Pembahasan Soal Olimpiade Matematika SMP - OSH 2023 POSI
Tata Cara Belajar:
Cobalah mengerjakan soal-soal yang tersedia secara mandiri. Setelah itu cocokkanlah jawaban kamu dengan pembahasan yang telah disediakan, dengan cara klik Lihat/Tutup .
Cobalah mengerjakan soal-soal yang tersedia secara mandiri. Setelah itu cocokkanlah jawaban kamu dengan pembahasan yang telah disediakan, dengan cara klik Lihat/Tutup .
Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2023 No. 1
Misal $x$, $y$ bilangan real positif. Jika $129-x^2=195-y^2=xy$ maka $x=\frac{m}{n}$ dengan $FPB(m,n)=1$. Nilai dari $100m+n$ = …OSH - POSI 2023 No. 1
A. 4306
B. 5513
C. 4407
D. 3957
Pembahasan: Lihat/Tutup
$\begin{align}xy &= 129-x^2 \\ xy+x^2 &= 129 \\ y+x &= \frac{129}{x}\,....\,(1) \end{align}$$\begin{align}xy &= 195-y^2 \\ xy+y^2 &= 195 \\ x+y &= \frac{195}{y}\,....\,(2) \end{align}$
Dari (1) dan (2) diperoleh:
$\begin{align}\frac{129}{x} &= \frac{195}{y} \\ y &= \frac{195}{129}x \end{align}$
Substitusi ke persamaan (1):
$\begin{align}y+x &= \frac{129}{x}\, \\ \frac{195}{129}x+x &= \frac{129}{x} \\ \frac{324}{129}x &= \frac{129}{x} \\ 324x^2 &= 129^2 \\ x^2 &= \frac{129^2}{324} \\ x &= \frac{129}{18} \\ x &= \frac{43}{6}=\frac{m}{n} \end{align}$
$100m+n=100\times 43+6=4306$
Jawaban: A
Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2023 No. 2
Jumlah semua bilangan prima $x$ sehingga $\left\lfloor \frac{x^2}{6} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{x}{2} \right\rfloor $ merupakan bilangan prima adalah …OSH - POSI 2023 No. 2
A. 25
B. 31
C. 10
D. 14
Pembahasan: Lihat/Tutup
Untuk $x=2$ maka:$\begin{align}\left\lfloor \frac{x^2}{6} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{x}{2} \right\rfloor &= \left\lfloor \frac{2^2}{6} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{2}{2} \right\rfloor \\ &= \left\lfloor 0,67 \right\rfloor +\left\lfloor 1 \right\rfloor \\ &= 0+1 \\ &= 1\,(bukan\,prima) \end{align}$
Untuk $x=3$ maka:
$\begin{align}\left\lfloor \frac{x^2}{6} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{x}{2} \right\rfloor &= \left\lfloor \frac{3^2}{6} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{3}{2} \right\rfloor \\ &= \left\lfloor 1,5 \right\rfloor +\left\lfloor 1,5 \right\rfloor \\ &= 1+1 \\ &= 2\,(prima) \end{align}$
Untuk bilangan prima $x\ge 5$, maka $x=6k+1$ atau $x=6k+5$ • Untuk $x=6k+1$ maka:
$\begin{align}\left\lfloor \frac{x^2}{6} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{x}{2} \right\rfloor &= \left\lfloor \frac{{{(6k+1)}^{2}}}{6} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{6k+1}{2} \right\rfloor \\ &= \left\lfloor \frac{36k^2+12k+1}{6} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{6k+1}{2} \right\rfloor \\ &= 6k^2+2k+3k \\ &= 6k^2+5k \\ &= k(6k+5) \end{align}$
Agar $k(6k+5)$ prima, haruslah $k=1$ maka diperoleh:
$\begin{align}x &= 6k+1 \\ &= 6.1+1 \\ x &= 7\,(prima) \end{align}$
• Untuk $x=6k+5$ maka:
$\begin{align}\left\lfloor \frac{x^2}{6} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{x}{2} \right\rfloor &= \left\lfloor \frac{{{(6k+5)}^{2}}}{6} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{6k+5}{2} \right\rfloor \\ &= \left\lfloor \frac{36k^2+60k+25}{6} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{6k+5}{2} \right\rfloor \\ &= 6k^2+10k+4+3k+2 \\ &= 6k^2+13k+6 \\ &= (6k+1)(k+6) \end{align}$
$(6k+1)(k+6)$ jenis bukan prima.
Jadi, jumlah nilai $x$ yang memenuhi adalah 3 + 7 = 10.
Jawaban: C
Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2023 No. 3
Banyak bilangan asli $(x,y,z)$ sehingga $KPK(x,z)=900$, $FPB(x,y)=12$, dan $KPK(x,y)=72$ adalah …OSH - POSI 2023 No. 3
A. 36
B. 18
C. 12
D. 9
Pembahasan: Lihat/Tutup
$KPK(x,z)=900=2^2\times 3^2\times 25$ maka $z=2^a\times 3^b\times {{5}^{c}}$$FPB(x,y)=12$ maka $x=12x_1$ dan $y=12y_1$ dan $FPB(x_1,y_1)=1$.
$\begin{align}KPK(x,y) &= 72 \\ KPK(12x_1,12y_1) &= 72 \\ 12x_1y_1 &= 72 \\ x_1y_1 &= 6 \end{align}$
Pasangan $(x_1,y_1)$ = (1,6), (2,3), (3,2), (6,1) sehingga
Pasangan (x,y) = (12,72), (24,36), (36,24), (72,12)
• Untuk (x,y) = (12,72) maka:
$\begin{align}KPK(12,z) &= 900 \\ KPK(2^2\times 3,z) &= 2^2\times 3^2\times 5^2 \\ z &= 2^a\times 3^2\times 5^2 \end{align}$
Diperoleh $0\le a\le 2$.
Jadi, ada 3 solusi.
• Untuk (x,y) = (24,36)
$KPK(24,z)=900$, tidak ada solusi karena 900 tidak habis dibagi 24.
• Untuk (x,y) = (36,24)
$\begin{align}KPK(36,z) &= 900 \\ KPK(2^2\times 3^2,z) &= 2^2\times 3^2\times 5^2 \\ z &= 2^a\times 3^b\times 5^2 \end{align}$
$0\le a\le 2$ dan $0\le b\le 2$.
Jadi, ada $3\times 3=9$ solusi.
• Untuk (x,y) = (72,12), tidak ada solusi karena 900 tidak habis dibagi 72.
Jadi, total ada 3 + 9 = 12 solusi (x,y,z).
Jawaban: C
Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2023 No. 4
SMA POSI akan mengirimkan 9 siswanya untuk mengikuti ujian praktek. Murid-murid tersebut akan dibentuk menjadi 3 tim, dimana masing-masing tim beranggotakan 3 orang. Banyak cara SMA POSI membentuk tim tersebut adalah …OSH - POSI 2023 No. 4
A. 280
B. 219
C. 317
D. 253
Pembahasan: Lihat/Tutup
Perhatikan urutan tim tidak diperhatikan, maka banyak caa membentuk tim adalah:= $\frac{C_{3}^{9}\times C_{3}^{6}\times C_{3}^{3}}{3!}$
= $\frac{\frac{9!}{3!.6!}\times \frac{6!}{3!.3!}\times \frac{3!}{3!.0!}}{3!}$
= $\frac{\frac{9!}{3!.3!.3!}}{3!}$
= $\frac{9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3!}{3\times 2\times 3\times 2\times 3\times 2\times 3!}$
= 280 cara.
Jawaban: A
Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2023 No. 5
Diketahui $a,b,c,d,e$ adalah bilangan yang berbeda-beda dan merupakan anggota dari himpunan {1, 2, 3, 4, 5}. Jika setiap lingkaran memiliki jumlah bilangan yang sama, maka nilai $a+c+d$ = …OSH - POSI 2023 No. 5
A. 10
B. 21
C. 12
D. 17
Pembahasan: Lihat/Tutup
$a+b+c+d+e=1+2+3+4+5=15$Dari diagram venn:
$2a+2e+1$ + $2a+2b+3$ + $2b+2c+5$ + $2c+2d+7$ + $2d+2e+9$
= $4(a+b+c+d+e)+25$
= $4\times 15+25$
= 85
Setiap lingkaran memiliki jumlah bilangan yang sama, maka jumlah tiap lingkaran adalah $\frac{85}{5}=17$ sehingga:
$2a+2e+1=17\to a+e=8$
$2a+2b+3=17\to a+b=7$
$2b+2c+5=17\to b+c=6$
$2c+2d+7=17\to c+d=5$
$2d+2e+9=17\to d+e=4$
$\begin{align}a+(b+c)+(d+e) &= 15 \\ a+6+4 &= 15 \\ a &= 5 \end{align}$
Jadi, $\begin{align}a+c+d &= a+(c+d) \\ &= 5+5 \\ &= 10 \end{align}$
Jawaban: A
Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2023 No. 6
Diberikan dua buah setengah lingkaran yang saling bersinggungan seperti gambar berikut.OSH - POSI 2023 No. 6
Diketahui jari-jari dari kedua setengah lingkaran adalah 1. Jika $AD=\sqrt{m}+\sqrt{n}$, dimana $m$ dan $n$ merupakan bilangan-bilangan asli yang masing-masing tidak habis dibagi oleh kuadrat prima apapun dan $m < n$, maka $m+n$ = …
A. 11
B. 9
C. 8
D. 6
Pembahasan: Lihat/Tutup
Karena EG = GF = 1, maka EF = 2.
Pada $\Delta EFH$ berlaku teorema pythagoras:
$HF=\sqrt{EF^2-EH^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
JH = AE = 1
JD = JH + HF + FD = $1+\sqrt{3}+1$= $2+\sqrt{3}$
AJ = EH = 1
Pada $\Delta AJD$ berlaku teorema pythagoras:
$\begin{align}AD &= \sqrt{AJ^2+JD^2} \\ &= \sqrt{1^2+(2+\sqrt{3})^2} \\ &= \sqrt{1+4+4\sqrt{3}+3} \\ &= \sqrt{8+4\sqrt{3}} \\ &= \sqrt{8+2\sqrt{12}} \\ &= \sqrt{(6+2)+2\sqrt{6\times 2}} \\ AD &= \sqrt{6}+\sqrt{2} \end{align}$
$AD=\sqrt{m}+\sqrt{n}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$
Diperoleh $m=6$ dan $n=2$
Jadi, $m+n=6+2=8$
Jawaban: C
Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2023 No. 7
Banyaknya pasangan terurut bilangan asli $(a,b)$ dengan $a+b$ bilangan prima, $1\le a,b\le 100$ dan $\frac{ab+1}{a+b}$ bilangan bulat adalah …OSH - POSI 2023 No. 7
A. 51
B. 52
C. 100
D. 42
Pembahasan: Lihat/Tutup
$\frac{ab+1}{a+b}$ bilangan bulat maka:$\frac{ab+1}{a+b}+1=\frac{(a+1)(b+1)}{a+b}$ bilangan bulat.
$(a+b)|(a+1)$ atau $(a+b)|(b+1)$, sehingga $a=1$ atau $b=1$.
Akibatnya, haruslah $(a+1)$ prima atau $(b+1)$ prima.
Bilangan prima kurang dari atau sama dengan 101
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Ada 26 bilangan prima, maka ada 26.2 = 52 pasangan (a,b), namun kasus $a=b=1$ terhitung dua kali, jadi haruslah ada 51 pasangan.
Jawaban: A
Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2023 No. 8
Misalkan $m$ dan $n$ adalah bilangan asli yang relatif prima sehingga $A=\frac{m}{n}$ dengan $A=\frac{2+4+6+...+2014}{1+3+5+...+2013}-\frac{1+3+5+...+2013}{2+4+6+...+2014}$. Jumlah digit-digit dari $m$ adalah …OSH - POSI 2023 No. 8
A. 7
B. 8
C. 11
D. 12
Pembahasan: Lihat/Tutup
Ingat:$2+4+6+...+2n=n(n+1)$
2 + 4 + 6 + … + 2014
= 2 + 4 + 6 + … + 2(1007)
= $1007\times 1008$
$1+3+5+...+(2n-1)=n^2$
1 + 3 + 5 + … + 2013
= 1 + 3 + 5 + … + [2(1007) – 1]
= $1007^2$
= $1007\times 1007$
$\begin{align}a &= \frac{2+4+6+...+2014}{1+3+5+...+2013}-\frac{1+3+5+...+2013}{2+4+6+...+2014} \\ &= \frac{1007\times 1008}{1007\times 1007}-\frac{1007\times 1007}{1007\times 1008} \\ &= \frac{1008}{1007}-\frac{1007}{1008} \\ &= \frac{{{1008}^{2}}-{{1007}^{2}}}{1007\times 1008} \\ &= \frac{1008+1007}{1007\times 1008} \\ a &= \frac{2015}{1007\times 1008}=\frac{m}{n} \end{align}$
$m=2015$
Jadi, jumlah digit-digit dari $m$ adalah 2 + 0 + 1 + 5 = 8
Jawaban: B
Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2023 No. 9
Sebuah proyek pendirian pabrik harus selesai selama 60 hari dengan pekerja sebanyak 15 orang. Setelah 20 hari pelaksanaan, proyek tersebut dihentikan selama 16 hari karena sesuatu hal. Jika kemampuan bekerja setiap orang dianggap sama dan proyek harus selesai tepat waktu, maka tambahan pekerja yang diperlukan adalah …OSH - POSI 2023 No. 9
A. 4
B. 10
C. 5
D. 7
Pembahasan: Lihat/Tutup
Misalkan $x$ adalah tambahan pekerja yang diperlukan.Sisa jumlah hari normal adalah 60 – 20 = 40 hari maka:
$\begin{align}40\,\text{hari} &\to 15\,\text{pekerja} \\ 24\,\text{hari} &\to (15+x)\,\text{pekerja} \\ \end{align}$
$\begin{align}24(15+x) &= 40\times 15 \\ 15+x &= 25 \\ x &= 10 \end{align}$
Jawaban: B
Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2023 No. 10
Diberikan segitiga siku-siku ABC dengan AC = 7, BC = 24, dan AB = 25, seperti gambar di bawah ini.OSH - POSI 2023 No. 10
Diketahui titik P dan Q, berturut-turut terletak pada segmen BC dan AC dengan CP = CQ = 6. Juga, titik R dan titik S pada segmen AB sehingga $QR\bot AB$ dan $PS\bot AB$. Jika luas bangun PCQRS dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{s}{t}$, dimana $s$ dan $t$ merupakan bilangan asli relatif prima dan $s+10t=M$, maka jumlahan digit-digit penyusun M adalah …
A. 27
B. 16
C. 36
D. 25
Pembahasan: Lihat/Tutup
[PCQRS] = [PQRS]
$\Delta AQR\tilde{\ }\Delta ABC$ maka:
$\frac{AR}{AC}=\frac{QR}{BC}=\frac{AQ}{AB}$
$AR=\frac{AQ}{AB}.AC=\frac{1}{25}.7=\frac{7}{25}$
$QR=\frac{AQ}{AB}.BC=\frac{1}{25}.24=\frac{24}{25}$
$\Delta BPS\tilde{\ }\Delta ABC$ maka:
$\frac{PS}{AC}=\frac{BS}{BC}=\frac{BP}{AB}$
$PS=\frac{BP}{AB}.AC=\frac{18}{25}.7=\frac{126}{25}$
$BS=\frac{BP}{AB}.BC=\frac{18}{25}.24=\frac{432}{25}$
$\begin{align}RS &= AB-AR-BS \\ &= 25-\frac{7}{25}-\frac{432}{25} \\ RS &= \frac{186}{25} \end{align}$
$\begin{align}[PQRS] &= \frac{1}{2}(QR+PS).RS \\ &= \frac{1}{2}\left( \frac{24}{25}+\frac{126}{25} \right).\frac{186}{25} \\ &= \frac{1}{2}\left( \frac{150}{25} \right).\frac{186}{25} \\ &= 3.\frac{186}{25} \\ [PQRS] &= \frac{558}{25} \end{align}$
$[PCQ]=\frac{1}{2}.CP.CQ=\frac{1}{2}.6.6=18$
$\begin{align}[PCQRS] &= [PQRS]+[PCQ] \\ &= \frac{558}{25}+18 \\ &= \frac{558+450}{25} \\ [PCQRS] &= \frac{1008}{25} \\ \frac{s}{t} &= \frac{1008}{25} \end{align}$
Diperoleh $s=1008$ dan $t=25$ maka:
$\begin{align}M &= s+10t \\ &= 1008+10\times 25 \\ M &= 1258 \end{align}$
Jadi, jumlah digit-digit penyusun M adalah 1 + 2 + 5 + 8 = 16
Jawaban: B
Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2023 No. 11
Dion memiliki sebuah kebun jeruk dan sebuah kebun apel di desa asalnya. Panen jeruk dan apel di kebun Dion terjadi setahun sekali. Selama ini, dia telah sukses meraup keuntungan dari hasil penjualan jeruk-jeruk dan apel-apel di kebunnya. Selain dijual, dia juga mengonsumsinya untuk memenuhi 4 sehat 5 sempurna. Suatu hari, Dion sedang duduk santai menikmati pemandangan kebun-kebunnya dari jauh. Karena gabut, dia mengambil secarik kertas dan sebuah bolpoin untuk memaksimumkan hasil penjualan jeruk dan apel dari kebunnya. Ternyata, dia mendapatkan fakta bahwa maksimum hasil penjualan (dalam jutaan rupiah) dari jeruk dan apel di kebunnya setiap tahun adalah 17, dengan syarat:
OSH - POSI 2023 No. 11
- Jumlahan hasil penjualan (dalam juta rupiah) dari jeruk dan tiga kali hasil penjualan (dalam jutaan rupiah) dari apel setiap tahunnya tidak lebih dari 13, dan
- Jumlahan tiga kali hasil penjualan (dalam juta rupiah) dari jeruk dan hasil penjualan (dalam jutaan rupiah) dari apel setiap tahunnya tidak lebih dari suatu bilangan.
A. 12
B. 7
C. 5
D. 11
Pembahasan: Lihat/Tutup
Misalkan $x$ dan $y$, berturut-turut menyatakan hasil penjualan (dalam jutaan rupiah) dari jeruk dan apel setiap tahunnya. Misalkan pula $a$ menyatakan bilangan yang menjadi batas pada syarat kedua.Perhatikan bahwa dari syarat pertama, didapat $x+3y\le 13$, dan dari syarat kedua, didapat $3x+y\le a$. Karenanya, didapat $4x+4y=4(x+y)\le 13+a$. Karena $x+y=17$, maka $4(x+y)\le 4.17=68$. Akibatnya, haruslah $68=13+a\to a=55$, sehingga K = 25.
Jadi, jawaban dari soal ini adalah 7.
Jawaban: B
Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2023 No. 12
Misalkan S = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Banyaknya fungsi $f:S\to S$ sehingga $n+f(n)$ merupakan bilangan genap adalah …OSH - POSI 2023 No. 12
A. 729
B. 0
C. 1
D. 900
Pembahasan: Lihat/Tutup
Langkah 1.Agar $n+f(n)$ genap, maka setiap bilangan ganjil di S harus dipetakan ke bilangan ganjil di S
{1, 3, 5} {1, 3, 5} maka banyak pemetaannya $3^3=27$
Langkah 2.
Agar $n+f(n)$ genap, maka setiap bilangan genap di S harus dipetakan ke bilangan genap di S
{0, 2, 4} {0, 2, 4} maka banyak pemetaannya $3^3=27$.
Banyak pemetaan seluruhnya = $27\times 27$ = 729.
Jawaban: A
Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2023 No. 13
Misalkan $\left| X \right|$ menyatakan banyaknya anggota himpunan X dan S = {1, 2, 3, …, 10}. Banyaknya pasangan himpunan (A,B) yang memenuhi $A\cup B=S$, $A\cap B=\varnothing $, $(\left| A \right|+\left| B \right|)\in A$, $(\left| A \right|-\left| B \right|)\in B$ adalah …OSH - POSI 2023 No. 13
A. 93
B. 97
C. 123
D. 100
Pembahasan: Lihat/Tutup
Misalkan (A,B) memenuhi kondisi soal.$A\cup B=S$ dan $A\cap B=\varnothing $ maka $\left| A \right|+\left| B \right|=\left| S \right|=10$.
$(\left| A \right|+\left| B \right|)\in A\to 10\in A$
Misal $k=\left| A \right|-\left| B \right|$ maka $k < 10$
Karena $\left| A \right|+\left| B \right|$ genap maka $\left| A \right|$ dan $\left| B \right|$ berparitas sama, sehingga $k$ genap. Jadi, $k$ = 2, 4, 6, atau 8.
- Jika $k=2$ maka $\left| A \right|=6$ dan $\left| B \right|=4$, karena $10\in A$ dan $2\in B$ maka lima anggota A yang lain berada pada himpunan {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Jadi, banyaknya kemungkinan pasangan (A,B) yang memenuhi soal di kasus ini adalah $\left( \begin{align} & 8 \\ & 5 \\ \end{align} \right)=\frac{8!}{5!.3!}=\frac{8.7.6.5!}{5!.3.2.1}=56$.
- Jika $k=4$, maka $\left| A \right|=7$ dan $\left| B \right|=3$ karena $10\in A$ dan $4\in B$, maka enam anggota A yang lain berada pada himpunan {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9}. Jadi, banyaknya kemungkinan pasangan (A,B) yang memenuhi soal di kasus ini adalah $\left( \begin{align} & 8 \\ & 6 \\ \end{align} \right)=\frac{8!}{6!.2!}=\frac{8.7.6!}{6!.2.1}=28$.
- Jika $k=6$, maka $\left| A \right|=8$ dan $\left| B \right|=2$ karena $10\in A$ dan $6\in B$, maka tujuh anggota A yang lain berada pada himpunan {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9}. Jadi, banyaknya kemungkinan pasangan (A,B) yang memenuhi soal di kasus ini adalah $\left( \begin{align} & 8 \\ & 7 \\ \end{align} \right)=\frac{8!}{7!.1!}=\frac{8.7!}{7!.1}=8$.
- Jika $k=8$, maka $\left| A \right|=9$ dan $\left| B \right|=1$ karena $10\in A$ dan $8\in B$, maka delapan anggota A yang lain berada pada himpunan {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9}. Jadi, banyaknya kemungkinan pasangan (A,B) yang memenuhi soal di kasus ini adalah $\left( \begin{align} & 8 \\ & 8 \\ \end{align} \right)=\frac{8!}{8!.0!}=1$.
Jawaban: A
Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2023 No. 14
Perhatikan gambar di bawah ini.OSH - POSI 2023 No. 14
Diketahui AE = 8, AB = 4, BC = 6. Misalkan L adalah garis dari titik A yang memotong sinar BC di titik F. Keliling $\Delta ACF$ dapat dinyatakan dalam bentuk $a(\sqrt{b}+c)+d\sqrt{e}$, dimana $a$, $b$, $c$, $d$, dan $e$ merupakan bilangan asli relatif prima dengan $b$ dan $e$ keduanya tidak habis dibagi oleh kuadrat prima apapun. Jika $a+b+c+d+e=M$ dan $\left[ ADE \right]-\left[ BCD \right]=N$ maka $M-N$ = …
A. 32
B. 28
C. 25
D. 21
Pembahasan: Lihat/Tutup
Pada $\Delta ABF$ berlaku teorema pythagoras:
$\begin{align}AF &= \sqrt{AB^2+BF^2} \\ &= \sqrt{4^2+8^2} \\ &= \sqrt{80} \\ AF &= 4\sqrt{5} \end{align}$
Pada $\Delta ABC$ berlaku teorema pythagoras:
$\begin{align}AC &= \sqrt{AB^2+BC^2} \\ &= \sqrt{4^2+6^2} \\ &= \sqrt{52} \\ AC &= 2\sqrt{13} \end{align}$
$\begin{align}Keliling\,\Delta ACF &= AC+CF+AF \\ &= 2\sqrt{13}+2+4\sqrt{5} \\ a(\sqrt{b}+c)+d\sqrt{e} &= 2(\sqrt{13}+1)+4\sqrt{5} \end{align}$
Diperoleh $a=2$, $b=13$, $c=1$, $d=4$, dan $e=5$
$\begin{align}M &= a+b+c+d+e \\ &= 2+13+1+4+5 \\ M &= 25 \end{align}$
$\frac{\begin{align}[ABE] &= [ABD]+[ADE] \\ [ABC] &= [ABD]+[BCD] \end{align}}{\begin{align}[ABE]-[ABC] &= [ADE]-[BCD] \\ \frac{1}{2}.AB.AE-\frac{1}{2}.AB.BC &= [ADE]-[BCD] \\ \frac{1}{2}.4.8-\frac{1}{2}.4.6 &= [ADE]-[BCD] \\ 4 &= [ADE]-[BCD] \\ 4 &= N \end{align}}-$
Jadi, $M-N=25-4=21$
Jawaban: D
Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2023 No. 15
Jumlahan semua bilangan asli $n$ sehingga $2^{n-1} < 5^{n-3} < 3^n$ adalah …OSH - POSI 2023 No. 15
A. 35
B. 41
C. 40
D. 29
Pembahasan: Lihat/Tutup
Langkah 1.$\begin{align}2^{n-1} & < 5^{n-3} \\ \frac{2^n}{2} & < \frac{5^n}{5^3} \\ \frac{125}{2} & < \frac{5^n}{2^n} \\ \frac{125}{2} & < \left( \frac{5}{2} \right)^n \end{align}$
Diperoleh $n\ge 5$
Langkah 2.
$\begin{align}5^{n-3} & < 3^n \\ \frac{5^n}{5^3} & < \frac{3^n}{1} \\ \frac{5^n}{125} & < \frac{3^n}{1} \\ \frac{1}{125} & < \frac{3^n}{5^n} \\ \frac{1}{125} & < \left( \frac{3}{5} \right)^n \end{align}$
Diperoleh $n\le 9$
Dari 1 dan 2 diperoleh:
$5\le n\le 9$
Jadi, jumlah semua bilangan asli n adalah 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35.
Jawaban: A
Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2023 No. 16
Diberikan barisan bilangan real $\{a_n\}$ dengan $a_0=203$ dan $a_1=2023$, serta $a_n=2a_{n-1}+a_{n-2}$ untuk setiap $n\ge 2$. Jika $B=\sum\limits_{i=1}^{\infty }{\frac{a_{i-1}}{a_{i}^{2}-a_{i-1}^{2}}}$ maka nilai dari $\frac{1}{B}$ adalah …OSH - POSI 2023 No. 16
A. 3460
B. 3061
C. 4044
D. 3640
Pembahasan: Lihat/Tutup
$a_n=2a_{n-1}+a_{n-2}$$\begin{align}a_{i+1} &= 2{{a}_{i+1-1}}+{{a}_{i+1-2}} \\ a_{i+1} &= 2a_i+a_{i-1} \\ a_{i+1}-a_i &= a_i+a_{i-1} \end{align}$
$\begin{align}B &= \sum\limits_{i=1}^{\infty }{\frac{a_{i-1}}{a_{i}^{2}-a_{i-1}^{2}}} \\ &= \sum\limits_{i=1}^{\infty }{\frac{1}{2}\left( \frac{1}{a_i-a_{i-1}}-\frac{1}{a_i+a_{i-1}} \right)} \\ &= \sum\limits_{i=1}^{\infty }{\frac{1}{2}\left( \frac{1}{a_i-a_{i-1}}-\frac{1}{a_{i+1}-a_i} \right)} \\ &= \frac{1}{2}\left( \frac{1}{a_1-a_0}-\frac{1}{{{a}_{2}}-a_1}+\frac{1}{{{a}_{2}}-a_1}-\frac{1}{a_3-{{a}_{2}}}+...+\frac{1}{{{a}_{\infty }}-{{a}_{\infty -1}}}-\frac{1}{a_{\infty +1}-{{a}_{\infty }}} \right) \\ &= \frac{1}{2}\left( \frac{1}{a_1-a_0}-\frac{1}{a_{\infty +1}-{{a}_{\infty }}} \right) \\ &= \frac{1}{2}\left( \frac{1}{a_1-a_0}-0 \right) \\ &= \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2023-203} \right) \\ B &= \frac{1}{3640} \\ \frac{1}{B} &= 3640 \end{align}$
Jawaban: D
Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2023 No. 17
Diberikan $\Delta ABC$ dengan AB = AC. Titik D pada AC dan E pada AB sehingga AE = ED = DB = BC. Jika $\frac{1}{\angle ABC}=\frac{m}{n}$, dimana $m$ dan $n$ bilangan asli relatif prima, maka $m+n$ = …OSH - POSI 2023 No. 17
A. 547
B. 346
C. 641
D. 413
Pembahasan: Lihat/Tutup
AB = AC maka $\angle ABC=\angle ACB=x$DB = BC maka $\angle BCD=\angle BDC=\angle ACB=x$
$\begin{align}\angle CBD &= 180^\circ -\angle BCD-\angle BDC \\ &= 180^\circ -x-x \\ \angle CBD &= 180^\circ -2x \end{align}$
$\begin{align}\angle DBE &= \angle ABC-\angle CBD \\ &= x-(180^\circ -2x) \\ \angle DBE &= 3x-180^\circ \end{align}$
ED = DB maka $\angle BED=\angle DBE=3x-180^\circ $
$\begin{align}\angle AED &= 180^\circ -\angle BED \\ &= 180^\circ -(3x-180^\circ ) \\ \angle AED &= 360^\circ -3x \end{align}$
$\begin{align}\angle BAC &= 180^\circ -\angle ABC-\angle ACB \\ &= 180^\circ -x-x \\ \angle BAC &= 180^\circ -2x \end{align}$
AE = ED maka $\angle ADE=\angle BAC=180^\circ -2x$
Perhatikan segitiga ADE:
$\begin{align}\angle ADE+\angle DEA+\angle DAE &= 180^\circ \\ 180^\circ -2x+180^\circ -2x+360^\circ -3x &= 180^\circ \\ 540^\circ &= 7x \\ \left( \frac{540}{7} \right)^\circ &= x \end{align}$
$\begin{align}\frac{1}{\angle ABC} &= \frac{m}{n} \\ \frac{1}{x} &= \frac{m}{n} \\ \frac{1}{540/7} &= \frac{m}{n} \\ \frac{7}{540} &= \frac{m}{n} \end{align}$
Jadi, $m+n=540+7=547$
Jawaban: A
Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2023 18
Diberikan 4 buah persegi seperti gambar berikut.OSH - POSI 2023 18
Diketahui panjang sisi A, B, dan C berturut-turut adalah 2, 3, dan 4. Jika luas persegi D adalah M, maka jumlahan digit-digit dari M adalah …
A. 9
B. 12
C. 27
D. 6
Pembahasan: Lihat/Tutup
ST = 1, TU = 3, dan PQ = 2 + 3 + 4 = 9
$\Delta PQR\tilde{\ }\Delta STU$ maka:
$\frac{QR}{ST}=\frac{PQ}{TU}\to QR=\frac{PQ}{TU}.ST=\frac{9}{3}.1=3$
Pada $\Delta PQR$ berlaku teorema pythagoras:
$\begin{align}PR^2 &= QR^2+PQ^2 \\ &= 3^2+9^2 \\ PR^2 &= 90 \end{align}$
Luas persegi D adalah $PR^2=90$, maka $M=90$.
Jadi, jumlah digit-digit dari M adalah 9 + 0 = 9.
Jawaban: A
Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2023 19
Diberikan segitiga lancip ABC dengan lingkaran luar L. Misalkan titik D dan E pada L sehingga $AD\bot BC$ dan $BE\bot AC$. Diketahui AD = BE.OSH - POSI 2023 19
Jika besar sudut (dalam derajat) dari $\angle ACB=k$, maka jumlahan digit-digit dari $k$ adalah …
A. 12
B. 9
C. 6
D. 3
Pembahasan: Lihat/Tutup
Misalkan $AD\bot BC$ di titik F maka BF = FC, akibatnya AB = AC.
Misalkan $BE\bot AC$ di titik G, maka CG = GA, akibatnya AB = BC
Karena AB = AC = BC maka $\Delta ABC$ segitiga sama sisi, diperoleh $\angle ACB=k=60^\circ $.
Jadi, jumlah digit-digit dari $k$ adalah 6 + 0 = 6.
Jawaban: C
Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2023 No. 20
Misalkan $K_n$ menyatakan KPK dari bilangan-bilangan asli 1, 2, 3, …, $n$. Sebagai contoh, $K_{10}=2520$ dan $K_{18}=12252240$. Sisa pembagian dari $K_{19}$ oleh 10000 adalah $s$. Jumlahan digit-digit dari $s$ adalah …OSH - POSI 2023 No. 20
A. 27
B. 20
C. 18
D. 13
Pembahasan: Lihat/Tutup
Karena 19 merupakan bilanan prima, maka:$K_{19}=19\times K_{18}=19\times 12252240$
$\begin{align}K_{19} & \equiv 19\times 12252240(\bmod 10000) \\ & \equiv 19\times 2240(\bmod 10000) \\ & \equiv 42560(\bmod 10000) \\ & \equiv 2560(\bmod 10000) \end{align}$
Diperoleh $s=2560$
Jadi, jumlah digit-digit dari $s$ adalah 2 + 5 + 6 + 0 = 13.
Jawaban: D
Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2023 No. 21
Diberikan bilangan real $x$ dan $y$ dengan $xy=1$ dan $x$, $y\ne -1$. Jika nilai minimum dari $\left( \frac{2+x}{1+x} \right)^2+\left( \frac{2+y}{1+y} \right)^2$ adalah $\frac{m}{n}$, dimana $m$ dan $n$ merupakan bilangan asli relatif prima, maka $m+n$ = …OSH - POSI 2023 No. 21
A. 11
B. 19
C. 8
D. 23
Pembahasan: Lihat/Tutup
Jelas bahwa pertidaksamaan $(y-1)^2\ge 0$ selalu benar untuk semua bilangan real $y$.Perhatikan bahwa,
$\begin{align}(y-1)^2 &\ge 0 \\ y^2-2y+1 &\ge 0 \\ 10y^2+16y+10 &\ge 9y^2+18y+9 \\ 2(5y^2+8y+5) &\ge 9(y^2+2y+1) \\ \frac{5y^2+8y+5}{y^2+2y+1} &\ge \frac{9}{2} \end{align}$
Berikutnya,
$\begin{align}\frac{5y^2+8y+5}{y^2+2y+1} &\ge \frac{9}{2} \\ \frac{(4y^2+4y+1)+(y^2+4y+4)}{y^2+2y+1} &\ge \frac{9}{2} \\ \frac{(2y+1)^2+(y+2)^2}{(y+1)^2} &\ge \frac{9}{2} \\ \frac{(2y+1)^2}{(y+1)^2}+\frac{(y+2)^2}{(y+1)^2} &\ge \frac{9}{2} \\ \left( \frac{2y+1}{y+1} \right)^2+\left( \frac{y+2}{y+1} \right)^2 &\ge \frac{9}{2} \end{align}$
Substitusi $xy=1$, maka:
$\begin{align}\left( \frac{2y+1}{y+1} \right)^2+\left( \frac{y+2}{y+1} \right)^2 &\ge \frac{9}{2} \\ \left( \frac{2y+xy}{y+xy} \right)^2+\left( \frac{2+y}{1+y} \right)^2 &\ge \frac{9}{2} \\ \left( \frac{y(2+x)}{y(1+x)} \right)^2+\left( \frac{2+y}{1+y} \right)^2 &\ge \frac{9}{2} \\ \left( \frac{2+x}{1+x} \right)^2+\left( \frac{2+y}{1+y} \right)^2 &\ge \frac{9}{2} \\ \end{align}$
Nilai minimum ${{\left( \frac{2+x}{1+x} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2+y}{1+y} \right)}^{2}}\ge \frac{9}{2}$ adalah $\frac{9}{2}=\frac{m}{n}$.
Jadi, $m+n=9+2=11$
Jawaban: A
Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2023 No. 22
Misalkan $p$ adalah bilangan bulat positif terbesar sehingga terdapat dengan tunggal bilangan bulat $q$ yang memenuhi $\frac{7}{17} < \frac{p}{p+q} < \frac{5}{12}$. Nilai $p+q$ yang mungkin adalah …OSH - POSI 2023 No. 22
A. 113
B. 202
C. 98
D. 169
Pembahasan: Lihat/Tutup
Agar terjamin ada bilangan tunggal $q$ sehingga$\frac{7}{17} < \frac{p}{p+q} < \frac{5}{12}$ maka haruslah
$\frac{p}{p+q+1}\le \frac{7}{17} < \frac{p}{p+q} < \frac{5}{12}\le \frac{p}{p+q-1}$
$\begin{align}\frac{p}{p+q+1} &\le \frac{7}{17} \\ 17p &\le 7p+7q+7 \\ 10p &\le 7q+7 \\ p &\le \frac{7}{10}(q+1)\,....\,(1) \end{align}$
$\begin{align}\frac{5}{12} &\le \frac{p}{p+q-1} \\ 5p+5q-5 &\le 12p \\ -7p &\le -5q+5 \\ p &\ge \frac{5}{7}(q-1)\,....\,(2) \end{align}$
Dari (1) dan (2) diperoleh:
$\frac{5}{7}(q-1)\le p\le \frac{7}{10}(q+1)$, akibatnya $q=99$
$\frac{5}{7}(99-1)\le p\le \frac{7}{10}(99+1)$
$\frac{5}{7}.98\le p\le \frac{7}{10}.100$
$70\le p\le 70$ maka $p=70$
$\begin{align}\frac{p}{p+q+1} &\le \frac{7}{17} \\ \frac{70}{70+q+1} &\le \frac{7}{17} \\ \frac{70}{71+q} &\le \frac{7}{17} \\ 1190 &\le 497+7q \\ 693 &\le 7q \\ 99 &\le q \end{align}$
Maka $q=99$
Nilai, $p+q=70+99=169$
Jawaban: D
Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2023 No. 23
Putra sedang bermain game menggunakan sistem koordinat kartesius bersama Putri. Dibuat aturan sebagai berikut: untuk setiap titik $A(x,y)$ dan $B(m,n)$ di bidang koordinat kartesius, jarak dari A ke B dinotasikan AB, didefinisikan sebagai $AB=\left| x-m \right|+\left| y-n \right|$. Diberikan titik-titik $A(5,7)$ dan $B(7,-3)$. Putra akan kalah jika Putri berhasil menemukan titik C di kuadran II atau III sehingga $\Delta ABC$ merupakan segitiga sama sisi. Jika $C(p,q)$ dengan $P$ dan $q$ merupakan bilangan bulat dan $-3\le q < 0$, maka nilai $\left| p-q \right|$ = …OSH - POSI 2023 No. 23
A. 5
B. 4
C. 2
D. 7
Pembahasan: Lihat/Tutup
$A(x,y)$ dan $B(m,n)$ maka $AB=\left| x-m \right|+\left| y-n \right|$$A(5,7)$ dan $B(7,-3)$ maka $AB=\left| 5-7 \right|+\left| 7-(-3) \right|=12$
$\Delta ABC$ sama sisi maka AB = BC = AC = 12
Karena $C(p,q)$ dan $-3\le q < 0$maka:
$\begin{align}AC &= BC \\ \left| 5-p \right|+\left| 7-q \right| &= \left| 7-p \right|+\left| -3-q \right| \\ 5-p+7-q &= 7-p+3+q \\ -2q &= -2 \\ q &= 1 \end{align}$
$\begin{align}\left| 5-p \right|+\left| 7-q \right| &= 12 \\ \left| 5-p \right|+\left| 7-1 \right| &= 12 \\ \left| 5-p \right| &= 6 \\ p &= -1 \end{align}$
Jadi, nilai $\left| p-q \right|=\left| -1-1 \right|=2$
Jawaban: C
Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2023 No. 24
Banyaknya pasangan bilangan bulat $(a,b)$ sehingga $FPB(a,b)+KPK(a,b)=a+b+10$ adalah …OSH - POSI 2023 No. 24
A. 11
B. 9
C. 6
D. 4
Pembahasan: Lihat/Tutup
Misal $FPB(a,b)=k$ maka $a=km$ dan $b=kn$ dimana $FPB(m,n)=1$.$\begin{align}FPB(a,b)+KPK(a,b) &= a+b+10 \\ FPB(a,b)+\frac{ab}{FPB(a,b)} &= a+b+10 \\ k+\frac{ab}{k} &= a+b+10 \\ k^2+ab &= ka+kb+10k \\ ab-ka-kb+k^2 &= 10k \\ (a-k)(b-k) &= 10k \\ (km-k)(kn-k) &= 10k \\ k(m-1).k(n-1) &= 10k \\ k(m-1)(n-1) &= 10 \end{align}$
- Untuk $k=1$ diperoleh $(m-1)(n-1)=10$ sehingga pasangan $(m,n)$ = (11,2), (6,3), (3,6), (2,11).
- Untuk $k=2$ diperoleh $(m-1)(n-1)=2$ sehingga pasangan $(m,n)$ = (6,2), (2,6).
- Untuk $k=5$ diperoleh $(m-1)(n-1)=5$ sehingga pasangan $(m,n)$ = (3,2), (2,3).
- Untuk $k=10$ diperoleh $(m-1)(n-1)=10$ sehingga pasangan $(m,n)$ = (2,2).
Jadi, banyaknya pasangan bilangan bulat $(a,b)$ yang memenuhi sama dengan banyaknya pasangan $(m,n)$ yang memenui yaitu ada 4.
Jawaban: D
Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2023 No. 25
Diberikan suatu kunci berupa kode yang merupakan bilangan asli 5 digit $\overline{pqrst}$ dengan semua digitnya berbeda. Kode ini unik sebab terurut naik. Diketahui digit $t$ merupakan bilangan prima terbesar. Jika B dan M berturut-turut menyatakan banyaknya kode yang mungkin dapat disusun dan kode terbesar yan mungkin terbentu, maka jumlahan digit-digit dari (B+M) adalah …OSH - POSI 2023 No. 25
A. 23
B. 19
C. 20
D. 16
Pembahasan: Lihat/Tutup
- Jika $t=7$ maka nilai $p$, $q$, $r$, dan $s$ diambil dari {1,2,3,4,5,6}. Total ada $\left( \begin{align} & 6 \\ & 4 \\ \end{align} \right)=\frac{6!}{4!.2!}=\frac{6.5.4!}{4!.2.1}=15$ cara.
- Jika $t=5$ maka nilai $p$, $q$, $r$, dan $s$ diambil dari {1,2,3,4}. Total ada $\left( \begin{align} & 4 \\ & 4 \\ \end{align} \right)=\frac{4!}{4!.0!}=1$ cara.
- Jika $t=3$ atau $t=2$ maka tidak ada nilai $p$, $q$, $r$, dan $s$ yang dapat dipilih karena banyak angka yang tersisa kurang dari 4.
Sedangkan kode unik terbesar yang dapat disusun adalah 34567, sehingga M = 34567.
B + M = 16 + 34567 = 34583.
Jadi, jumlah digit-digit dari (B+M) adalah 3 + 4 + 5 + 8 + 3 = 23.
Jawaban: A
Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2023 No. 26
Diberikan bilangan-bilangan asli $p$, $q$, $r$, $s$, $t$ dengan $p+q+r+s+t=2023$. Misalkan M adalah nilai maksimum dari $p+q$, $q+r$, $r+s$, dan $s+t$. Jumlahan digit-digit dari M terkecil yang mungkin adalah …OSH - POSI 2023 No. 26
A. 18
B. 27
C. 36
D. 12
Pembahasan: Lihat/Tutup
Dari soal, jelas bahwa M merupakan bilangan asli.$p+q+r+s+t=2023$
$p+q\le M$, $s+t\le M$, dan $r < q+r\le M$, maka:
$\frac{\begin{align}p+q & \le M \\ r & < M \\ s+t & \le M \end{align}}{\begin{align}p+q+r+s+t & < 3M \\ 2023 & < 3M \\ \frac{2023}{3} & < M \\ 674,33 & < M \end{align}}+$
Karena $M > 674,33$ dan M bilangan asli maka M terkecil yang mungkin adalah 675.
Jadi, jumlah digit-digit dari M adalah 6 + 7 + 5 = 18.
Jawaban: A
Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2023 No. 27
Diberikan sepasang dadu aneh, dimana peluang muncul angka 1,2,3,4,5, dan 6 pada setiap dadu memiliki rasio 2:3:5:7:11:13. Jika kedua dadu ini dilempar sekali dan peluang mata dadu yang muncul berjumlah 7 adalah pecahan sederhana $\frac{p}{q}$, dimana $p$ dan $q$ merupakan bilangan asli, maka $p+q=M$. Jumlahan digit-digit dari M adalah …OSH - POSI 2023 No. 27
A. 24
B. 27
C. 13
D. 19
Pembahasan: Lihat/Tutup
Peluang muncul angka 1 pada dadu pertama dan angka 6 pada dadu kedua adalah $\frac{2}{41}.\frac{13}{41}=\frac{26}{1681}$.Peluang muncul angka 2 pada dadu pertama dan angka 5 pada dadu kedua adalah $\frac{3}{41}.\frac{11}{41}=\frac{33}{1681}$.
Peluang muncul angka 3 pada dadu pertama dan angka 4 pada dadu kedua adalah $\frac{5}{41}.\frac{7}{41}=\frac{35}{1681}$.
Peluang yang dicari adalah $2.\left( \frac{26}{1681}+\frac{33}{1681}+\frac{35}{1681} \right)=\frac{188}{1681}=\frac{p}{q}$.
Diperoleh $p=188$ dan $q=1681$
$M=p+q=188+1681=1869$
Jadi, jumlah digit-digit dari M adalah 1 + 8 + 6 + 9 = 24.
Jawaban: A
Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2023 No. 28
Diketahui terdapat $n$ nilai ujian dengan rata-rata 71. Jika ada tambahan sebanyak $m$ nilai yang masing-masing 88, maka rata-ratanya menjadi lebih dari 76. Jika $\frac{m}{n} > \frac{s}{t}$ dengan $s$ dan $t$ merupakan bilangan asli relatif prima, maka $s+t$ = …OSH - POSI 2023 No. 28
A. 10
B. 21
C. 17
D. 14
Pembahasan: Lihat/Tutup
Dari soal,$\begin{align}\frac{71n+88m}{m+n} & > 76 \\ 71n+88m & > 76m+76n \\ 12m & > 5n \\ \frac{m}{n} & > \frac{5}{12} \end{align}$
Karena $\frac{m}{n} > \frac{s}{t}$ diperoleh $s=5$ dan $t=12$
Jadi, $s+t=5+12=17$.
Jawaban: C
Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2023 No. 29
Diberikan jajaran genjang ABCD sebagai berikut.OSH - POSI 2023 No. 29
Diketahui DG = 6 dan panjang EG = 4. Misalkan GE diperpanjang sehingga memotong perpanjangan AB di F. Jika $\frac{EF}{GF}=\frac{p}{q}$, dimana $p$ dan $q$ bilangan asli relatif prima, maka $p+q$ = ….
A. 8
B. 15
C. 14
D. 21
Pembahasan: Lihat/Tutup
$CE\parallel AD$ maka $\Delta ADG\tilde{\ }\Delta CEG$ maka $\frac{AG}{CG}=\frac{DG}{GE}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$.
$AF\parallel CD$ maka $\Delta AGF\tilde{\ }\Delta CGD$ maka $\frac{GF}{DG}=\frac{AG}{CG}\to GF=\frac{AG}{CG}.DG=\frac{3}{2}.6=9$.
$\begin{align}GE+EF &= GF \\ 4+EF &= 9 \\ EF &= 5 \end{align}$
$\frac{EF}{GF}=\frac{5}{9}=\frac{p}{q}$
Diperoleh $p=5$ dan $q=9$
Jadi,$p+q=5+9=14$
Jawaban: C
Soal Olimpiade Matematika SMP
OSH - POSI 2023 No. 30
Banyaknya cara untuk menyusun bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 pada sebuah lingkaran sehingga tidak ada dua bilangan yang berdekatan dengan faktor positif lebih dari 1 adalah …OSH - POSI 2023 No. 30
A. 34
B. 64
C. 49
D. 72
Pembahasan: Lihat/Tutup
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8Bilangan genap tidak boleh berdekatan, dan 3 tidak boleh berdekatan dengan 6.
Banyaknya cara menempatkan empat bilangan sisa pada lingkaran dengan syarat ini adalah:
$2.(4-1)!=2.3!$
Tersisa 3 bilangan, banyak cara menempatkan 3 bilangan ini ada 3!.
Total cara adalah 3!.2!.3! = 72
Jawaban: D
Post a Comment for "Pembahasan Soal Olimpiade Matematika SMP - OSH 2023 POSI"
Pertanyaan melalui kolom komentar akan direspon secepatnya. Jika tidak direspon, berarti pertanyaan serupa telah ada.