Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2017 Kode 824 No.11-20 - CATATAN MATEMATIKA

Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2017 Kode 824 No.11-20

Hari ini kita belajar bersama tentang Soal dan Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2017 No.11-20. Semoga apa yang CM (Catatan Matematika) bagikan ini bermanfaat bagi kita semua.

Matematika Dasar UM-UGM 2017 No. 11
Titik R merupakan titik puncak parabola yang melalui titik P(0,-6), Q(1,0), dan S(x,y). Jika |QO| : |OS| = 1 : 3 maka ordinat R adalah …
Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2017 Kode 824
A. 6   B. 4   C. 3   D. 2   E. 1
Pembahasan:
Q(1,0), S(x,y) dan |QO| : |OS| = 1 : 3 maka titik S(3,0)
Fungsi kuadrat (parabola) yang memotong sumbu X di titik Q(1,0) dan S(3,0) adalah:
$y=a(x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})$
$y=a(x-1)(x-3)$
Melalui titik P(0,-6) maka:
$-6=a(0-1)(0-3)$
$-6=3a\Leftrightarrow a=-2$
$y=a(x-1)(x-3)$
$y=-2(x-1)(x-3)$
Puncak: $x=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}=\frac{1+3}{2}=2$ 
Ordinat puncak: 
$y=-2(x-1)(x-3)$
$y=-2(2-1)(2-3)=2$
Kunci: D

Matematika Dasar UM-UGM 2017 No. 12
Diketahui $p$ dan $q$ akar-akar persamaan ${{x}^{2}}+3x+k=0$ dengan $p < q$. Jika $\frac{q+1}{p+1}-\frac{p-1}{q-1}=-\frac{3}{2}$ maka jumlah semua nilai $k$ yang mungkin adalah …
A. -4   B. -2   C. 1   D. 2   E. 4
Pembahasan: 
${{x}^{2}}+3x+k=0$ akar-akar p dan q, maka:
$p+q=-3$
$pq=k$
$p < q$
$q-p > 0$
$q-p=\frac{\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{a}$ 
$q-p=\frac{\sqrt{{{3}^{2}}-4.1.k}}{1}$
$q-p=\sqrt{9-4k}$
$\frac{q+1}{p+1}-\frac{p-1}{q-1}=-\frac{3}{2}$
$\frac{(q-1)(q+1)-(p+1)(p-1)}{(p+1)(q-1)}=-\frac{3}{2}$
$\frac{({{q}^{2}}-1)-({{p}^{2}}-1)}{pq-p+q-1}=-\frac{3}{2}$
$\frac{{{q}^{2}}-{{p}^{2}}}{pq+q-p-1}=-\frac{3}{2}$
$\frac{(q+p)(q-p)}{pq+q-p-1}=-\frac{3}{2}$
$\frac{-3\sqrt{9-4k}}{k+\sqrt{9-4k}-1}=-\frac{3}{2}$
$2\sqrt{9-4k}=k+\sqrt{9-4k}-1$
$\sqrt{9-4k}=k-1$
$9-4k={{(k-1)}^{2}}$
$9-4k={{k}^{2}}-2k+1$
${{k}^{2}}+2k-8=0$
Jumlah semua nilai k yang mungkin:
${{k}_{1}}+{{k}_{2}}=\frac{-2}{1}=-2$
Kunci: B

Matematika Dasar UM-UGM 2017 No. 13
Jika $x$ dan $y$ memenuhi $\frac{y-2x-1}{2x-y+3}=1$ dan $\frac{{{y}^{2}}-2x-2}{2{{x}^{2}}+y+1}=2$ maka nilai $x+y$ adalah …
A. 2   B. 4   C. 6   D. 8   E. 10
Pembahasan:
$\frac{y-2x-1}{2x-y+3}=1$
$y-2x-1=2x-y+3$
$-4x+2y=4$
$-2x+y=2\Leftrightarrow y=2x+2$
$\frac{{{y}^{2}}-2x-2}{2{{x}^{2}}+y+1}=2$
${{y}^{2}}-2x-2=4{{x}^{2}}+2y+2$
${{y}^{2}}-2y-4{{x}^{2}}-2x-4=0$
${{(2x+2)}^{2}}-2(2x+2)-4{{x}^{2}}-2x-4=0$
$4{{x}^{2}}+8x+4-4x-4-4{{x}^{2}}-2x-4=0$
$2x-4=0\Leftrightarrow x=2$
$y=2x+2=2.2+2=6$
Kunci: C

Matematika Dasar UM-UGM 2017 No. 14
Jika $\frac{3-3\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{6}}=b$ maka ${}^{b}\log 9$ = …
A. 1   B. 2   C. 3   D. 4   E. 5
Pembahasan:
$b=\frac{3-3\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{6}}\times \frac{\sqrt{3}+\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{6}}$
$b=\frac{3\sqrt{3}+3\sqrt{6}-3\sqrt{6}-3\sqrt{12}}{3-6}$
$b=\frac{3\sqrt{3}-3.2\sqrt{3}}{-3}$
$b=\frac{-3\sqrt{3}}{-3}$
$b=\sqrt{3}$
${}^{b}\log 9={}^{\sqrt{3}}\log 9$
$={}^{{{3}^{\frac{1}{2}}}}\log {{3}^{2}}=\frac{2}{1/2}=4$
Kunci: D

Matematika Dasar UM-UGM 2017 No. 15
Jika $u={{2}^{x}}$ dan ${}^{u}\log ({{2}^{2x}}-{{2}^{x-2}})=3$ maka ${{3}^{x}}$ = …
A. 3   B. 1   C. 1/3   D. 1/9   E. 1/27
Pembahasan:
${}^{u}\log ({{2}^{2x}}-{{2}^{x-2}})=3$
${}^{{{2}^{x}}}\log ({{2}^{2x}}-{{2}^{x-2}})=3$
${{2}^{2x}}-{{2}^{x-2}}={{({{2}^{x}})}^{3}}$
${{({{2}^{x}})}^{2}}-\frac{{{2}^{x}}}{{{2}^{2}}}={{({{2}^{x}})}^{3}}$
$4.{{({{2}^{x}})}^{2}}-{{2}^{x}}=4.{{({{2}^{x}})}^{3}}$
$4.{{({{2}^{x}})}^{3}}-4.{{({{2}^{x}})}^{2}}+{{2}^{x}}=0$
${{2}^{x}}[4.{{({{2}^{x}})}^{2}}-{{4.2}^{x}}+1]=0$
$4.{{({{2}^{x}})}^{2}}-{{4.2}^{x}}+1=0$
$({{2.2}^{x}}-1)({{2.2}^{x}}-1)=0$
${{2.2}^{x}}-1=0$
${{2}^{x}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow {{2}^{x}}={{2}^{-1}}\Leftrightarrow x=-1$
${{3}^{x}}={{3}^{-1}}=\frac{1}{3}$
Kunci: C

Matematika Dasar UM-UGM 2017 No. 16
Sekumpulan bilangan mempunyai rata-rata 15 dengan jangkauan 6. Jika setiap bilangan tersebut dikurangi $a$ kemudian hasilnya dibagi $b$ akan menghasilkan bilangan baru dengan rata-rata 7 dan jangkauannya 3. Nilai $a$ dan $b$ berturut-turut adalah …
A. 3 dan 2
B. 2 dan 3
C. 1 dan 2
D. 2 dan 1
E. 3 dan 1
Pembahasan:
${{\bar{x}}_{akhir}}=\frac{\left( {{{\bar{x}}}_{awal}}-a \right)}{b}$
$7=\frac{\left( 15-a \right)}{b}$
$7b=15-a\Leftrightarrow a=15-7b$
${{J}_{akhir}}=\frac{{{J}_{awal}}}{b}$
$3=\frac{6}{b}\Leftrightarrow b=2$
$a=15-7b=15-7.2=1$
Jadi, nilai $a$ dan $b$ berturut-turut adalah 1 dan 2.
Kunci: C

Matematika Dasar UM-UGM 2017 No. 17
$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x+1}{x-2\sqrt{x}+1}$ = …
A. 20   B. 16   C. 8   D. 4   E. 2
Pembahasan:
Dengan Dalil L’Hopital
$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x+1}{x-2\sqrt{x}+1}$
$=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-1)(x-1)(x+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-1)}$
$=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1).(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)(x+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-1)}$
$=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+1)(x+1)$
$=(\sqrt{1}+1)(\sqrt{1}+1)(1+1)=8$
Kunci: C

Matematika Dasar UM-UGM 2017 No. 18
Jika $f(x+1)=6{{x}^{2}}+7x-7$, $g(x)=ax+2$, dan $(g\circ f)(1)=-5$ maka nilai $f(a-1)$ = …
A. -8   B. -7   C. -6   D. -5   E. 6
Pembahasan:
Jika $x=0$, maka:
$f(x+1)=6{{x}^{2}}+7x-7$
$f(0+1)={{6.0}^{2}}+7.0-7$
$f(1)=-7$
$(g\circ f)(1)=-5$
$g(f(1))=-5$
$g(-7)=-5$
$-7a+2=-5$
$-7a=-7\Leftrightarrow a=1$
$f(a-1)=f(1-1)=f(0)$ = …?
Jika x = -1 maka:
$f(x+1)=6{{x}^{2}}+7x-7$
$f(-1+1)=6.{{(-1)}^{2}}+7.(-1)-7$
$f(0)=6-7-7=-8$
Kunci: A

Matematika Dasar UM-UGM 2017 No. 19
Perhatikan gambar di bawah ini!
Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2017 Kode 824
$\angle RPQ=\angle PSQ={{90}^{o}}$ , $\angle PQS={{60}^{o}}$ dan $\angle PTQ={{45}^{o}}$. Jika |RS| = 2 maka |TQ| = …
A. $\frac{4}{3\sqrt{2}}$
B. $\frac{4}{2\sqrt{2}}$
C. $\frac{3}{2\sqrt{2}}$
D. $\frac{2}{3\sqrt{2}}$
E. $\frac{2}{2\sqrt{3}}$
Pembahasan:
Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2017 Kode 824
Perhatikan segitiga RPQ siku-siku di P
$\angle RPQ+\angle PQR+\angle PRQ={{180}^{o}}$
${{90}^{o}}+{{60}^{o}}+\angle PRQ={{180}^{o}}$
$\angle PRQ={{180}^{o}}-{{150}^{o}}={{30}^{o}}$
Perhatikan segitiga RSP siku-siku di S
$\angle RSP=\angle PRQ={{30}^{o}}$ 
$\tan \angle RSP=\frac{PS}{RS}$
$\tan {{30}^{o}}=\frac{PS}{2}$
$\frac{1}{3}\sqrt{3}=\frac{PS}{2}\Leftrightarrow PS=\frac{2}{3}\sqrt{3}$
Perhatikan segitiga PSQ siku-siku di S
$\tan \angle PQS=\frac{PS}{QS}$
$\tan {{60}^{o}}=\frac{\frac{2}{3}\sqrt{3}}{QS}$
$\sqrt{3}=\frac{\frac{2}{3}\sqrt{3}}{QS}\Leftrightarrow QS=\frac{2}{3}$
Perhatikan segitiga QST
$\angle QST+\angle STQ+\angle TQS={{180}^{o}}$
${{90}^{o}}+{{45}^{o}}+\angle TQS={{180}^{o}}$
$\angle TQS={{45}^{o}}$
Maka ST = QS = $\frac{2}{3}$
TQ = $\sqrt{{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}}=\frac{2}{3}\sqrt{2}$
$=\frac{2}{3}\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{4}{3\sqrt{2}}$
Kunci: A

Matematika Dasar UM-UGM 2017 No. 20
Diketahui tiga kantong masing-masing berisi 6 bola yang terdiri dari dua bola putih, dua bola biru, dan dua bola merah. Dari masing-masing kantong diambil satu bola. Peluang terambilnya paling sedikit dua bola berwarna putih adalah …
A. 4/27   B. 5/27   C. 6/27   D. 7/27   E. 9/27
Pembahasan:
Pengambilan 1 bola dari kantong I ada 6 cara.
Pengambilan 1 bola dari kantong II ada 6 cara.
Pengambilan 1 bola dari kantong III ada 6 cara.
Seluruh kemungkin pengambilan bola = 6 x 6 x 6 = 216 cara
n(S) = 216
Misal:
P = terambilnya bola berwarna putih
B = terambilnya bola berwarna biru
M = teambilnya bola berwarna merah. 
Kemungkinan-kemungkinan terambilnya paling sedikit dua bola berwarna putih adalah:
(P, P, B) ada sebanyak = $C_{1}^{2}\times C_{1}^{2}\times C_{1}^{2}=8$ 
(P, B, P) ada sebanyak = $C_{1}^{2}\times C_{1}^{2}\times C_{1}^{2}=8$
(B, P, P) ada sebanyak = $C_{1}^{2}\times C_{1}^{2}\times C_{1}^{2}=8$
(P, P, M) ada sebanyak = $C_{1}^{2}\times C_{1}^{2}\times C_{1}^{2}=8$
(P, M, P) ada sebanyak = $C_{1}^{2}\times C_{1}^{2}\times C_{1}^{2}=8$
(M, P, P) ada sebanyak = $C_{1}^{2}\times C_{1}^{2}\times C_{1}^{2}=8$
(P, P, P) ada sebanyak = $C_{1}^{2}\times C_{1}^{2}\times C_{1}^{2}=8$
n(A) = 8 x 7 = 56
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{56}{216}=\frac{7}{27}$ 
Bagikan ke:

0 Response to "Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2017 Kode 824 No.11-20"

Post a Comment

Terima kasih atas komentar dan kunjungannya. #Berbagi Itu Indah.

Contact Form

Name

Email *

Message *