Fungsi Sepenggal (Piecewise Function)

A. Definisi Fungsi Piecewise

Fungsi piecewise (fungsi sepenggal) merupakan fungsi yang memiliki lebih dari satu rumus atau lebih dari satu sub-fungsi. Masing-masing sub-fungsi yang berlaku untuk interval tertentu domain fungsi utama, karena perbedaan interval nilai variabelnya.
Fungsi piecewise biasanya dinotasikan dengan adanya kurung kurawal buka yang ukurannya besar tanpa diakhiri oleh kurung tutup.

Contoh 1.
Diketahui $f(x)=\left\{ \begin{matrix} 2x+1 & \text{jika}\,x\ge 2 \\ x-4 & \text{jika}\,x < 2 \\ \end{matrix} \right.$
Nilai dari $f(3)+f(0)$ adalah ….
Penyelesaian:
Kita akan menentukan nilai $f(3)$ dan $f(0)$ satu per satu.
Karena $3\ge 2$, maka digunakan rumus:
$f(x)=2x+1$
$f(3)=2.3+1=7$
Karena $0 < 2$, maka digunakan rumus:
$f(x)=x-4$
$f(0)=0-4=-4$
Jadi, nilai dari $f(3)+f(0)=7+(-4)=3$.

Contoh 2.
Diketahui $h(x)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 5x+2 & \text{jika}\,x\le -3 \\ x^2-4 & \text{jika}\,-3 < x\le 2 \\ 7x & \text{jika}\,x>2 \\ \end{array} \right.$
Nilai dari $h(3).h(-3)+h(2)$ adalah …
Penyelesaian:
$3>2$ maka:
$\begin{align}h(x) &= 7x \\ h(3) &= 7.3 \\ h(3) &= 21 \end{align}$
$-3\le -3$ maka
$\begin{align}h(x) &= 5x+2 \\ h(-3) &= 5(-3)+2 \\ h(-3) &= -13 \end{align}$
$2\le 2$ maka:
$\begin{align}h(x) &= x^2-4 \\ h(2) &= 2^2-4 \\ h(2) &= 0 \end{align}$
Jadi, $h(3).h(2)+h(-3)=21\times 0+(-13)=-13$

Contoh 3.
Diketahui $f(x)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2x+7 & \text{jika}\,x\ge 2 \\ -3x+8 & \text{jika}\,-1\le x < 2 \\ 5x-1 & \text{jika}\,x < -1 \\ \end{array} \right.$ dan $g(x)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 5x-8 & \text{jika}\,x\le -4 \\ 4x+1 & \text{jika}\,x > -4 \\ \end{array} \right.$. Hasil dari $g(x)-f(x)$ untuk $0\le x\le 1$ adalah ….
Penyelesaian:
Untuk $0\le x\le 1$, berlaku $g(x)=4x+1$ dan $f(x)=-3x+8$ maka:
$g(x)-f(x)=4x+1-(-3x+8)$
$g(x)-f(x)=7x-7$

Contoh 4.
Dalam sebuah sistem parkir mall, biaya parkir $f(x)$ ditentukan berdasarkan lama parkir ($x$ jam) dengan fungsi $f(x)$ dalam rupiah.
Diketahui bahwa:

• Biaya parkir untuk satu jam pertama sebesar Rp5.000,00.
• Biaya parkir untuk jam kedua sampai jam kelima adalah Rp2.000,00 per jam.
• Biaya parkir untuk jam keenam atau lebih dikenakan biaya tambahan Rp3.000,00 per jam.
• Hitungan waktu dibulatkan ke atas dalam satuan jam.
• Dikenakan denda Rp50.000,00 untuk yang kehilangan tiket.

Fungsi biaya parkir pada sistem parkir mall adalah ….
Penyelesaian:
$f(x)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 5.000 & \text{untuk}\,x\le 1 \\ 5.000+2.000(x-1) & \text{untuk}\,1 < x\le 5 \\ 5.000+2.000(4)+3.000(x-5) & \text{untuk}\,x>5 \\ \end{array} \right.$
Disederhakan menjadi:
$f(x)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 5.000 & \text{untuk}\,x\le 1 \\ 2.000x-3.000 & \text{untuk}\,1 < x\le 5 \\ 3.000x-2.000 & \text{untuk}\,x>5 \\ \end{array} \right.$

B. Kekontinuan Fungsi Piecewise

Kekontinuan fungsi piecewise ditentukan oleh titik batasnya yang memisahkan dua rumus fungsi. Jika hasil substitusi nilai yang menjadi titik atas pada dua rumus fungsi tersebut sama, maka fungsi piecewise tersebut kontinu di titik batas itu. Perhatikan gambar berikut.


Contoh 5.
Periksa apakah fungsi piecewise berikut kontinu atau tidak.
$f(x)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} -3x^2+4x+1 & \text{jika}\,x\ge 2 \\ 2x-7 & \text{jika}\,x < 2 \\ \end{array} \right.$
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa titik batas fungsi piecewise itu adalah $x=2$. Substitusikan nilai $x=2$ pada masing-masing rumus fungsi piecewise tersebut.
$f(x)=-3x^2+4x+1$ maka $f(2^+)=-3.2^2+4.2+1=-3$
$f(x)=2x-7$ maka $f(2^-)=2.2-7=-3$
Ternyata hasilnya sama sehingga disimpulkan bahwa fungsi piecewise tersebut kontinu.

Contoh 6.
Periksa apakah fungsi piecewise berikut kontinu atau tidak.
$g(x)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2x+7 & \text{jika}\,x>7 \\ 3x+8 & \text{jika}\,5 < x\le 7 \\ 5x-2 & \text{jika}\,x\le 5 \\ \end{array} \right.$
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa titik batas fungsi piecewise itu ada dua, yaitu $x=5$ dan $x=7$. Substitusi nilai-nilai $x$ tersebut pada masing-masing rumus fungsi piecewise tersebut. Jika salah satu nilai $x$ membuat hasilnya berbeda, maka kita dapat langsung simpulkan bahwa fungsi tersebut tidak kontinu (diskontinu).
Pertama, periksa untuk titik batas $x=5$
$g(x)=3x+8$ maka $g({{5}^{+}})=3.5+8=23$
$g(x)=5x-2$ maka $g({{5}^{-}})=5.5-2=23$
Ternyata hasilnya sama sehingga disimpulkan bahwa fungsi piecewise tersebut kontinu di $x=5$.
Sekarang, kita lanjutkan untuk titik batas $x=7$
$g(x)=2x+7$ maka $g({{7}^{+}})=2.7+7=21$
$g(x)=3x+8$ maka $g({{7}^{-}})=3.7+8=29$
Ternyata hasilnya beda sehingga disimpulkan bahwa fungsi piecewise tersebut tidak kontinu di $x=7$.
Kesimpulan, tetap kita katakan bahwa fungsi piecewise tersebut tidak kontinu (diskontinu).

Share :