5, 2+5=7, maka:
Peluang Nanda menang adalah $\frac{3}{C_2^4}$.
Jika Nanda menghilangkan 5 maka 1+2=3, 1+4=5,2+3=5,3+4=7, maka:
Peluang Nanda menang adalah $\frac{4}{C_2^4}$
Jadi, untuk memaksimalkan peluang Nanda menang, Nanda harus menghilangkan 5.
Jawaban: D

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2024 No. 29

Seorang kriptografer merancang metode berikut untuk mengkodekan bilangan bulat positif. Pertama, bilangan bulat dinyatakan dalam basis 5. Kedua, korespondensi satu-satu dibuat antara angka-angka yang muncul dalam representasi basis 5 dan elemen-elemen himpunan {V, W, X, Y, Z}. dengan menggunakan korespondensi ini, kriptografer menemukan bahwa tiga bilangan bulat berurutan dalam urutan menaik diberi kode masing-masing sebagai VYZ, VYX, VVW. Berapakah representasi basis 10 untuk bilangan bulat yang dikodekan sebagai XYZ?
A. 100
B. 105
C. 108
D. 113

Pembahasan: Lihat/Tutup

Karena $VYX+1=VVW$, yaitu menambahkan 1 menyebabkan angka “lima” berubah, haruslah $X=4$ dan $W=0$, serta $Y+1=V$.
Sekarang karena $VYZ+1=VYX$, didapat $X=Z+1\to Z=4-1=3$.
Karena 1 dan 2 adalah satu-satunya angka yang tersisa (kita sudah tahu huruf mana yang dikorespondesikan ke 0, 3, dan 4), dan $Y+1=V$, haruslah $V=2$ dan $Y=1$.
Jadi, $XYZ$ = $413_{(5)}$ = $4.5^2+1.5+3$ = 108.
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2024 No. 30

Diberikan barisan bilangan yang didefinisikan oleh ${{a}_{1}}=1$ dan $a_n$ = jumlah $(n-1)$ suku sebelumnya. Nilai terkecil $n$ agar $a_n > 2024$ adalah ...
A. 11
B. 12
C. 13
D. 14

Pembahasan: Lihat/Tutup

1, 1, 2, 4, 8, 16, ...
Ternyata polanya adalah $a_n=2^{n-2}$ untuk $n > 1$.
$a_n > 2024\to 2^{n-2} > 2024$
Perhatikan:
$2^{10}=1024 < 2024 < 2^{11}=2048$
Nilai $n$ terkecil diperoleh jika:
$\begin{align}2^{n-2} &= 2048 \\ 2^{n-2} &= 2^{11} \\ n-2 &= 11 \\ n &= 13 \end{align}$
Jawaban: C

---

Share :